21.2.1 第2课时 配方法（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

该初中数学教案聚焦“配方法解一元二次方程”，通过人体雕像设计问题回顾上节课所列方程x² + 2x - 4 = 0，引出求解需求，搭建直接开平方法与配方法的知识支架，梳理化归思想脉络。 以核心素养为导向，通过对比方程转化、小组讨论配方过程培养数学思维（推理意识、运算能力），结合几何形状判断、代数式最值等实例发展数学语言（模型意识、应用意识），思维导图辅助总结步骤，助力学生掌握方法，提升教师教学效率。

21.2 解一元二次方程 第2课时 配方法 教学内容 第2课时 配方法 课时 1 核心素养目标 1. 会用数学的眼光观察世界：经历观察、思考和分析，掌握加减消元法的意义，进一步理解一元二次方程的“消元”法中的化归思想. 2. 会用数学的思维思考问题：能分析一元二次方程中的信息，选择恰当的方法解一元二次方程，培养数据意识，形成合理判断. 3. 会用数学的语言表达思想：会用加减法解一元二次方程，提高综合解题能力，在解题中激发对数学的兴趣，发展创新意识和应用能力. 知识目标 1.了解配方法的概念. 2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. 3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. 教学重点 掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. 教学难点 探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、新课导入 二、探究新知 3、 当堂练习 一、新课导入 引言：要设计一座高 2m 的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全身的高度比，则雕像的下部应设计多少米高？ 师生活动：教师引导学生第一节课引入的解题思路及所列方程： 解：设雕像下部 BC = x m， 列方程得 x 2 = 2(2 - x )， 整理得　x 2 + 2x - 4 = 0． 教师追问：如何解出该一元二次方程？ 预设学生可能暂时不会计算，教师可以引出后面的探究. 二、探究新知 知识点 1：配方法 探究一：解方程 (x + 1)2 = 5. 师生活动：学生先独立思考，由学生代表发言，教师出示过程及结果. 探究二：比较下列方程，并说出它们的区别和联系. (x + 1) 2 = 5 ① x2 + 2x - 4 = 0 ② 师生活动：学生小组讨论，小组代表发言，教师适时评价与引导，帮助学生发现①可由②转化而成，并鼓励学生尝试化简！ 合作探究 回忆完全平方公式： 师生活动：教师提问，学生积极回答. 探究三：怎么样把方程②化成具有方程①这种形式的方程呢？并尝试解方程. 师生活动：学生小组讨论，小组代表发言，教师整理板书如图. 动手实践 填一填 填上适当的数或式，使下列各等式成立. 师生活动：学生先独立解答，然后请5名学生回答，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知. 定义总结： 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 把握二次项系数为 1 的完全平方式的特点： 常数项等于一次项系数一半的平方. 例题精析 例1 解下列方程： （1） x2 - 8x + 1 = 0；（2）2x2 + 1 = 3x ； （3）3x2 - 6x + 4 = 0. 师生活动：教师示范完整的规范过程（如下）： 教师引导学生叙述解题思路并展示： 教师鼓励学生请尝试按照（1）写出（2）（3）完整解题步骤. 练一练 1. 解方程： (1) (无锡) x2 - 2x - 5 = 0； (2) (徐州) x2 - 2x - 1 = 0. 师生活动：学生先独立解答，然后请学生回答，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知. 定义总结 对于一般的一元二次方程可配方转化成 (x + n)2 = p： 师生活动：教师引导学生回忆上节课知识，学生完成表格： 教师引导引导总结： 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 知识点2：配方法的应用 典例精析 例2 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2−4k＋5 的值必定大于零. 师生活动：学生先独立解答，然后请学生代表发言叙述思路，教师给予恰当评析并整理板书. 例3 a，b，c为△ABC的三边长，且a2 - 6a + b2 - 8b + +25 = 0 试判断△ABC的形状. 师生活动：学生先独立解答，然后请学生代表发言叙述思路，教师给予恰当评析并整理板书. 例4 用配方法求最值. (1) 2x2 − 4x + 5 的最值； (2) −3x2 + 6x − 7 的最值. 师生活动：学生先独立解答，然后请学生代表板书，教师给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知. 解：(1)原式 = 2(x −1)2 + 3 ∵ 2(x −1)≥0，∴ 2(x −1)2 + 3≥3 . 当 x = 1 时，有最小值3. (2) 原式= −3(x − 1)2 －4 ∵ −3(x − 1)≤0，∴ 2(x −1)2 + 3≤－4. 当 x = 1 时，有最大值− 4. 总结：ax2 + bx + c (a，b，c均为常数且a≠0 ) 型代数式： 三、当堂练习 1. 解下列方程： （1）x2 + 4x - 9 = 2x - 11；（2）x(x + 4) = 8x + 12； （3）4x2 - 6x - 3 = 0； （4）3x2 + 6x - 9 = 0. 2. 利用配方法证明：不论x取何值，代数式 −x2 − x −1 的值总是负数，并求出它的最大值. 3. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足等式a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断△ABC的形状. 设计意图：重申引言，与第一节课相联系，使教学更具有连贯性，同时引出本节课的配方法. 设计意图：通过探究一，联系上节课所学的直接开平方法，提前让学生意识到将一般式转化为这种形式可以求解. 设计意图：通过探究二使学生发现引言中的方程可以转化为(x+n)2=p (p≥0)的形式. 设计意图：帮助学生回忆完全平方公式，并以小组讨论的形式让学生尝试把方程②化成具有方程①这种形式的方程，教师从旁引导，助力学生学会独立思考. 设计意图：通过练习巩固配方技巧，由此总结配方法的定义与特点. 设计意图：通过例题规范学生用配方法解一元二次方程的过程，再次梳理思路，强化学生计算能力. 设计意图：让学生在计算中熟练应用配方法. 设计意图：类比上节课的知识让学生讨论方程的两根，并总结用配方法解一元二次方程的一般步骤. 设计意图：掌握配方法在验证式子恒为正的应用，提高学生的应用能力. 设计意图：掌握配方法在其他方面的应用，综合提高学生的解题能力. 设计意图：引导学生用配方法求最值，发展学生的逻辑思维. 设计意图：练习用配方法解一元二次方程. 设计意图：巩固用配方法验证代数式正负性及求最值的应用. 设计意图：强化学生对配方法的掌握，提高数形结合能力. 板书设计 配方法 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图. 教学反思 这节课在直接开方法的基础上探讨，让学生逐步学会通过培完全平方式解一元二次方程，养成用配方法解方程的意识. 让学生尝试自己总结配方法的步骤与意义. 本节课还要把握难点在于用配方法的实际应用，即求代数式的最值，帮助学生理清其中的逻辑思路. 学科网（北京）股份有限公司 $