专题21.2 解一元二次方程-配方法（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题21.2 配方法 教学目标 1. 掌握直接开方法解一元二次方程，并能够根据直接开方法解一元二次方程的式子特点进行相应的求值。 2. 掌握配方法解一元二次方程，能熟练对方程进行配方变形及进行求值，也能熟练的对配方法进行其他实际应用。 教学重难点 1. 重点 （1）直接开方法解一元二次方程的方法掌握及其式子特点的理解； （2）配方法解一元二次方程的方法掌握及其配方法的一些应用； 2. 难点 （1）利用配方法求二次三项式的最值； （2）利用配方法比较式子的大小关系。 知识点01 直接开方法解一元二次方程 1. 直接开方法求的一元二次方程： 由平方根的定义可知： ①时，一元二次方程有 2 个 不相等 的实数根，分别是 或 。他们互为 相反数 。 ②当时，一元二次方程有 2 个 相等 的实数根，即 。 ③当时，一元二次方程 没有 实数根。 2. 直接开方法解的一元二次方程： 同样由平方根的定义可知： ①当时，一元二次方程有 2 个 不相等 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程或。所以它的两个实数根分别是 或 。 ②当时，一元二次方程有 2 个 相等 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程，所以一元二次方程的两个实数根为 。 ③当时，一元二次方程 没有 实数根。 【即学即练1】 1．解方程： （1）25x2﹣49＝0； （2）2（x+1）2﹣49＝1． 【答案】（1）； （2）x1＝4，x2＝﹣6． 【解答】解：（1）25x2﹣49＝0， 化为：， ∴x＝±， ∴； （2）2（x+1）2﹣49＝1， 化为：（x+1）2＝25， ∴x+1＝±5， ∴x1＝4，x2＝﹣6． 【即学即练2】 2．如果关于x的方程（x﹣a）2＝b有解，则b的取值范围是　b≥0　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（x﹣a）2＝b， x2﹣2ax+a2﹣b＝0， ∵方程（x﹣a）2＝b有实数解， ∴△≥0， （﹣2a）2﹣4（a2﹣b）＝4a2﹣4a2+4b＝4b≥0， 解得：b≥0， 故答案为：b≥0． 【即学即练3】 3．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 【答案】C 【解答】解：由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， ∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2， 故选：C． 知识点02 配方法解一元二次方程 1. 配方法的定义： 将一元二次方程化成的形式在利用直接开方法解一元二次方程的方法。 2. 配方法解一元二次方程的具体步骤： ①将方程化成 一般式 。 ②将 二次项 系数化为 1 。方程的左右两边同时除以 二次项系数 或乘以二次项系数的 倒数 。且将 常数项 移到等号的右边。 ③方程的左右两边同时加上 一次项系数的一半的平方 。 ④把方程的左边写成 完全平方式 ，右边是一个常数。 ⑤根据直接开方法解方程。 3. 配方法求二次三项式的最值： （1）利用配方法将二次三项式化成的形式判断二次三项式的最值为。若，则为二次三项式的 最小值 ；若，则为二次三项式的 最大值 。 （2）具体步骤： ①提公因式：即提 二次项系数 。 ②配方：在一次项后面加上 一次项系数一半的平方 ，为了式子的值不发生变化，再减去 一次项系数一半的平方 。 ③将式子写成 的形式。注意拿到括号外的常数项一定要先乘以再拿出来。 【即学即练1】 4．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3 【答案】A 【解答】解：由题知， x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣4x+4＝1+4， （x﹣2）2＝5． 故选：A． 【即学即练2】 5．已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0可配成（x﹣n）2＝1，则m+n的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5 【答案】D 【解答】解：x2﹣4x+m＝0， x2﹣4x＝﹣m， x2﹣4x+4＝4﹣m， （x﹣2）2＝4﹣m， ∴n＝2，4﹣m＝1， 解得m＝3， ∴m+n＝3+2＝5． 故选：D． 【即学即练3】 6．用配方法解下列方程： （1）x2+4x﹣3＝0； （2）x2+3x﹣2＝0； （3）x2x0； （4）x2+2x﹣4＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵x2+4x﹣3＝0 ∴x2+4x＝3 ∴x2+4x+4＝3+4 ∴（x+2）2＝7 ∴x12，x22． （2）移项得x2+3x＝2， 配方得x2+3x2， 即（x）2， 开方得x±， ∴x1，x2． （3）移项得x2x， 配方得x2x， 即（x）2， 开方得x±， ∴x1，x2． （4）移项得，x2+2x＝4 配方得，x2+2x+2＝4+2， 即（x）2＝6， 开方得x， ∴x1，x2． 【即学即练4】 7．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（　　） A．﹣30 B．﹣20 C．﹣5 D．0 【答案】B 【解答】解：x2﹣10x+5＝x2﹣10x+25﹣20＝（x﹣5）2﹣20， 当x＝5时，代数式的最小值为﹣20， 故选：B． 【即学即练5】 8．已知Ma﹣1，N＝a2a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　　） A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．不能确定 【答案】A 【解答】解：∵Ma﹣1，N＝a2a（a为任意实数）， ∴， ∴N＞M，即M＜N． 故选：A． 题型01 用直接开方法解方程 【典例1】一元二次方程x2﹣16＝0的根为（　　） A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝4 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4 【答案】D 【解答】解：∵x2﹣16＝0， ∴x2＝16， 则x1＝4，x2＝﹣4， 故选：D． 【变式1】方程（x+1）2＝4的解是（　　） A．x1＝﹣3，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝1，x2＝3 【答案】B 【解答】解：开方得：x+1＝±2， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， 故选：B． 【变式2】解方程：4（x﹣3）2﹣25＝0． 【答案】x1，x2． 【解答】解：4（x﹣3）2﹣25＝0， 4（x﹣3）2＝25， （x﹣3）2， ∴x﹣3＝±， ∴x1，x2． 【变式3】解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）． 【答案】x1＝8，x2． 【解答】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2， ∴2（x+1）＝±3（x﹣2）， ∴x1＝8，x2． 题型02 利用直接开方法的特点求值 【典例1】若方程（x﹣4）2＝a有实数解，则a的取值范围是（　　） A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．a＜0 【答案】B 【解答】解：∵方程（x﹣4）2＝a有实数解， ∴x﹣4＝±， ∴a≥0； 故选：B． 【变式1】若方程（x+2）2＝m﹣1有解，则m的取值范围是　m≥1　 ． 【答案】m≥1． 【解答】解：方程（x+2）2＝m﹣1有解， ∴m﹣1≥0， ∴m≥1． 故答案为：m≥1． 【变式2】若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则 　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：由ax2＝b（ab＞0）得，解得，可知两根互为相反数． ∵一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4， ∴m+1+2m﹣4＝0，解得m＝1， ∴一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是2和﹣2， ∴， ∴4． 故答案为：4． 【变式3】已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解为（　　） A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝12 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝﹣3 【答案】D 【解答】解：方程a（x+m+2）2+b＝0可变形为：a（x+2+m）2+b＝0， 由题意得：x+2＝2或x+2＝﹣1， 解得：x1＝0，x2＝﹣3， 故选：D． 题型03 一元二次方程的配方变形 【典例1】用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，下列配方法正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣2）2＝2 D．（x+2）2＝2 【答案】C 【解答】解：x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝﹣2+4， （x﹣2）2＝2， 故选：C． 【变式1】将一元二次方程x2+6x﹣2＝0配方后可化为（　　） A．（x+3）2＝11 B．（x﹣3）2＝11 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2 【答案】A 【解答】解：x2+6x﹣2＝0 把一元二次方程变形x2+6x＝2， 两边都加9，x2+6x+9＝2+9， （x+3）2＝11． 故选：A． 【变式2】用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x﹣2）2＝7 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+4）2＝19 D．（x﹣4）2＝13 【答案】A 【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0， ∴x2﹣4x＝3， 配方得x2﹣4x+4＝7， ∴原方程应变形为（x﹣2）2＝7， 故选：A． 题型04 根据一元二次方程的配方变形求字母 【典例1】将一元二次方程2x2﹣12x﹣1＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值为（　　） A．a＝3，b＝10 B．a＝﹣3，b＝10 C． D． 【答案】D 【解答】解：2x2﹣12x﹣1＝0， 2x2﹣12x＝1， x2﹣6x， 则x2﹣6x+99，即（x﹣3）2 ∴a＝﹣3，b， 故选：D． 【变式1】将方程x2﹣4x+2＝0化成（x﹣2）2＝a的形式，则a的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．0 D．4 【答案】B 【解答】解：由题知， x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x+4＝﹣2+4， 则（x﹣2）2＝2， 所以a的值为2． 故选：B． 【变式2】关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣m＝0可通过配方法转化为（x﹣n）2＝6的形式，则m的值为（　　） A．﹣9 B．9 C．﹣3 D．3 【答案】C 【解答】解：由题知， x2﹣6x﹣m＝0， x2﹣6x+9＝m+9， （x﹣3）2＝m+9， 所以m+9＝6， 解得m＝﹣3． 故选：C． 【变式3】用配方法解一元二次方程x2+2x﹣2024＝0，将它转化为（x﹣m）2＝n的形式，则mn的值为（　　） A．2025 B． C．1 D．﹣1 【答案】D 【解答】解：整理得：x2+2x+1＝2024+1， 即（x+1）2＝2025， ∴m＝﹣1，n＝2025， ∴mn＝（﹣1）2025＝﹣1． 故选：D． 题型05 利用配方法解一元二次方程 【典例1】用配方法解下列方程： （1）x2+2x﹣3＝0 （2）x2﹣2x﹣8＝0 （3）x2﹣8x+7＝0 （4）6x2﹣x﹣12＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）方程变形得：x2+2x＝3， 配方得：x2+2x+1＝4，即（x+1）2＝4， 开方得：x+1＝2或x+1＝﹣2， 解得：x1＝1，x2＝﹣3； （2）方程变形得：x2﹣2x＝8， 配方得：x2﹣2x+1＝9，即（x﹣1）2＝9， 开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3， 解得：x1＝4，x2＝﹣2； （3）方程变形得：x2﹣8x＝﹣7， 配方得：x2﹣8x+16＝9，即（x﹣4）2＝9， 解得：x1＝7，x2＝1； （4）方程变形得：x2x＝2， 配方得：x2x，即（x）2， 开方得：x±， 解得：x1，x2． 【变式1】用配方法下列解方程： （1）x2+6x+8＝0； （2） x2＝6x+16； （3）2x2+3＝7x； （4）（2x﹣1）（x+3）＝4． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）移项得x2+6x＝﹣8， 配方得x2+6x+9＝﹣8+9， 即（x+3）2＝1， 开方得x+3＝±1， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣4． （2）移项得x2﹣6x＝16， 配方得x2﹣6x+9＝16+9， 即（x﹣3）2＝25， 开方得x﹣3＝±5， ∴x1＝8，x2＝﹣2． （3）移项得2x2﹣7x＝﹣3， 二次项系数化为1，得x2x． 配方，得 x2x+（）2（）2 即（x）2， 开方得x±， ∴x1＝3，x2． （4）整理得2x2+5x＝7． 二次项系数化为1，得x2x； 配方得x2x+（）2（）2， 即（x）2， 开方得：x±， ∴x1＝1，x2． 题型06 利用配方法求二次三项式的最值 利用配方法将二次三项式化成的形式判断二次三项式的最值为。若，则为二次三项式的最小值；若，则为二次三项式的最大值。 【典例1】将x2+6x+4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为　﹣5　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵x2+6x+4＝（x+3）2﹣5， ∴当x＝﹣3时，多项式x2+6x+4取得最小值﹣5； 故答案为﹣5． 【变式1】在实数范围内，代数式a2﹣4a+7的值不可能为（　　） A．6 B．3.6 C．3 D．2.8 【答案】D 【解答】解：∵a2﹣4a+7＝（a﹣2）2+3≥3， ∴选项D不可能， 故选：D． 【变式2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2﹣12x+14的值的范围． 解：2x2﹣12x+14＝2（x2﹣6x）+14＝2（x2﹣6x+32﹣32）+14 ＝2[（x﹣3）2﹣9]+14＝2（x﹣3）2﹣18+14＝2（x﹣3）2﹣4． ∵无论x取何实数，总有（x﹣3）2≥0，∴2（x﹣3）2﹣4≥﹣4． 即无论x取何实数，2x2﹣12x+14的值总是不小于﹣4的实数． 问题：已知x可取任何实数，则二次三项式﹣3x2+12x﹣11的最值情况是（　　） A．有最大值﹣1 B．有最小值﹣1 C．有最大值1 D．有最小值1 【答案】C 【解答】解：﹣3x2+12x﹣11＝﹣3（x2﹣4x）﹣11 ＝﹣3（x2﹣4x+4﹣4）﹣11 ＝﹣3（x﹣2）2+12﹣11 ＝﹣3（x﹣2）2+1， ∵无论x取何实数，总有（x﹣2）2≥0， ∴﹣3（x﹣2）2≤0， ∴﹣3（x﹣2）2+1≤1， 即无论x取何实数，二次三项式﹣3x2+12x﹣11有最大值1， 故选：C． 【变式3】已知x＝4a2+4ab+14，y＝b2﹣6b﹣12a，则x+y的最小值是（　　） A．14 B．5 C．9 D．不存在 【答案】B 【解答】解：根据题意得：x+y＝4a2+4ab+14+b2﹣6b﹣12a ＝（4a2+4ab+b2）﹣6（b+2a）+14 ＝[（2a+b）2﹣6（b+2a）+9]+5 ＝（2a+b﹣3）2+5． ∵（2a+b﹣3）2≥0， ∴x+y的最小值是5． 故选：B． 题型07 利用作差法及配方法比较式子的大小关系 对需要比较的两个式子进行作差，在利用配方法对作差得到的式子进行配方，最后与0进行大小关系的比较。若差的结果大于0，则被减数大，若差等于0，则被减数等于减数，若差小于0，则被减数小。 【典例1】设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N 【答案】A 【解答】解：∵M﹣N＝4a2﹣4a+3﹣（3a2﹣1） ＝a2﹣4a+4 ＝（a﹣2）2≥0， ∴M≥N， 故选：A． 【变式1】若A＝x2+4xy+y2﹣4，B＝4x+4xy﹣6y﹣25，则A、B的大小关系为（　　） A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．无法确定 【答案】A 【解答】解：∵A＝x2+4xy+y2﹣4，B＝4x+4xy﹣6y﹣25， ∴A﹣B＝（x2+4xy+y2﹣4）﹣（4x+4xy﹣6y﹣25） ＝x2+y2﹣4x+6y+21 ＝（x﹣2）2+（y+3）2+8 ∵（x﹣2）2+（y+3）2+8≥8， ∴A﹣B＞0， ∴A、B的大小关系为：A＞B． 故选：A． 【变式2】有两个多项式：A＝2a2﹣4a+1，B＝2（a2﹣2a）﹣2，当a取任意有理数时，请比较A与B的大小（　　） A．A＜B B．A＝B C．A＞B D．以上结果均有可能 【答案】C 【解答】解：A﹣B＝2a2﹣4a+1﹣2（a2﹣2a）+2 ＝2a2﹣4a+1﹣2a2+4a+2＝3＞0， ∴A＞B， 故选：C． 【变式3】若M＝2x2+x，N＝x2﹣3x﹣2，则M与N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定 【答案】D 【解答】解：由题意，作差：M﹣N＝（2x2+x）﹣（x2﹣3x﹣2） ＝x2+4x+2 ＝（x+2）2﹣2． 令M﹣N＝0， ∴（x+2）2﹣2＝0． ∴x＝﹣2±． 考查函数y＝（x+2）2﹣2， ∵a＝1＞0， ∴当x＜2或x＞2时，y＞0； 当x＝﹣2±时，y＝0； 当2x＜2时，y＜0． ∴当x＜2或x＞2时，M＞N； 当x＝﹣2±时，M＝N； 当2x＜2时，M＜N． 故选：D． 1．已知甲方程式为（x﹣4）2＝9，乙方程式为（x+9）2＝﹣4．关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙述何者正确？（　　） A．甲有两个相异的解，乙无解 B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解 C．甲有两个相同的解，乙无解 D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解 【答案】A 【解答】解：对于方程（x﹣4）2＝9， x﹣4＝±3， 解得x1＝7，x2＝1； 对于方程（x+9）2＝﹣4． 因为负数没有平方根， 所以此方程没有实数解． 故选：A． 2．方程（x+1）2＝9的解为（　　） A．x＝2，x＝﹣4 B．x＝﹣2，x＝4 C．x＝4，x＝2 D．x＝﹣2，x＝﹣4 【答案】A 【解答】解：方程（x+1）2＝9， 开方得：x+1＝3或x+1＝﹣3， 解得：x1＝2，x2＝﹣4． 故选：A． 3．利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（　　） A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2 【答案】D 【解答】解：∵x2﹣6x+7＝0， ∴x2﹣6x＝﹣7， ∴x2﹣6x+（﹣3）2＝﹣7+（﹣3）2， ∴（x﹣3）2＝2， ∴m＝3，n＝2． 故选：D． 4．用配方法解方程x2﹣4x＝2时，左右两边需同时加上的常数是（　　） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：用配方法解方程x2﹣4x＝2时，左右两边需同时加上常数是4， 故选：B． 5．若m是方程x2+2x+1＝0的根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：由题知， x2+2x+1＝0， 则（x+1）2＝0， 所以x1＝x2＝﹣1， 则m＝﹣1． 故选：A． 6．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m﹣1和2m+3，则的值为（　　） A．16 B． C．25 D．或25 【答案】B 【解答】解：∵一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣13， 且， ∴m﹣1+2m+3＝0， 解得：， 即方程的根是：，， ∴， 故选：B． 7．若关于x的一元二次方程ax2﹣b＝0有一根为2025，则关于x的一元二次方程ax2+6ax+9a＝b的其中一个根必为（　　） A．2022 B．2024 C．2025 D．2028 【答案】A 【解答】解：由题知， ax2+6ax+9a＝b， 则a（x+3）2﹣b＝0． 因为关于x的一元二次方程ax2﹣b＝0有一根为2025， 所以令x+3＝2025得， x＝2022， 所以关于x的一元二次方程ax2+6ax+9a＝b的其中一个根必为2022． 故选：A． 8．一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣5，1，则方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．x1＝﹣6，x2＝﹣2 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝﹣9，x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2 【答案】D 【解答】解：由题知， 将一元二次方程a（x+h）2+k＝0中的“x”用“2x﹣3”替换， 可得方程a（2x+h﹣3）2+k＝0． 因为一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣5，1， 所以2x﹣3＝﹣5或1， 解得x＝﹣1或2， 即方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别为x1＝﹣1，x2＝2． 故选：D． 9．若代数式P＝2a2﹣2a+3，Q＝a2+1，则P和Q的大小关系是（　　） A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定 【答案】A 【解答】解：由题意，∵P＝2a2﹣2a+3，Q＝a2+1， ∴P﹣Q＝（2a2﹣2a+3）﹣（a2+1）＝a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1． 又∵对于任意的实数a都有（a﹣1）2≥0， ∴P﹣Q＝（2a2﹣2a+3）﹣（a2+1）＝a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1≥1＞0． ∴对任意实数a，均有P﹣Q＞0，即P＞Q． 故选：A． 10．已知实数m，n满足m﹣n2＝2，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（　　） A．9 B．6 C．﹣8 D．﹣16 【答案】A 【解答】解：∵m﹣n2＝2， ∴n2＝m﹣2≥0，m≥2， ∴m2+2n2+4m﹣3 ＝m2+2m﹣4+4m﹣3 ＝m2+6m+9﹣16 ＝（m+3）2﹣16， 则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（2+3）2﹣16＝9． 故选：A． 11．关于x的一元二次方程mx2+mx＝3x+12中不含x的一次项，则此方程的解为　x＝±2　 ． 【答案】x＝±2． 【解答】解：∵mx2+mx＝3x+12不含x的一次项， ∴m﹣3＝0， 解得m＝3， ∴3x2+3x＝3x+12， 解得x＝±2， 故答案为：x＝±2． 12．若关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0可配成（x+p）2＝q，的形式，p+2q＝ 　25　 ． 【答案】25． 【解答】解：x2﹣6x﹣5＝0， x2﹣6x＝5， x2﹣6x+9＝14， （x﹣3）2＝14， 所以p＝﹣3，q＝14， 所以p+2q＝﹣3+2×14＝25． 故答案为：25． 13．若x2﹣6xy+9y2＝0，则　3　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：已知等式变形得：（）2﹣6•9＝0，即（3）2＝0， 则3． 故答案为：3 14．实数a，b，c满足b+c﹣1＝0，a﹣bc﹣1＝0． （1）当b＝2时，则a＝　﹣1　 ； （2）实数a的取值范围是　a　 ． 【答案】（1）﹣1； （2）a． 【解答】解：（1）当b＝2时， 2+c﹣1＝0， 解得：c＝﹣1， 将b＝2，c＝﹣1代入a﹣bc﹣1＝0中可得a+2﹣1＝0， 解得：a＝﹣1， 故答案为：﹣1； （2）∵b+c﹣1＝0， ∴b＝1﹣c， ∵a﹣bc﹣1＝0， ∴a＝bc+1 ＝（1﹣c）c+1 ＝﹣c2+c+1 ＝﹣（c2﹣c）+1 ＝﹣（c2﹣c）+1 ＝﹣（c）2， 故答案为：a． 15．对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形A（边长为2和x）和长方形B，并拼成图2．由面积相等得：x（4﹣x）＝22﹣（2﹣x）2，所以，当x＝2时，长方形面积取得最大值为4．据此可得，代数式的最大值为 　18　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵ （x+4）（x﹣8） （x2﹣4x﹣32） [（x2﹣4x+4）﹣36] （x﹣2）2+18， ∴当x＝2时，代数式取得最大值，最大值是18． 故答案为：18． 16．解方程： （1）2x2﹣18＝0； （2）（x﹣5）2+8＝0． 【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣3； （2）无解． 【解答】解：（1）2x2﹣18＝0， 2x2＝18， x2＝9， x＝±3， 所以x1＝3，x2＝﹣3． （2）（x﹣5）2+8＝0， （x﹣5）2＝﹣8， 因为﹣8＜0， 所以此方程无解． 17．解方程： （1）x2+2x+1＝4； （2）3x2﹣6x+1＝0． 【答案】（1）x1＝1，x2＝﹣3． （2）x1＝1，x2＝1． 【解答】解：（1）x2+2x+1＝4， ∴（x+1）2＝4． ∴x+1＝±2． ∴x1＝1，x2＝﹣3． （2）3x2﹣6x+1＝0． x2﹣2x， x2﹣2x+11，即（x﹣1）2． ∴x﹣1＝±． ∴x1＝1，x2＝1． 18．已知a，b，c为△ABC的三条边． （1）若a＝5，b＝6，△ABC的周长是小于17的奇数，求c的长． （2）若△ABC为等腰三角形，且a，b满足a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，求△ABC的周长． 【答案】（1）c＝2或c＝4； （2）7或8． 【解答】解：（1）已知a，b，c为△ABC的三条边，则c＜b+a， ∵a＝5，b＝6， ∴1＜c＜11， 由题意可得：a+b+c＜17， ∴5+6+c＜17， ∴c＜6， ∴1＜c＜6且c是偶数， ∴c＝2或c＝4； （2）∵若△ABC为等腰三角形，且a，b满足a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0， ∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣6b+9）＝0， ∴（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0， ∵（a﹣2）2≥0，（b﹣3）2≥0， ∴（a﹣2）2＝（b﹣3）2＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣3＝0， ∴a＝2，b＝3， 当腰长为2时，则该等腰三角形的三边长为2，2，3， ∵2+2＞3， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为2+2+3＝7； 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为2，3，3， ∵2+3＞3， ∴此时能构成三角形， ∴该三角形的周长为2+3+3＝8； 综上所述，该三角形的周长为7或8． 19．下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务． 论文名称：平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+4）＝6． 解：原方程可变形， 得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6 （x+2）2﹣22＝6（根据1） （x+2）2＝6+22 （x+2）2＝10 直接开平方并整理得，，我们称这种解法为平均数法． 经典练习： 下面是用平均数法解方程（x+2）（x+6）＝5时写的解题过程， [（x+4）﹣@][（x+4）+@]＝5 （x+4）2﹣@2＝5 （x+4）2＝5+@2 直接开平方并整理，得… 任务： （1）小论文中的根据1是 　平方差公式　 ． （2）小明用平均数法解方程 （x+2）（x+6）＝5时，将方程写为[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5的形式，请问式子中的a＝ 　﹣1　 ，b＝ 　﹣7　 ． （3）请用平均数法解方程：（x﹣3）（x+1）＝5． 【答案】（1）平方差公式； （2）﹣1，﹣7； （3）x1＝4，x2＝﹣2． 【解答】解：（1）∵[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6， ∴（x+2）2﹣22＝6（根据1）， 根据1是平方差公式． 故答案为：平方差公式． （2）原方程变形为：[（x+4）﹣2][（x+4）+2]＝5， （x+4）2﹣22＝5， （x+4）2＝5+22， ∴x+4＝±3， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣7． 故答案为：﹣1，﹣7． （3）（x﹣3）（x+1）＝5， 原方程可变形，得[（x﹣1）﹣2][（x﹣1）+2]＝5， 整理得：（x﹣1）2﹣22＝5， （x﹣1）2＝5+22，即（x﹣1）2＝9， 直接开平方并整理，得x1＝4，x2＝﹣2． 20．在北师大版七年级下册第一章中，我们知道形如x2±2xy+y2的代数式叫做完全平方式，其实我们也可以将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最值，求a2﹣4a+3的最小值． 解：a2﹣4a+3＝a2﹣4a+22﹣22+3＝（a﹣2）2﹣1． ∵不论a取何值，（a﹣2）2总是非负数，即（a﹣2）2≥0， ∴（a﹣2）2﹣1≥﹣1，即当a＝2时，a2﹣4a+3有最小值﹣1． 根据上述材料，解答下列问题： （1）直接写出多项式x2﹣4x﹣3的最小值为　﹣7　 ； （2）若M＝2a2+3a，N＝3a2+5，比较M、N的大小（写出比较过程）； （3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝10，求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】（1）﹣7；（2）M＜N；（3）． 【解答】解：（1）由题意得，x2﹣4x﹣3＝x2﹣4x+4﹣7＝（x﹣2）2﹣7， ∵（x﹣2）2≥0， ∴（x﹣2）2﹣7≥﹣7． ∴当x＝2时，x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2﹣7＝﹣7，即有最小值为﹣7． 故答案为：﹣7． （2）由条件可得，M﹣N＝2a2+3a﹣（3a2+5）＝﹣a2+3a﹣5＝﹣（a）2． ∵， ∴，即M﹣N＜0． ∴M＜N． （3）由题意得，四边形ABCD面积为：， ∵（AC﹣5）2≥0， ∴． ∴当时，四边形ABCD面积的最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.2 配方法 教学目标 1. 掌握直接开方法解一元二次方程，并能够根据直接开方法解一元二次方程的式子特点进行相应的求值。 2. 掌握配方法解一元二次方程，能熟练对方程进行配方变形及进行求值，也能熟练的对配方法进行其他实际应用。 教学重难点 1. 重点 （1）直接开方法解一元二次方程的方法掌握及其式子特点的理解； （2）配方法解一元二次方程的方法掌握及其配方法的一些应用； 2. 难点 （1）利用配方法求二次三项式的最值； （2）利用配方法比较式子的大小关系。 知识点01 直接开方法解一元二次方程 1. 直接开方法求的一元二次方程： 由平方根的定义可知： ①时，一元二次方程有 个 的实数根，分别是 或 。他们互为 。 ②当时，一元二次方程有 个 的实数根，即 。 ③当时，一元二次方程 实数根。 2. 直接开方法解的一元二次方程： 同样由平方根的定义可知： ①当时，一元二次方程有 个 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程或。所以它的两个实数根分别是 或 。 ②当时，一元二次方程有 个 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程，所以一元二次方程的两个实数根为 。 ③当时，一元二次方程 实数根。 【即学即练1】 1．解方程： （1）25x2﹣49＝0； （2）2（x+1）2﹣49＝1． 【即学即练2】 2．如果关于x的方程（x﹣a）2＝b有解，则b的取值范围是　 　 ． 【即学即练3】 3．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 知识点02 配方法解一元二次方程 1. 配方法的定义： 将一元二次方程化成的形式在利用直接开方法解一元二次方程的方法。 2. 配方法解一元二次方程的具体步骤： ①将方程化成 。 ②将 系数化为 。方程的左右两边同时除以 或乘以二次项系数的 。且将 移到等号的右边。 ③方程的左右两边同时加上 。 ④把方程的左边写成 ，右边是一个常数。 ⑤根据直接开方法解方程。 3. 配方法求二次三项式的最值： （1）利用配方法将二次三项式化成的形式判断二次三项式的最值为。若，则为二次三项式的 ；若，则为二次三项式的 。 （2）具体步骤： ①提公因式：即提 。 ②配方：在一次项后面加上 ，为了式子的值不发生变化，再减去 。 ③将式子写成 的形式。注意拿到括号外的常数项一定要先乘以再拿出来。 【即学即练1】 4．一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝3 【即学即练2】 5．已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0可配成（x﹣n）2＝1，则m+n的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5 【即学即练3】 6．用配方法解下列方程： （1）x2+4x﹣3＝0； （2）x2+3x﹣2＝0； （3）x2x0； （4）x2+2x﹣4＝0． 【即学即练4】 7．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（　　） A．﹣30 B．﹣20 C．﹣5 D．0 【即学即练5】 8．已知Ma﹣1，N＝a2a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　　） A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．不能确定 题型01 用直接开方法解方程 【典例1】一元二次方程x2﹣16＝0的根为（　　） A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝4 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4 【变式1】方程（x+1）2＝4的解是（　　） A．x1＝﹣3，x2＝3 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝1，x2＝3 【变式2】解方程：4（x﹣3）2﹣25＝0． 【变式3】解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）． 题型02 利用直接开方法的特点求值 【典例1】若方程（x﹣4）2＝a有实数解，则a的取值范围是（　　） A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．a＜0 【变式1】若方程（x+2）2＝m﹣1有解，则m的取值范围是　 　 ． 【变式2】若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则 　 　 ． 【变式3】已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解为（　　） A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝12 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝﹣3 题型03 一元二次方程的配方变形 【典例1】用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，下列配方法正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣2）2＝2 D．（x+2）2＝2 【变式1】将一元二次方程x2+6x﹣2＝0配方后可化为（　　） A．（x+3）2＝11 B．（x﹣3）2＝11 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2 【变式2】用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x﹣2）2＝7 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+4）2＝19 D．（x﹣4）2＝13 题型04 根据一元二次方程的配方变形求字母 【典例1】将一元二次方程2x2﹣12x﹣1＝0配方成（x+a）2＝b的形式，则a，b的值为（　　） A．a＝3，b＝10 B．a＝﹣3，b＝10 C． D． 【变式1】将方程x2﹣4x+2＝0化成（x﹣2）2＝a的形式，则a的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．0 D．4 【变式2】关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣m＝0可通过配方法转化为（x﹣n）2＝6的形式，则m的值为（　　） A．﹣9 B．9 C．﹣3 D．3 【变式3】用配方法解一元二次方程x2+2x﹣2024＝0，将它转化为（x﹣m）2＝n的形式，则mn的值为（　　） A．2025 B． C．1 D．﹣1 题型05 利用配方法解一元二次方程 【典例1】用配方法解下列方程： （1）x2+2x﹣3＝0 （2）x2﹣2x﹣8＝0 （3）x2﹣8x+7＝0 （4）6x2﹣x﹣12＝0． 【变式1】用配方法下列解方程： （1）x2+6x+8＝0； （2） x2＝6x+16； （3）2x2+3＝7x； （4）（2x﹣1）（x+3）＝4． 题型06 利用配方法求二次三项式的最值 利用配方法将二次三项式化成的形式判断二次三项式的最值为。若，则为二次三项式的最小值；若，则为二次三项式的最大值。 【典例1】将x2+6x+4进行配方变形后，可得该多项式的最小值为　 　 ． 【变式1】在实数范围内，代数式a2﹣4a+7的值不可能为（　　） A．6 B．3.6 C．3 D．2.8 【变式2】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用． 例：已知x可取任何实数，试求二次三项式2x2﹣12x+14的值的范围． 解：2x2﹣12x+14＝2（x2﹣6x）+14＝2（x2﹣6x+32﹣32）+14 ＝2[（x﹣3）2﹣9]+14＝2（x﹣3）2﹣18+14＝2（x﹣3）2﹣4． ∵无论x取何实数，总有（x﹣3）2≥0，∴2（x﹣3）2﹣4≥﹣4． 即无论x取何实数，2x2﹣12x+14的值总是不小于﹣4的实数． 问题：已知x可取任何实数，则二次三项式﹣3x2+12x﹣11的最值情况是（　　） A．有最大值﹣1 B．有最小值﹣1 C．有最大值1 D．有最小值1 【变式3】已知x＝4a2+4ab+14，y＝b2﹣6b﹣12a，则x+y的最小值是（　　） A．14 B．5 C．9 D．不存在 题型07 利用作差法及配方法比较式子的大小关系 对需要比较的两个式子进行作差，在利用配方法对作差得到的式子进行配方，最后与0进行大小关系的比较。若差的结果大于0，则被减数大，若差等于0，则被减数等于减数，若差小于0，则被减数小。 【典例1】设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（　　） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N 【变式1】若A＝x2+4xy+y2﹣4，B＝4x+4xy﹣6y﹣25，则A、B的大小关系为（　　） A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．无法确定 【变式2】有两个多项式：A＝2a2﹣4a+1，B＝2（a2﹣2a）﹣2，当a取任意有理数时，请比较A与B的大小（　　） A．A＜B B．A＝B C．A＞B D．以上结果均有可能 【变式3】若M＝2x2+x，N＝x2﹣3x﹣2，则M与N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定 1．已知甲方程式为（x﹣4）2＝9，乙方程式为（x+9）2＝﹣4．关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙述何者正确？（　　） A．甲有两个相异的解，乙无解 B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解 C．甲有两个相同的解，乙无解 D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解 2．方程（x+1）2＝9的解为（　　） A．x＝2，x＝﹣4 B．x＝﹣2，x＝4 C．x＝4，x＝2 D．x＝﹣2，x＝﹣4 3．利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（　　） A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2 4．用配方法解方程x2﹣4x＝2时，左右两边需同时加上的常数是（　　） A．16 B．4 C．2 D．1 5．若m是方程x2+2x+1＝0的根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 6．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m﹣1和2m+3，则的值为（　　） A．16 B． C．25 D．或25 7．若关于x的一元二次方程ax2﹣b＝0有一根为2025，则关于x的一元二次方程ax2+6ax+9a＝b的其中一个根必为（　　） A．2022 B．2024 C．2025 D．2028 8．一元二次方程a（x+h）2+k＝0的两根分别为﹣5，1，则方程a（2x+h﹣3）2+k＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．x1＝﹣6，x2＝﹣2 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝﹣9，x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2 9．若代数式P＝2a2﹣2a+3，Q＝a2+1，则P和Q的大小关系是（　　） A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定 10．已知实数m，n满足m﹣n2＝2，则代数式m2+2n2+4m﹣3的最小值等于（　　） A．9 B．6 C．﹣8 D．﹣16 11．关于x的一元二次方程mx2+mx＝3x+12中不含x的一次项，则此方程的解为　 　 ． 12．若关于x的一元二次方程x2﹣6x﹣5＝0可配成（x+p）2＝q，的形式，p+2q＝ 　 　 ． 13．若x2﹣6xy+9y2＝0，则　 　 ． 14．实数a，b，c满足b+c﹣1＝0，a﹣bc﹣1＝0． （1）当b＝2时，则a＝　 　 ； （2）实数a的取值范围是　 　 ． 15．对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形A（边长为2和x）和长方形B，并拼成图2．由面积相等得：x（4﹣x）＝22﹣（2﹣x）2，所以，当x＝2时，长方形面积取得最大值为4．据此可得，代数式的最大值为 　 　 ． 16．解方程： （1）2x2﹣18＝0； （2）（x﹣5）2+8＝0． 17．解方程： （1）x2+2x+1＝4； （2）3x2﹣6x+1＝0． 18．已知a，b，c为△ABC的三条边． （1）若a＝5，b＝6，△ABC的周长是小于17的奇数，求c的长． （2）若△ABC为等腰三角形，且a，b满足a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，求△ABC的周长． 19．下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务． 论文名称：平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+4）＝6． 解：原方程可变形， 得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6 （x+2）2﹣22＝6（根据1） （x+2）2＝6+22 （x+2）2＝10 直接开平方并整理得，，我们称这种解法为平均数法． 经典练习： 下面是用平均数法解方程（x+2）（x+6）＝5时写的解题过程， [（x+4）﹣@][（x+4）+@]＝5 （x+4）2﹣@2＝5 （x+4）2＝5+@2 直接开平方并整理，得… 任务： （1）小论文中的根据1是 　 　 ． （2）小明用平均数法解方程 （x+2）（x+6）＝5时，将方程写为[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5的形式，请问式子中的a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ． （3）请用平均数法解方程：（x﹣3）（x+1）＝5． 20．在北师大版七年级下册第一章中，我们知道形如x2±2xy+y2的代数式叫做完全平方式，其实我们也可以将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最值，求a2﹣4a+3的最小值． 解：a2﹣4a+3＝a2﹣4a+22﹣22+3＝（a﹣2）2﹣1． ∵不论a取何值，（a﹣2）2总是非负数，即（a﹣2）2≥0， ∴（a﹣2）2﹣1≥﹣1，即当a＝2时，a2﹣4a+3有最小值﹣1． 根据上述材料，解答下列问题： （1）直接写出多项式x2﹣4x﹣3的最小值为　 　 ； （2）若M＝2a2+3a，N＝3a2+5，比较M、N的大小（写出比较过程）； （3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝10，求四边形ABCD面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$