专题02 常用逻辑用语（期中复习讲义）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题02 常用逻辑用语（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 充分性、必要性判断 能根据题意判断是的 条件 能根据充分必要性求参数 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 全程量词命题和存在量词命题的否定 能写出全程量词命题和存在量词命题的否定 基础考点，常出现在选择题，填空题 全程量词命题和存在量词命题的真假 能根据全程量词命题和存在量词命题的真假求参数 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点02全称量词命题及其否定 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 知识点03 存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 题型一 充分性与必要性的判断 解｜题｜技｜巧 1、定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3） 若，则是的充要条件； （4）若且，则是的既不充分也不必要条件. 2、集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 【典例1】（24-25高三上·江苏连云港·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意分类讨论的符号，结合充要条件的等价性分析判断. 【详解】当时，则，即，等价于， 等价于，即； 当时，则不成立，也不成立； 当时，则，即成立， 等价于，即； 当时，则，即，等价于， 等价于，即； 综上所述：“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式1】（25-26高一上·江苏·开学考试）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据已知定义依次判断充分性和必要性即可. 【详解】由得：，又，，充分性成立； 当时，若，，则，必要性不成立； “”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2】设．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式， 因此，而不能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 题型二 根据充分性、必要性求参数 解｜题｜技｜巧 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解； （2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 【典例1】（24-25高一上·江苏·期中）已知集合， (1)若，求实数m的取值范围; (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，讨论，从而得到不等式，求解参数m； （2）若p：，q：，p是q的充分条件，知，即可求参数范围． 【详解】（1），由可得， 当B为空集时，则，可得， 当B不为空集时，则，解得， 综上所述，m的取值范围为 （2）若p是q的充分条件，则，则，可得， 故m的取值范围为 【变式1】已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】依据充分不必要条件求得需满足且等号不同时成立，可得. 【详解】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得； 但且两端等号不同时成立，所以，即； 因此实数m的取值范围为. 故答案为： 【变式2】已知非空集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）代入求出集合P，解一元二次不等式求出集合Q，再根据集合的运算求解； （2）由“”是“”的充分不必要条件，可得⫋，从而可得结论； 【详解】（1）当时，，或， 解不等式得：， 即， 所以或. （2）若“”是“”的充分不必要条件，即⫋， 因为，要使⫋，则，且等号不同时取得， 解得：， ∴实数a的取值范围是． 题型三 判断全程量词（存在量词）命题的真假 解｜题｜技｜巧 （1）全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可. （2）存在量词命题：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题. 【典例1】设有下面四个命题，其中真命题为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据量词的意义，逐项分析其真假，即可求解. 【详解】对A：由恒成立，故该命题为假命题，故A错误； 对B：当时，，故该命题为假命题，故B错误； 对C：，故该命题为真命题，故C正确； 对D：，故无解，故该命题为假命题，故D错误. 故选：C. 【变式1】下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】对A：由判断命题为假；对B：当时命题不成立；对C：由及关系判断命题为真；对D：由判断命题为假. 【详解】，，故是假命题； 当时，，故是假命题； ，，故是真命题； 方程中，此方程无解，故是假命题. 故选:：C. 【变式2】（多选）（24-25高一上·江苏盐城·期中）下列命题是真命题的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，解方程，即可判断C. 【详解】对于A，B，当时，，故A正确，B错误； 对于C：由，解得，所以不存在，使得，故C错误； 对于D：因为，所以，所以，，故D正确. 故选：AD 题型四 全程量词（存在量词）命题的否定 解｜题｜技｜巧 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. ③存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ④存在量词命题的否定：. 【典例1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定为存在命题，从而求解. 【详解】由题意得：“”的否定为“”，故A项正确. 故选：A. 【变式1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题，则命题的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果. 【详解】因为命题， 则其否定为. 故选：D 【变式2】（23-24高一上·江苏扬州·期中）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全称命题的否定为特称命题得到答案. 【详解】由含有一个量词的否定得， 命题“”的否定为“”， 故选：B. 题型五 根据 全程量词（存在量词）命题的真假求参数 解｜题｜技｜巧 （1）全称量词命题可转化为恒成立问题； （2）存在量词命题可转化为存在性问题； （3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. 【典例1】若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意知原命题的否定为真，将问题转换成立二次不等式在定区间上的恒成立问题了，对对称轴的位置进行讨论即可求解. 【详解】由题意原命题的否定“，使得”是真命题， 不妨设，其开口向上，对称轴方程为， 则只需在上的最大值即可，我们分以下三种情形来讨论： 情形一：当即时，在上单调递增， 此时有，解得， 故此时满足题意的实数不存在； 情形二：当即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时有，只需， 解不等式组得， 故此时满足题意的实数的范围为； 情形三：当即时，在上单调递减， 此时有，解得， 故此时满足题意的实数不存在； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的性质及存在量词命题（特称命题）的真假性求解即可. 【详解】由题意知“，”是真命题， 所以，解之可得, 所以的取值范围是. 故选：B 【变式2】已知命题“，都有”，且是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据是假命题，则是真命题.进而得到，根据集合之间的包含关系构造不等式组，计算即可. 【详解】是假命题，则是真命题. 由于，都有， 则. 可得 . 实数的取值范围是. 故答案为：. 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）下列命题正确的是（   ） A．， B．， C．“”是“”的充分且不必要条件 D．若，则 【答案】C 【分析】对A，举反例即可判断；对B，根据判别式即可判断；对C，解出一元二次不等式，再根据充分不必要条件的判定即可判断；对D，举反例即可判断. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，方程的根的判别式，此方程没有实数解，故B错误： 对C，或， 成立，但不成立，是的充分不必要条件，故C正确； 对D，举例，但，故D错误. 故选：C. 2．“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，“”是“”的充分必要条件，不合题意； 对于B，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意； 对于C，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，符合题意； 对于D，由推不出，比如满足，不满足， 但是由可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意． 故选：C 3．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据子集的概念及充分条件、必要条件的定义可求解. 【详解】因为，， 若，可能为，推不出， 当时，，即， 故是的必要不充分条件. 故选：C. 4．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】取 ，满足 ，但是不成立，所以充分性不成立. 当时，由，则一定成立，即必要性成立 ． 所以 “”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 5．命题，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全称命题的否定是将任意改为存在，并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则为. 故选：C 6．已知均为实数，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】结合不等式的性质，分别判断充分性与必要性即可. 【详解】时，假设“或”不成立，即有且， 当且时，，这与已知条件矛盾， 所以假设不成立，即由“” 可以推出“或”，充分性成立； 当时，满足或（这里成立）， 但，不满足， 所以由“或”不能推出“”，必要性不成立. 则“”是“或”的充分不必要条件. 故选：A 7．（多选）下面命题正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“若，则”的否定是“存在，” C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】根据充分性和必要性的定义判断即可. 【详解】对选项A，“”“”，充分性满足， 而当时，可得或，故必要性不满足， 故“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对选项B，命题“若，则”的否定是“存在，使得，故B错误； 对选项C，当“且”成立，则“”成立，充分性满足， 但“”成立时，“且”不一定成立，如：，，必要性不满足， 则“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对选项D，由且，故“”是“”的必要不充分条件，故 D正确． 故选：AD. 8．（多选）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用一元二次不等式的成立问题结合必要不充分条件的定义判断各个选项. 【详解】存在，使得为真时， 当时，显然成立； 当时，有，解得， 当时，存在，使得； 所以存在，使得为真时，， 命题“存在，使得”为假命题时， 时，不一定成立，不合题意； 时，不一定成立，不合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是； 故选：CD. 9．设命题，命题且，若是的必要条件，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求出命题相应的集合，根据是的必要条件，列出相应的不等式，即可求得答案. 【详解】由命题知：时，， 则为26的正因数，即为1，2，13，26， 当时，，不合题意舍；当时，； 当时，；当时，； 故命题； 由于是的必要条件，故， 只需满足，即， 即的取值范围是， 故答案为： 10．已知集合，且使命题“”为假命题的所构成的集合为，则 ． 【答案】 【分析】由题设可得为真命题，求得，结合及集合的交运算求集合. 【详解】由题得，且命题，0是真命题， 所以，即，则， 所以. 故答案为： 11．已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)必要不充分条件（必要条件也正确） (2) 【分析】（1）根据集合关系判断是的必要不充分条件； （2）根据是的必要不充分条件，得是的真子集， 然后根据集合关系列不等式组求解即可. 【详解】（1）当时，， 显然是的真子集， 所以是的必要不充分条件（注：必要条件也正确）． （2）若是的必要不充分条件， 则是的真子集， 则有或解得， 故实数的取值范围为． 12．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或．； (2)． 【分析】（1）利用交集运算即可求解； （2）利用充分不必要条件转化为，从而可得参数满足的不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，集合，又或． ∴或或．； （2）∵若，且是的充分不必要条件，，， ∴，则， 解得:，故的取值范围是． 13．设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)分别解出不等式，求出两个命题的范围,求交集即可. (2)根据充分不必要条件与集合的关系，可知所代表的范围是所代表的范围的真子集，列出不等式组，进而即得. 【详解】（1）时，，， 即， 由得，解得 又， 而，都为真命题，所以； （2），， 由是的充分不必要条件，则等号不同时成立，又因为， 所以. 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．如果，是实数，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件． 【详解】当时，满足，而，则充分性不成立； 当时，若，则， 所以，而，则； 若，则， 所以，而，则，则必要性成立． 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 2．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】C 【分析】由判别式的正负可判断，由可判断； 【详解】由，，可知方程无解，故为假命题，为真命题； ， 因为，所以成立，即为真命题，为假命题， 故选：C 3．已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 4．德国数学家康托尔在研究“可数无穷集合”时，发现自然数集N（记为集合A）与有理数集Q（记为集合B）存在特殊关系：所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数．若命题“”是命题“”的 条件，则需填入“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”． 【答案】充分不必要 【分析】由所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数，进行判断即可． 【详解】因为所有自然数都是有理数，所以充分性满足； 但有理数包含分数、负整数等非自然数，故必要性不满足． 因此，命题“”是命题“”的充分而不必要条件． 故答案为：充分不必要 5．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由必要不充分条件得确定两集合关系，再列出不等关系，从而可求解． 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 6．已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）由，可得， 因为， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，解得， 综上，. 故实数的取值范围为． （2）由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集， 又，， 则，解得， 故实数的取值范围是． 7．已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得是的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. （2）由已知条件得集合的关系，然后按照和分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. （3）方法一：由题意，然后根据集合关系列不等式组求解即可． 方法二：由题意，先求时的取值范围，求解时按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解，最后利用补集思想求解即可. 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． （3）方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则． 当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，． 所以当时，，即实数的取值范围为． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 2．（24-25高一上·北京·期中）我们用记号表示不超过的最大整数，如，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据定义，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当，时，满足， 此时，，即， 所以“”不是“”的充分条件； 当，时，，， 此时，，即，此时， 所以“”不是“”的必要条件， 综上所述“”是“”既不充分也不必要条件， 故选：D. 3．定义，设是某集合的三个子集，且满足，则下列正确的是（   ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】作出示意图，由可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】如图，由于，故两个阴影部分均为， 于是，， 若，则IIV， 而，成立; 反之，若， 则由于，， . 故是的充要条件， 故选：A. 4．已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 【答案】(1)不具有性质 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据给定的定义条件，进行判断； （2）由性质P确定集合B，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”. （3）分别证明充分性和必要性. 【详解】（1）集合不具有性质，理由如下： 若取，为奇数，不满足条件③； 若取，或或， 均有，不满足条件②， 所以不具有性质； （2）由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即， 因为不是偶数，所以不合题意. 当时，由，得，即，或， 因为是偶数，不是偶数，所以不合题意. 所以集合，令， 解得， 显然，所以集合是集合的“期待子集”； （3）先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的， 使得均属于，不妨设，令，，， 则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则中存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得，由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”， 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质. 【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略： （1）通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； （2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 充分性、必要性判断 能根据题意判断是的 条件 能根据充分必要性求参数 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 全程量词命题和存在量词命题的否定 能写出全程量词命题和存在量词命题的否定 基础考点，常出现在选择题，填空题 全程量词命题和存在量词命题的真假 能根据全程量词命题和存在量词命题的真假求参数 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点02全称量词命题及其否定 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 知识点03 存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 题型一 充分性与必要性的判断 解｜题｜技｜巧 1、定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3） 若，则是的充要条件； （4）若且，则是的既不充分也不必要条件. 2、集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 【典例1】（24-25高三上·江苏连云港·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（25-26高一上·江苏·开学考试）对于，用表示不大于的最大整数，例如：，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】设．则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二 根据充分性、必要性求参数 解｜题｜技｜巧 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解； （2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 【典例1】（24-25高一上·江苏·期中）已知集合， (1)若，求实数m的取值范围; (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围. 【变式1】已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 【变式2】已知非空集合，集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型三 判断全程量词（存在量词）命题的真假 解｜题｜技｜巧 （1）全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p（x0）不成立即可. （2）存在量词命题：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题. 【典例1】设有下面四个命题，其中真命题为（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（多选）（24-25高一上·江苏盐城·期中）下列命题是真命题的有（    ） A．， B．， C．， D．， 题型四 全程量词（存在量词）命题的否定 解｜题｜技｜巧 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. ③存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ④存在量词命题的否定：. 【典例1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题，则命题的否定是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·江苏扬州·期中）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 题型五 根据 全程量词（存在量词）命题的真假求参数 解｜题｜技｜巧 （1）全称量词命题可转化为恒成立问题； （2）存在量词命题可转化为存在性问题； （3）全称量词、存在量词命题假可转化为它的否定命题真. 【典例1】若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是 ． 【变式1】命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知命题“，都有”，且是假命题，则实数的取值范围是 . 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）下列命题正确的是（   ） A．， B．， C．“”是“”的充分且不必要条件 D．若，则 2．“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．命题，则是（    ） A． B． C． D． 6．已知均为实数，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 7．（多选）下面命题正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“若，则”的否定是“存在，” C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 8．（多选）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 9．设命题，命题且，若是的必要条件，则的取值范围是 . 10．已知集合，且使命题“”为假命题的所构成的集合为，则 ． 11．已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 12．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 13．设实数满足，：实数满足. (1)若，且都为真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．如果，是实数，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 3．已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．德国数学家康托尔在研究“可数无穷集合”时，发现自然数集N（记为集合A）与有理数集Q（记为集合B）存在特殊关系：所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数．若命题“”是命题“”的 条件，则需填入“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”． 5．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ． 6．已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 7．已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期中）我们用记号表示不超过的最大整数，如，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．定义，设是某集合的三个子集，且满足，则下列正确的是（   ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的既不充分也不必要条件 4．已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $