专题06 函数的单调性+奇偶性+周期性+对称性（期中复习讲义）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题06 函数的性质（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 判断函数奇偶性 掌握判断函数奇偶性的方法 基础考点，常出现在选择题，填空题 求解析式 利用函数的奇偶性求函数解析式 基础考点，常出现在选择题，填空题 解不等式 利用函数的奇偶性解有关函数不等式 基础考点，常出现在选择题，填空题 证明函数单调性 掌握定义法证明函数单调性的步骤 重难必考点，解答题 函数性质综合应用 能解决与函数单调性、奇偶性、周期性有关的综合问题. 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01 函数的单调性 1、增函数与减函数 （1）增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). （2）减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 知识点02 函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点03 函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点04 函数的奇偶性 1、定义： （1）偶函数：一般地， 设函数的定义域为，如果，都有， 且，那么函数就叫做偶函数. （2）奇函数：一般地， 设函数的定义域为，如果，都有， 且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点05 对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 知识点06 函数的周期性 （1）周期函数定义 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期. （2）最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. 题型一 用定义法证明函数的单调性 解｜题｜技｜巧 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 【典例1】．（24-25高一上·湖南·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)判断在上的单调性并利用定义法证明； (3)求在上的最大值. 【变式1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，且． (1)求m； (2)判断函数在上是单调递增还是单调递减？并证明． (3)画出函数在上的大致图象.（要求写出关键点坐标，并画出图象的变化趋势） 【变式2】已知函数， (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)解关于x的不等式. 题型二 根据函数的单调性求参数 解｜题｜技｜巧 图象法 【典例1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·山东日照·期中）已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·广东茂名·期中）函数，对且，，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型三根据函数单调性解不等式 解｜题｜技｜巧 定义法 【典例1】（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 【变式1】已知函数，，对任意的且，总有，若，则实数的取值范围是 ． 【变式2】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 题型四 根据函数单调性求最值或值域 解｜题｜技｜巧 图象法 【典例1】函数在区间上的值域为 ． 【变式1】求下列函数的值域. (1)； (2) 【变式2】求函数的值域. 题型五 函数奇偶性判断 解｜题｜技｜巧 1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【典例1】根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【变式1】利用图象判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)． (3)． 【变式2】判断下列各函数是否具有奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)，； (5)； (6)． 题型六 由奇偶性求解析式 解｜题｜技｜巧 奇偶性定义 【典例1】已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 题型七 由奇偶性求参数 解｜题｜技｜巧 （1）函数奇偶性定义（2）特殊值法 【典例1】（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 【变式1】（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江西景德镇·三模）函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 题型八 单调性+奇偶性解不等式 解｜题｜技｜巧 （1）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： （2）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： 【典例1】（24-25高一下·陕西安康·期末）已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【变式1】已知函数是定义在上的偶函数．其中、且． (1)求的表达式； (2)若，实数满足，求的取值范围． 【变式2】已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)判断的单调性（无需证明），并解关于的不等式. 题型九 根据周期性求值 解｜题｜技｜巧 函数周期性的常用结论与技巧 设函数， ①若，则函数的周期； ②若，则函数的周期； ③若，则函数的周期； ④若，则函数的周期； ⑤，则函数的周期 【典例1】已知偶函数满足，则 . 【变式1】设是奇函数且满足，当时，，则（    ） A．-1.6 B．-1.2 C．0.7 D．0.84 【变式2】（24-25高一下·浙江绍兴·期中）已知函数对任意，都有，的图象关于原点对称，且，则 题型十 单调性+奇偶性+周期性+对称性综合 解｜题｜技｜巧 （1）轴对称：若函数关于直线对称， 则①；②③ （2）点对称：若函数关于直线对称，则 ①②③ （3）点对称：若函数关于直线对称，则 ①②③ 【典例1】（多选）（2025·湖北黄冈·一模）定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A． B． C．的图象关于对称 D．8为的一个周期 【变式1】（多选）（25-26高三上·重庆·开学考试）已知定义在上的偶函数和奇函数满足 ，则下列说法正确的是 （    ） A． 的图象关于直线对称 B． 是以4为周期的周期函数 C． D． 【变式2】（多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ） A．为偶函数 B．关于直线，对称 C． D．是以4周期的周期函数 期中基础通关练（测试时间：70分钟） 1．函数在区间上的最小值是（    ） A．0 B．1 C． D．4 2．若在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A．B．C． D． 3．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．[0，1] 4．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知是定义在上的函数，当时，，则=（   ） A．-5 B．-1 C．1 D．4 5．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．若是定义在上的奇函数，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D．-1 7．已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）下列说法正确的是（    ） A．是减函数 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上的最小值为0 10．（多选）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象关于对称 D．函数为奇函数 11．已知函数的图象关于直线对称，则 .（填“”或“”） 12．若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 13．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知二次函数满足，且有最小值. (1)求的解析式； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的下方，试确定实数的取值范围； (3)设当时，函数的最小值为，求的解析式． 14．已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)探究的奇偶性； (3)求不等式的解集． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 1．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 2．已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 3．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足，则（    ） A．2 B．－4 C．2026 D．－4052 4．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．若对任意，恒成立，则实数t的取值范围为 ． 5．已知函数是定义在R上的奇函数，当，且时，都有成立，则不等式的解集为 ． 6．已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．（多选）（25-26高三上·江苏常州·开学考试）若函数在区间上值域为，则称为的“倍增区间”，则（   ） A．若为的“1倍增区间”，则 B．函数存在“1倍增区间” C．若函数存在“1倍增区间”，则的取值范围是 D．二次函数存在“2倍增区间” 2．定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 3．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． (1)用定义证明函数在为单调递增函数； (2)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 4．已知集合，，若存在：，使得成立，则称函数在区间D上具有性质. (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围； (3)若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数的性质（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 判断函数奇偶性 掌握判断函数奇偶性的方法 基础考点，常出现在选择题，填空题 求解析式 利用函数的奇偶性求函数解析式 基础考点，常出现在选择题，填空题 解不等式 利用函数的奇偶性解有关函数不等式 基础考点，常出现在选择题，填空题 证明函数单调性 掌握定义法证明函数单调性的步骤 重难必考点，解答题 函数性质综合应用 能解决与函数单调性、奇偶性、周期性有关的综合问题. 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01 函数的单调性 1、增函数与减函数 （1）增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). （2）减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 2、函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 知识点02 函数单调性的判断与证明 1、定义法：一般用于证明，设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2、图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 3、性质法 （1）函数在给定区间上的单调性与在给定区间上的单调性相反； （2）函数在给定区间上的单调性与的单调性相同； （3）和的公共定义区间，有如下结论； 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 知识点03 函数的最大（小）值 1、最大值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最大值； 2、最小值：对于函数，其定义域为，如果存在实数满足： ①，都有 ②，使得 那么称是函数的最小值； 知识点04 函数的奇偶性 1、定义： （1）偶函数：一般地， 设函数的定义域为，如果，都有， 且，那么函数就叫做偶函数. （2）奇函数：一般地， 设函数的定义域为，如果，都有， 且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 2.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 2.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 知识点05 对称性 1、轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①； ② ③ 2、点对称 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ 3、拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 知识点06 函数的周期性 （1）周期函数定义 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期. （2）最小正周期 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. 题型一 用定义法证明函数的单调性 解｜题｜技｜巧 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 【典例1】．（24-25高一上·湖南·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)判断在上的单调性并利用定义法证明； (3)求在上的最大值. 【答案】(1)； (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）先根据已知条件求出进而求出，再开方即可求解. （2）先求出，再利用定义法证明函数的单调性求出单调区间即可. （3）利用（2）中结论，根据函数的单调性，结合，分、两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）因为，所以，即 因为，所以． （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 因为，且，所以， 当时，，所以，即， 当时，，所以，即， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． （3）当时，由（2）知在上单调递减，所以； 当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以若，则， 若，则． 综上，. 【变式1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，且． (1)求m； (2)判断函数在上是单调递增还是单调递减？并证明． (3)画出函数在上的大致图象.（要求写出关键点坐标，并画出图象的变化趋势） 【答案】(1)m=4 (2)单调递减，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据列式求解即可； （2）利用函数单调性定义，按“取值、作差，变形，判号，下结论”的步骤证明即可； （3）关键点，注意两条渐近线（轴与）. 【详解】（1）因为函数，且， 所以，所以. （2）由（1）知函数，函数在上是单调递减. 证明：任取且， 则 . 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以， 所以函数在上是单调递减. （3）解：函数在上的大致图象（如图）关键点. 【变式2】已知函数， (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)解关于x的不等式. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证； （2）结合（1）中结论，利用的单调性得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 因为， 任意，且， 则， 因为，，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （2）令，解得，所以， 由（1）知在上单调递增， 所以，解得或， 所以的解集为. 题型二 根据函数的单调性求参数 解｜题｜技｜巧 图象法 【典例1】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，对于，都有成立，求a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件判断出在上单调递减，再根据的解析式列出不等式组，求解即可. 【详解】因为对于，都有成立，所以在上单调递减， 又因为，所以，解得， 即a的取值范围为. 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·山东日照·期中）已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件可得在上单调递增，再分类讨论即可求解． 【详解】函数的定义域为R， 当时，， 令函数，依题意，对任意的，恒成立， 因此函数在上单调递增， 当时，则，解得，因此； 当时，函数在单调递增，因此； 当时，则恒成立，因此， 实数a的取值范围是． 故选：B 【变式2】（24-25高一上·广东茂名·期中）函数，对且，，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件分析函数单调性，结合二次函数对称轴可得结果. 【详解】因为对且，， 所以在上为增函数. 由得二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴，故. 故选：C. 题型三根据函数单调性解不等式 解｜题｜技｜巧 定义法 【典例1】（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)若函数的定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果； （2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解. 【详解】（1）任取，且，， 则 ， 又，，，则，， 所以，， 得到，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）因为函数的定义域为， 且在区间上是增函数，由， 得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. 【变式1】已知函数，，对任意的且，总有，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先判断函数的单调性，再由单调性列不等式组解抽象不等式即可； 【详解】因为，对任意的且，总有， 所以在上为单调递增函数， 又，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)是减函数，证明见解析 (3)或. 【分析】（1）根据根式以及分式的性质即可求解， （2）根据单调性的定义即可求解， （3）根据单调性以及定义域，列不等式求解. 【详解】（1）要使函数有意义，则且，即， 所以函数定义域为. （2）是减函数. 证明如下： 设，且， 则. 因为，所以.所以. 所以，即. 所以是减函数. （3）函数的定义域为， 要有意义，则，即， 要有意义，则. 因为是减函数， 由，得， 即，解得或. 综上得或. 所以不等式的解集为或. 题型四 根据函数单调性求最值或值域 解｜题｜技｜巧 图象法 【典例1】函数在区间上的值域为 ． 【答案】 【分析】根据函数在上的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上恒正且单调递增，则在上单调递减， 所以，故的值域为． 故答案为：. 【变式1】求下列函数的值域. (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，于是，由二次函数的性质求解． （2）设，于是，由反比例函数的性质求解． 【详解】（1）设，则，且， 于是， 所以的值域为． （2）设，由，得，且， 于是， 由，得， 得， 所以的值域为： 【变式2】求函数的值域. 【答案】 【分析】根据根式的性质求定义域，再由二次函数、根式型函数性质判断单调性，进而求值域. 【详解】的定义域为， 由，在上单调递增， 所以该函数在上单调递增，，故. 题型五 函数奇偶性判断 解｜题｜技｜巧 1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 【典例1】根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)奇函数； (2)偶函数； (3)偶函数； (4)偶函数； (5)非奇非偶函数 【分析】（1）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （2）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （3）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （4）判断函数的定义域为，再说明总有,由函数奇偶性的定义即可得解. （5）判断函数的定义域为，由函数奇偶性的定义即可得解. 【详解】（1）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有, 所以函数是奇函数； （2）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （3）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （4）依题意知函数的定义域为， 当时，，所以，，则， 当时，，所以，，则 所以为偶函数. （5）函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 【变式1】利用图象判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)偶函数 【分析】根据题意，先求得函数的定义域，然后分别画出分段函数的图象，结合其图象即可判断奇偶性. 【详解】（1）函数的定义域为， 对于函数， 当，为二次函数，是抛物线的一部分，开口向下，对称轴为， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 画出函数的图象，如图所示， 函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数； （2）函数的定义域为， 对于函数， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 画出函数的图象，如图所示， 函数图象关于y轴对称，故为偶函数； （3）函数， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 当，为二次函数，是一条抛物线的一部分，开口向上，对称轴为， 画出函数的图象，如图， 由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数． 【变式2】判断下列各函数是否具有奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)，； (5)； (6)． 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)非奇非偶函数 (5)非奇非偶函数 (6)非奇非偶函数 【分析】根据题意，先求得函数的定义域。判断是否关于原点对称，再由函数奇偶性的定义即可判断. 【详解】（1）定义域：  ∵对于任意且 ∴为奇函数. （2）定义域：  ∵对于任意且 ∴为偶函数. （3）定义域：，即，∴为非奇非偶函数. （4）定义域： ∴为非奇非偶函数. （5）定义域：，解得，∴为非奇非偶函数. （6）定义域：，即，∴为非奇非偶函数. 题型六 由奇偶性求解析式 解｜题｜技｜巧 奇偶性定义 【典例1】已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【详解】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 【变式1】定义在R上的奇函数，当时，，那么时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性以及时的解析式即可求得时的解析式. 【详解】当时，， 可得， 又因为为奇函数，所以，可得， 即时，. 故选：A 【变式2】已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质求函数解析式即得. 【详解】当时，，则， ∵函数是定义域为的偶函数，∴， ∴. 故选：A. 题型七 由奇偶性求参数 解｜题｜技｜巧 （1）函数奇偶性定义（2）特殊值法 【典例1】（24-25高二下·吉林·期末）已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据奇函数定义结合函数定义域计算求解. 【详解】函数是奇函数，且，都在定义域内， 所以且， 所以且， 所以，所以. 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 【变式2】（2025·江西景德镇·三模）函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为偶函数，得到对任意的恒成立，求得，利用函数的奇偶性的定义进行验证，即可求解. 【详解】若为偶函数，则对任意的恒成立， 即， 所以对任意的恒成立，故； 若，则， 所以，故为偶函数， 所以为偶函数的充要条件为. 故选：B． 题型八 单调性+奇偶性解不等式 解｜题｜技｜巧 （1）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： （2）为奇函数，定义域为，+的单调性，解不等式时， ①借助单调性得出的大小关系；②定义域： 【典例1】（24-25高一下·陕西安康·期末）已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)为偶函数. (3) 【分析】（1）由已知条件代入数值计算，即可得答案； （2）根据偶函数的定义即可判断结论； （3）判断函数的单调性，结合偶函数性质可得不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得， 将代入，得到，解得. （2）由（1）可得， 其定义域为，关于原点对称， 且， 故为偶函数. （3）当时，在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递减，且为偶函数， 故等价于， 两边平方可得，即， 解得. 【变式1】已知函数是定义在上的偶函数．其中、且． (1)求的表达式； (2)若，实数满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由偶函数性质得，再验证是偶函数即可； （2）由题意得的奇偶性、单调性，进一步等价转换不等式即可求解. 【详解】（1）由题意，即，解得， 当时，，此时定义域为关于原点对称， 且，即是偶函数， 故满足题意； （2）由题意，显然是偶函数， 所以也是偶函数， 当时，， 显然当时，都是增函数， 即在上单调递增，所以函数在上单调递减， 而， 所以，解得. 【变式2】已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)判断的单调性（无需证明），并解关于的不等式. 【答案】(1) (2)在上单调递减，. 【分析】（1）设，得到.由即可求解； （2）由二次函数单调性即可判断，利用函数的单调性奇偶性即可求解； 【详解】（1）设，则. 是奇函数，且当时，， . 所以； （2） 时，，对称轴为，开口向上，易知在为减函数， 由函数为奇函数，可知在上单调递减； 是奇函数， ， 即. 的定义域是是减函数， , 即，解得： 即不等式的解集是. 题型九 根据周期性求值 解｜题｜技｜巧 函数周期性的常用结论与技巧 设函数， ①若，则函数的周期； ②若，则函数的周期； ③若，则函数的周期； ④若，则函数的周期； ⑤，则函数的周期 【典例1】已知偶函数满足，则 . 【答案】0 【分析】由偶函数的定义和赋值法，以及找出函数的周期，然后计算即可. 【详解】令，则， 又因为为偶函数，则， 所以，于是化为：， 所以的周期， 所以. 故答案为：0. 【变式1】设是奇函数且满足，当时，，则（    ） A．-1.6 B．-1.2 C．0.7 D．0.84 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的周期，再结合周期性求出函数值. 【详解】由，得，函数的周期是2， 又函数是奇函数，且当时，， 所以. 故选：B 【变式2】（24-25高一下·浙江绍兴·期中）已知函数对任意，都有，的图象关于原点对称，且，则 【答案】2 【分析】由已知可得，可得周期为6，又可得，从而可求/ 【详解】函数对任意，都有，所以， 所以，所以是心6为周期的周期函数， 又的图象关于原点对称，所以是奇函数，即， 所以. 故答案为：. 题型十 单调性+奇偶性+周期性+对称性综合 解｜题｜技｜巧 （1）轴对称：若函数关于直线对称， 则①；②③ （2）点对称：若函数关于直线对称，则 ①②③ （3）点对称：若函数关于直线对称，则 ①②③ 【典例1】（多选）（2025·湖北黄冈·一模）定义在上的函数和，为奇函数，为偶函数，且，则（　　） A． B． C．的图象关于对称 D．8为的一个周期 【答案】BCD 【分析】对A：由为奇函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对B：由为偶函数可得，再利用，从而可消去，即可得解；对C：借助B中所得，结合赋值法计算即可得；对D：结合A中所得及为偶函数计算即可得. 【详解】对A：由为奇函数，则， 故，由， 则，且有， 即，则， 令，则，即，故A错误； 对B：由为偶函数，则， 由，则、， 故，又， 则，则，则， 由，则，故， 故，故B正确； 对C：由，则的图象关于对称，故C正确； 对D：由，则， 又，则，则， 则，即， 即8为的一个周期，故D正确. 故选：BCD. 【变式1】（多选）（25-26高三上·重庆·开学考试）已知定义在上的偶函数和奇函数满足 ，则下列说法正确的是 （    ） A． 的图象关于直线对称 B． 是以4为周期的周期函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由，可得,，结合为偶函数以及对称轴的定义即可判断；对于B，首先求出的周期，由可得的周期，对于C，令可得，根据以及可类推出即可求解. 【详解】对于A：由于为奇函数，所以，由可得： ，即， 所以,， 由于为偶函数，，所以， 则 的图象关于直线 对称，故A正确. 对于B：根据题意由可得； 又为奇函数，联立， 两式相加可得，所以， 又为偶函数，，所以， 可得，即， 所以，即是以8为周期的周期函数， 由于，则， 即是以8为周期的周期函数，可知B不正确； 对于C：由于为奇函数，则，令，则，所以，故C正确； 对于D：由于，由于，则，，依次类推：， 所以，故D正确； 故选：ACD． 【变式2】（多选）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ） A．为偶函数 B．关于直线，对称 C． D．是以4周期的周期函数 【答案】BD 【分析】由为奇函数，为偶函数，可得关于点对称，关于直线对称，即可判断A，B；假设C成立，可得函数的对称轴为，从而与前面的结论矛盾，即可判断；由已知条件可得，可得函数的周期为4，即可判断D. 【详解】因为为奇函数，则， 所以关于点对称， 因为为偶函数，则， 所以关于直线对称， 且，所以， 即，， 所以是以4为周期的周期函数，故D正确； 综合对称中心、对称轴、周期可知函数关于点中心对称， 即关于点，对称，故A错误； 且函数关于直线、、，对称， 关于直线，对称，故B正确； 若，即关于直线对称，矛盾，故C错误. 故选：BD. 期中基础通关练（测试时间：70分钟） 1．函数在区间上的最小值是（    ） A．0 B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】分段去掉绝对值符号，利用单调性求解可得. 【详解】， 则在上单调递减，在上单调递增， 故． 故选：A 2．若在上是单调函数，则的取值范围是（  ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知二次函数的对称轴和开口方向，结合单调性列式求解即可. 【详解】因为函数的图象开口向下，对称轴为， 若在上是单调函数，则或，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 3．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．[0，1] 【答案】B 【分析】根据分段函数单调性的性质，结合二次函数的单调性，列不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，在区间上单调递减，则，即， 且在分界点处满足，得， 所以. 故选：B 4．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知是定义在上的函数，当时，，则=（   ） A．-5 B．-1 C．1 D．4 【答案】B 【分析】利用已知条件求出函数周期，利用周期性结合对进行转化，再结合函数在给定区间上的表达式求出结果. 【详解】已知，则， 所以函数的周期为2， 所以， 因为，令，则， 当时，，则， 所以. 故选：B. 5．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在上的奇函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数的周期为2，利用函数为奇函数及周期为2，求解即可. 【详解】因为， 所以函数是周期函数，是其一个周期， 所以， 又因为函数为R上的奇函数， 所以， 即. 故选：B. 6．若是定义在上的奇函数，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．0 D．-1 【答案】C 【分析】根据函数是奇函数结合已知得出周期为4，再应用周期结合赋值法得出函数值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以且， 又因为，所以，所以，所以函数的周期为4， 因为，令，所以， 则； 故选：C. 7．已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 8．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是定义在R上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性分析可得到函数的一个周期，结合周期性运算求解即可. 【详解】是奇函数，则有， 令，则有， 又函数是定义在R上的偶函数，所以， 则有，即函数的一个周期为2. 所以. 故选：A 9．（多选）下列说法正确的是（    ） A．是减函数 B．在上单调递增 C．在上单调递增 D．在上的最小值为0 【答案】AC 【分析】根据一次函数、二次函数、对勾函数的单调性，结合函数单调性的性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以函数是减函数，故A正确； 函数在上单调递增，且此时有， 根据复合函数的单调性可知在上单调递减，故B错误； 由对勾函数的性质可知在上单调递增，故C正确； 函数的图象的对称轴为直线且，又函数的图象开口向上， 所以在上的最小值为，故D错误． 故选：AC 10．（多选）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于对称 C．函数的图象关于对称 D．函数为奇函数 【答案】BC 【分析】根据题意，综合利用周期性、对称性、奇偶性，逐一对选项进行分析判断. 【详解】选项A，，即函数的周期为4，所以选项A错误； 选项B，因为是偶函数，则有，即函数的图象关于对称，所以选项B正确； 选项C，因为，则，所以函数的图象关于对称，所以选项C正确； 选项D，因为，则，所以函数为偶函数，所以选项D错误. 故选：BC. 11．已知函数的图象关于直线对称，则 .（填“”或“”） 【答案】 【分析】由题意知二次函数在上单调递增，即可判断、的大小. 【详解】由的图象关于直线对称，且开口向上， ∴在上单调递增，故. 故答案为： 12．若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 【答案】2 【分析】由奇函数定义及性质求解. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得． 因为是奇函数，所以，所以， 即，解得，所以． 故答案为：2. 13．（25-26高三上·江苏盐城·开学考试）已知二次函数满足，且有最小值. (1)求的解析式； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的下方，试确定实数的取值范围； (3)设当时，函数的最小值为，求的解析式． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求解. （2）根据给定条件，列出恒成立的不等式并分离参数求解. （3）按函数图象对称轴与区间位置关系分类求出最小值. 【详解】（1）依题意，设，由，得，则， 所以的解析式为. （2）由（1）知：，由，函数的图象总在一次函数的图象的下方， 得在上恒成立， 函数图象开口向上，对称轴为，则函数在上单调递减， 则当时，，因此， 所以实数的取值范围为. （3）函数图象开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 所以． 14．已知函数的图象经过点． (1)求的解析式； (2)探究的奇偶性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)偶函数 (3) 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据函数奇偶性的定义进行判断即可； （3）利用函数的单调性，结合偶函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）把点的坐标分别代入中， 得； （2）显然函数的定义域为全体实数， 因为， 所以函数是偶函数； （3）当时，函数单调递增，且， 所以此时函数单调递减， 因为函数是偶函数， 所以由 ，或， 因此原不等式的解集为. 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 1．（25-26高二上·湖南长沙·开学考试）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】应用分段函数性质结合二次函数的单调性即可判断. 【详解】函数， 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 2．已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 【答案】B 【分析】先将函数进行分离常数的变形，然后根据反比例函数的性质分析其单调性，再结合函数在给定区间上的最大值列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】．因为，所以函数在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为，解得． 故选：B. 3．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试）已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足，则（    ） A．2 B．－4 C．2026 D．－4052 【答案】A 【分析】先根据的对称性得出，结合奇偶性得出是的一个周期，再利用赋值法和奇偶性求出，最后结合周期性即可求出. 【详解】函数的图象关于点对称，则， 即，则当时， 又，则对任意恒成立①， 又是定义在上的奇函数，则②，则， 即， 则，得，即是的一个周期， 由②可得，；由①可得，； 因，则，则， 则， 则. 故选：A 4．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．若对任意，恒成立，则实数t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得在上单调递增，由已知可得，可得，进而可求得数t的取值范围. 【详解】因为当时，，所以在上单调递增， 又函数是定义在R上的奇函数，所以，所以， 所以，又在上单调递增，所以在上单调递增， 对任意，， 当时，，可得， 当，，则，所以， 当时，，所以， 则， 从而，，，得． 所以实数t的取值范围为. 故答案为：. 5．已知函数是定义在R上的奇函数，当，且时，都有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据已知 结合函数单调性定义得出单调性，再结合奇偶性及对称性列不等式计算求解. 【详解】当，且时，都有成立，则在R上单调递增． 又是定义在R上的奇函数，所以的图象关于点对称． 由不等式，可得，解得， 故不等式的解集为． 故答案为：． 6．已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用与求出的值并验证即可. （2）判断函数单调性，再利用定义法证明函数的单调性. （3）求出函数在指定区间上的最大值，再结合已知列出不等式，求出实数k的范围. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 则，又，于是，解得， ，，即是奇函数， 所以. （2）函数在上的单调递减，理由如下： 任意，且， 则 ， 由，得， 则，即，因此 所以函数在上的单调递减. （3）由对任意的，总存在，使得成立， 得在上的最大值不大于在上的最大值， 由函数在上的单调递减，得， 当时，，恒成立，因此； 当时，在上单调递增，， 则，解得，因此； 当时，在上单调递减，， 则，解得，因此， 所以实数k的取值范围是. 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．（多选）（25-26高三上·江苏常州·开学考试）若函数在区间上值域为，则称为的“倍增区间”，则（   ） A．若为的“1倍增区间”，则 B．函数存在“1倍增区间” C．若函数存在“1倍增区间”，则的取值范围是 D．二次函数存在“2倍增区间” 【答案】ACD 【分析】根据函数“倍增区间”的定义，对于A，由，求解即可判断，对于B，假设存在，结合函数单调性得到，求解即可判断，对于C，假设存在“1倍增区间”，结合单调性得到，通过作差得到，再通过换元得到，再结合韦达定理及判别式即可判断，对于D，假设存在“2倍增区间”，由，结合一元二次方程求解即可判断. 【详解】对于A，由题意可知，为的单调递区间，函数值域为， 若为的“1倍增区间”，则，则或 （舍去），A正确； 对于B，函数中x的取值范围为 ， 若存在“1倍增区间”，则必有或， 又因为函数在区间上递减， 则有，则，解得 ，不符合或，所以B错误； 对于C，因为函数在上单调递减， 若存在“1倍增区间”（）， 则有，即， 两式作差得，即， 又，所以，故， 所以，设，则 ， 即是的一个根； 同理也是的一个根， 即在区间上有两个不相等的实数根， 只需 ，解得，C正确； 对于D，若函数存在“2倍增区间”， 设定义域为，值域为， 当 时，函数在定义域上单调递增，则， 则是方程的两个不相等的实数根，解得或 ， 故存在定义域为 使得值域为 ，D正确， 故选：ACD ． 2．定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【答案】 3 【分析】根据已知得，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】当时，解得或， 所以，作出的图象如图所示： 由图知：当时有最大值，所以， 当时，令，注意，解得或， 令，注意，解得， 当时，令，注意，解得， 令，注意，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 由上知，的最大值为. 故答案为：3， 3．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． (1)用定义证明函数在为单调递增函数； (2)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)不是“局部反比例对称函数”，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，设，用作差法证明； （2）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，判断方程有无实数解即可； （3）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，方程在有解，令，将问题转化为方程在上有解，再根据一元二次方程根的分布求解. 【详解】（1）证明：根据题意，，设，则. 则有，即， 所以函数在为单调递增函数. （2）根据题意，不是“局部反比例对称函数”，理由如下： 已知函数，若，则， 即，所以，所以方程无实数解， 即不存在实数，使成立， 故不是“局部反比例对称函数”. （3）根据题意，是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 则方程，即在上有解. 整理得：. 令，由，得， 所以问题转化为方程在上有解. 设函数，则其图象开口向上，对称轴为. 分类讨论： ①当时，只需，即， 解得，所以； ②当时，只需，即， 解得，所以. 综上，实数的取值范围为. 4．已知集合，，若存在：，使得成立，则称函数在区间D上具有性质. (1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； (2)若函数在区间上具有性质，求实数a的取值范围； (3)若存在唯一的实数m，使得函数在上具有性质，求t的值. 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2) (3)，. 【分析】（1）分别求出函数和在区间上的值域，再根据值域的关系判断即可； （2）分类讨论求函数在区间上的值域，再根据值域的关系列不等式，求解即可； （3）由唯一性得，即两个函数的值域相等，分类讨论求值域，列方程组求解即可. 【详解】（1）因为函数是增函数，所以值域， 当时，函数在区间上单调递减，所以值域， 因为不是的子集，所以函数在区间上不具有性质. （2）①当时，函数， 此时函数在区间上单调递减，所以值域为， 又，函数在上单调递减，所以值域为， 此时，，，不符合，故舍去； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以值域为， 又函数在上的值域为， 此时，，，不符合，故舍去； ③当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以值域为， 又函数在上的值域为， 此时，，，因为， 所以，解得， 因此，a的取值范围为. （3）由题意得，的值域为，即， 的对称轴，且开口向下， ①当时，在上单调递减，又，， 则值域为，由，得， 解得，不满足，故舍去； ②当时，在上单调递增，又，， 则值域为，由，得， 解得，不满足，故舍去； ③当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，又，， （i）当，即时，的值域， 由，得，解得，，符合题意； （ii）当，即时，的值域， 由，得，解得，所以符合题意， 综上所述，t的取值为，. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键在于由唯一性得值域相等，再分类讨论求值域即可. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $