23.1 第1课时 旋转的概念与性质（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

第二十三章 旋 转 23.1 图形的旋转 23.1.1 第1课时 旋转的概念与性质 学习目标：1.掌握旋转的有关概念及基本性质. 2.能够根据旋转的基本性质解决实际问题. 重点：掌握旋转的有关概念及基本性质. 难点：探索旋转的性质并能运用旋转的性质解决实际问题. 自主学习 一、知识链接 1.将图①平移，使点A的对应点为点C，画出平移后的图形. 2.如图②，已知△ABC和直线l，请画出△ABC关于直线l的对称图形. 图① 图② 课堂探究 二、要点探究 探究点1：旋转的概念 观察与思考 问题 观察下面的现象，它有什么特点？ 钟表的指针在不停地转动，从 12 时到 4 时，时针转动了______度. 风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置. 思考 怎样来定义上面这些图形的变换？ 知识要点 旋转的定义 把一个平面图形绕平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转. 点O叫做旋转中心.转动的角叫做旋转角. 如果图形上的点P经过旋转变为点P'，这那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 转动的方向分为顺时针与逆时针. 典例精析 例1 下列物体的运动是旋转的有 . ①电梯的升降运动； ②行驶中的汽车车轮； ③方向盘的转动； ④骑自行车的人； ⑤坐在摩天轮里的小朋友. 方法总结：判断一种运动是否属于旋转，先看图形是否在同一平面内运动，其次要看是否有旋转中心，旋转角，旋转方向，还要注意判断变化前后图形大小是否发生了变化. 例2 若叶片A绕O顺时针旋转到叶片B，则旋转中心是______，旋转角是_________，旋转角等于____°，其中的对应点有_______、 _______、 _______、 _______、 _______、 _______ . 练习 如图，△ABD经过旋转后到△ACE的位置. (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转了多少度?顺时针还是逆时针？ (3)如果M是AB的中点，经过上述旋转后，点M转到什么位置? 归纳总结：确定一次图形的旋转时，必须明确旋转中心、旋转角、旋转方向. 温馨提示：旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素. 典例精析 例3 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(　　) A．30° B．45° C．90° D．135° 探究点2：旋转的性质 △ABC 如何运动到△A′B′C的位置？ 合作探究1 根据图形填空 旋转中心是点__________； 图中对应点有 ； 图中对应线段有_____________________________________. 每对对应线段的长度关系是________. 图中旋转角等于________°. 合作探究2 观察下图，你能得到什么结论？ 知识要点：旋转的性质 1.对应点到旋转中心的距离相等； 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3.旋转前、后的图形全等. 想一想 如图，将△ABC逆时针旋转△ADE，如何确定它们的旋转中心位置？ 练一练 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A（1，2）、B（-2，2）、 C（-1，0）．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（　　） A．（0，0） B．（1，0） C．（1，-1） D．（2.5，0.5） 方法总结：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，要找到旋转中心，找到两组对应点连线的垂直平分线的交点即可. 例4 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，求∠B的度数. 变式 如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A逆时针旋转120°，得到△AB'C' ，连接BB' .若AC'∥BB' ，则∠CAB' 的度数为多少？ 例5 如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，已知AF＝5，AB＝8，求DE的长度. 方法总结：利用旋转的性质解决问题时应抓住以下几点：(1)明确旋转中的“变”与“不变”； (2)找准旋转前后的“对应关系”；(3)充分挖掘旋转过程中的相等关系. 三、课堂小结 旋转 定义 三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度 性质 ①对应点到旋转中心的距离相等； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； ③旋转前、后的图形全等 当堂检测 1.下列现象中属于旋转的有( ) ①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③水龙头开关的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动；⑥荡秋千运动. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2. 下列说法正确的是( ) A.旋转改变图形的形状和大小 B.平移改变图形的位置 C.平移图形可以向某方向旋转一定距离得到 D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到 3.△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是( ) A.DE=3 B.AE=4 C.∠CAB是旋转角 D.∠CAE是旋转角 第3题图 第4题图 第5 题图 4.如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△ABC，且A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．则旋转中心的坐标是（　　） A．（0，0） B．（-1，0） C．（1，0） D．（0，-1） 5.如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3则∠BE′C＝________度． 拓展提高： 6.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM． （1）求证：EF=MF； （2）当AE=1时，求EF的长． 参考答案 自主学习 1、 知识链接 1.图略 2.图略 课堂探究 二、要点探究 探究点1： 观察与思考 钟表的指针在不停地转动，从12时到4时，时针转动了120度 思考 答：把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度. 把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着平面内中心固定点转动一定角度. 风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置. 典例精析 例1 ②③⑤ 例2 O ∠AOB 60 A与B B与C C与D D与E E与F F与A 练习 解：(1)旋转中心是点A. (2)旋转了60°，逆时针. (3)点M转到了AC的中点上. 典例精析 例3 C 探究点2：合作探究1 绕点 C 逆时针旋转45° 填空：C 点A与点A′，点B与点B′，点M与点M′，点N与点N′ CA与CA′、CB与CB′、AB与A′B′ 相等 45 合作探究2 解：角：∠AOA'=∠BOB' =∠COC'；线： AO=A'O ，BO=B'O ，CO=C'O 想一想 解：如图，两条对应点连线段的垂直平分线的交点O即为旋转中心. 练一练 C 例4 解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°，AB=AD. ∴∠B=(180°－150°)=15°. 变式 解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转120°，得到△AB' C'，∴∠BAB' =∠CAC' =120°，AB=AB' .∴∠AB'B= (180°－120°)=30°.又∵AC' ∥BB' ，∴∠B'AC' =∠AB'B=30°. ∴∠CAB'=∠CAC' －∠B'AC' =120°－30°=90°. 例5 解：∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴AE＝AF＝5，AD＝AB=8. ∴DE＝AD－AE＝8－5＝3. 当堂检测 1. C 2. B 3. D 4. A 5. 135 拓展训练： （1） 证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE=DM，∠EDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=45°，∴∠EDF=∠FDM．又∵DF=DF，DE=DM，∴△DEF≌△DMF. ∴EF=MF. （2）解：设EF=MF=x，∵AE=CM=1，AB=BC=3，∴EB=AB－AE=3－1=2，BM=BC+CM=3+1=4， ∴BF=BM－MF=4－x．在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2 ，即22+(4－x)2=x2，解得x= .则EF的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $