22.2 二次函数与一元二次方程（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 学习目标：1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系. 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根. 重点：能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 难点：通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系. 自主学习 一、知识链接 1.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程(a≠0)根的情况. 2. 写出二次函数的图象的顶点坐标、对称轴，并画出它的图象.然后观察图象，x为何值时，y=0？ 课堂探究 二、要点探究 探究点1：二次函数与一元二次方程的关系 问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系： h=20t－5t2， 考虑以下问题： (1) 小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ (2) 小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ (3) 小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ (4) 小球从飞出到落地要用多少时间？ 从上面发现，二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0)何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. 典例精析 例1 如图，小丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x (单位：m)是铅球离初始位置的水平距离，y (单位：m)是铅球离地面的高度. (1) 当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？ (2) 铅球离地面的高度能否达到2.5m？如果能，它离初始位置的水平距离是多少？ (3) 铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？ 二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了. y = ax2 + bx + c(a≠0) y = M ax2 + bx + c= M 探究点2：利用二次函数深入讨论一元二次方程 思考 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ (1) y=x2+x－2； (2) y=x2－6x+9； (3)y=x2－x+1. 要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系： 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2－4ac 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2－4ac＞0 有一个公共点 有两个相等的实数根 b2－4ac=0 没有公共点 没有实数根 b2－4ac＜0 例2 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个公共点； (2)若此抛物线与x轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 【变式题】已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值． 探究点3：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 例3 利用函数图象求方程x2+2x-1=0的实数根(结果保留小数点后一位). 分析：一元二次方程 x²－2x－2=0 的根就是抛物线 y=x²－2x－2 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法. 方法归纳: 一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. (1)用描点法作二次函数的图象； (2)观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标； 由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标即为方程的根，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值)； (3)确定方程的近似解. 由此可知，使二次函数的函数值更接近 0 的数，即为方程的近似解. 例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的近似根为(　　) A． x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 方法总结：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确． 探究点4：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展) 问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图①，那么： 方程ax2+bx+c=0的根是 ； 不等式ax2+bx+c>0的解集是 ； 不等式ax2+bx+c<0的解集是 . 图① 图② 拓广探索： 函数y=ax2+bx+c的图象如图②，那么： 方程ax2+bx+c=2的根是 ______________；不等式ax2+bx+c>2的解集是___________； 不等式ax2+bx+c<2的解集是_________. 问题2 如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有 个公共点，坐标是 ；方程ax2+bx+c=0的根是 . 问题3 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个公共点；不等式ax2+bx+c<0的解集是什么？ 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式. (1) ①－x2+x+2=0； ②－x2+x+2>0； ③－x2+x+2<0. (2) ①x2－4x+4=0； ②x2－4x+4>0； ③x2－4x+4<0. (3) ①－x2+x－2=0； ②－x2+x－2>0； ③－x2+x－2<0. 要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系： 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 a＞0 a＜0 有两个公共点 (x1，0)，(x2，0)(x1＜x2) y＜0，x1＜x＜x2； y＞0，x＞x2或x＜x1 y＞0，x1＜x＜x2； y＜0，x＜x1或x＞x2. 有一个公共点x0 y＞0，x0之外的所有实数； y＜0，无解 y＜0，x0之外的所有实数； y＞0，无解. 没有公共点 y＞0，所有实数； y＜0，无解 y＜0，全体实数； y＞0，无解 三、课堂小结 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 x1，x2 x1=x2＝- 没有实数根 不等式ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 x<x1或x>x2 x ≠ x1 的一切实数 所有实数 不等式ax2+bx+c<0(a>0) 的解集 x1<x<x2 无解 无解 当堂检测 1.根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c －0.06 －0.02 0.03 0.09 可知方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，a，b，c为常数)的一个解x1的范围是（ ） A. 3＜x1＜3.23 B. 3.23＜x1＜3.24 C. 3.24＜x1＜3.25 D. 3.25＜x1＜3.26 2.若一元二次方程无实根，则抛物线的图象位于(　　) A.x轴上方 B.第一、二、三象限 C.x轴下方 D.第二、三、四象限 3.二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是(　　) A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0 4.若二次函数y=－x2+2x+k的部分图象如图所示，且关于x的一元二次方程 －x2+2x+k=0有一个解x1=3，则另一个解x2= . 5.一元二次方程 3x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2=，那么二次函数 y=3x2+x－10与x轴的交点坐标是 . 6.已知二次函数的图象，利用图象回答问题： (1)方程的解是什么？ (2) x取什么值时，y>0 ？ (3) x取什么值时，y<0 ？ 7.已知函数y＝(k-3)x2＋2x＋1的图象与x轴有公共点，求k的取值范围． 8.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？ 参考答案 自主学习 知识链接 1.当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根. 2.解：y=x2-2x-3=(x-1)2-4,则y=x2-2x-3的图象的顶点坐标为（1，-4），对称轴为直线x=1，画图略，当x=3或-1时，y=0. 课堂探究 二、要点探究 探究点1：二次函数与一元二次方程的关系 问题 解：（1）令15=20t-5t2，t2-4t+3=0，t1=1，t2=3.∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m. （2）令20=20t-5t2,t2-4t+4=0，t1=t2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）令20.5=20t-5t2，t2-4t+4.1=0，因为(-4)2-4 ×4.1<0，所以方程无解.即球的飞行高度达不到20.5m. (4)令0=20t-5t2，t2-4t=0，t1=0，t2=4.当球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m，即小球从飞出到落地要用4 s时间. 典例精析 例1 解 ：（1）由抛物线的表达式得即x2-6x+5=0,解得x1=1，x2=5. 即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是1m或5m. （2）由抛物线的表达式得即x2-6x+9=0，解得x1=x2=3.即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位置的水平距离是3m. （3）由抛物线的表达式得即x2-6x+14=0，因为Δ=(-6)2-4×1×14＜0，所以方程无实根.所以铅球离地面的高度不能达到3m. 探究点2：利用二次函数深入讨论一元二次方程 思考 解：（1）y=x2－x+1的图象与x轴无交点，则相应的一元二次方程为x2－x+1=0无实数根. (2) y=x2－6x+9的图象与x轴有2个重合的点，交点的横坐标为3，则相应的一元二次方程为x2－6x+9=0，其根为x1=x2=3. (3) y=x2+x－2的图象与x轴有2个交点，交点的横坐标分别为-2，1，则相应的一元二次方程为x2+x－2=0，其根为x1=-2，x2=1. 例2 (1)证明：对于一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2=0(m ≠ 0)∵Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2≥0，∴一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2=0一定有两个根. ∴抛物线y=mx2－(m＋2)x＋2=0与 x 轴总有公共点. (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，所以 x－1＝0或mx－2＝0，解得 x1＝1，x2＝ 当m为正整数1时，x2为整数且x1≠x2，即抛物线与x轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数．所以正整数m的值为1. 【变式题】(1)证明：∵a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，∴不论a取何值时， 抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点. (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，∴＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，∴a＝1. 探究点3：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 例3 解：画出函数 y=x²-2x-2 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间，另一个在2与3之间. 先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.8或-0.7，利用计算器进行探索，见下表： x ··· -0.8 -0.7 ··· y ··· 0.24 -0.11 ··· 观察上表可以发现，当x分别取-0.8和-0.7时，对应的y由负变正，可见在-0.8与-0.7之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-2的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.8或x=-0.7都符合要求.但当x=-0.7时更为接近0.故x1≈-0.7. 同理可得另一近似值为x2≈2.7. 例4 B 探究点4：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展) 问题1 x1=-1,x2=3 x＜-1或x＞3 -1＜x＜3 拓广探索： x1=-2,x2=4 x＜-2或x＞4 -2＜x＜4 问题2 1 （2，0） x1 = x2 = 2 问题3 0 （1）当a>0时， ax2+bx+c<0无解;（2）当a＜0时， ax2+bx+c<0的解集是一切实数. 试一试：解：（1）①x1=-1 , x2=2 ②-1 ＜ x＜2 ③x＜-1或 x＞2 （2）①x1= x2=2 ②x≠2的一切实数 ③ x无解 （3）①x无解 ②x无解 ③ x为全体实数 当堂检测 1.C 2.A 3.D 4.-1 5.（-2，0）， 6.解：（1）x1=2，x2=4; （2）x<2或x>4; （3）2<x<4. 7.解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵直线y＝2x＋1与x轴有一个交点， ∴k＝3符合题意；当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有公共点，∴Δ＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4. 8. 解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A，B(4，4)，C(7，3). 其中B是抛物线的顶点．设抛物线解析式为y＝a(x－4)2＋4，将点A的坐标代入，可得a＝－，故y＝－(x－4)2＋4. 当 x＝7 时，y＝－(7－4)2＋4＝3，∴点 C(7，3) 在该抛物线上．∴此球一定能投中. （2）将x＝1代入函数关系式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽拦截能获得成功． 学科网（北京）股份有限公司 $