22.2二次函数与一元二次方程（题型专练）数学人教版九年级上册

22.2二次函数与一元二次方程 题型一、二次函数与坐标轴的交点问题 1．（23-24九年级上·天津河西·期末）抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的关系，理解掌握两者的实质关系是解本题的关键．求出一元二次方程的两个根，，即可得出抛物线与x轴的两个交点，． 【详解】解：令， 即， 解得一元二次方程的根为：，； 则抛物线与x轴的两个交点分别为和； 故答案选：A． 2．（22-23九年级上·上海普陀·期中）如果抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点的坐标是，那么它与x轴的一个交点的坐标是（   ） A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0） 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性解答即可． 【详解】解： 抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， 抛物线与x轴另一交点的横坐标为 ， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ， 故选：C 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，正确理解抛物线的对称性是解题的关键． 3．（24-25九年级上·山东德州·期中）二次函数的解析式为与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，求出二次函数，当时求出的值，当时y的值，进而即可求解 【详解】解：∵， 当时，，解得： 当时，， ∴二次函数与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是． 故答案为：，． 4．（21-22九年级上·浙江丽水·期中）已知二次函数． （1）求抛物线开口方向及对称轴． （2）写出抛物线与y轴的交点坐标． 【答案】（1）开口向上，直线；（2） 【分析】（1）根据二次函数的顶点式进行解答即可； （2）令x=0，求出y的值即可． 【详解】（1）∵， ∴抛物线开口向上， ∵=， ∴对称轴是直线； （2）∵， ∴， ∴与y轴交点坐标是． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 5．（22-23九年级上·广西河池·期中）若函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与轴的交点问题，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与二次函数图象与轴的交点个数关系是解题的关键． 【详解】解：函数的图象与轴有两个交点， 令，则， ∴， 解得， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·广东中山·期中）已知抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴没有交点，则，进而求解． 【详解】解：抛物线与轴没有交点， ∴， 解得， 的取值范围是． 故答案为：． 7．（2018·河南许昌·一模）已知抛物线与x轴只有一个交点，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点个数问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由抛物线与x轴只有一个交点得到的方程的根的判别式为0，解方程即可． 【详解】解：当时，， 由题意得，， 解得：， 故答案为：1． 8．（22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若二次函数的图象与x轴只有一个交点，求b的值． 【答案】5或-3 【分析】根据函数图象与x轴只有一个交点，可得 ，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点， ∴． 解得：或-3． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握当时，二次函数的图象与x轴有两个交点；当时，二次函数的图象与x轴有一个交点；当时，二次函数的图象与x轴没有交点． 题型二、二次函数的图象与一元二次方程的解 9．（24-25九年级上·天津北辰·期中）已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（      ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，找出抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．根据抛物线与x轴交点的横坐标，即可得方程的解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为与， ∴的两根为：，． 故选：A． 10．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ）　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是掌握二次函数的性质； 一元二次方程的根即为二次函数的图像与x轴的交点的横坐标，结合图像即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的根即为二次函数的图像与直线x轴的交点的横坐标， 结合图像，可知二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 11．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则关于的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了根据二次函数图象与一次函数图象交点求方程的解，理解交点的意义是解题的关键． 根据图示，由交点横坐标即可求解． 【详解】解：根据题意，关于的方程的解为， 故答案为： ． 12．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程较小的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 是常数，与一次函数图象的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 利用抛物线与直线的两个交点的意义得到当或时，，于是得到方程的解，从而确定方程较小的根。 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， 当或时，， 方程的解为，， 方程较小的根是， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象结合当时，，即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可得：方程的两个根为． 故答案为：； （2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为， ∵， ∴当时，， ∴当时，自变量的取值范． 故答案为：；； （3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是． 故答案为：． 题型三、判断一元二次方程的解的近似值 14．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根．通过表中数据确定当时，在和之间，再根据对称性得到当时，还在和之间，据此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴观察表格可知，当时，在和之间， 根据二次函数的对称性可知，当时，还在和之间， 故选：D． 15．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图像法求一元二次方程的近似解，根据表格中的数据计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知：当时，且当时， 一元二次方程的一个近似解的范围是 故答案为：． 16．（23-24九年级上·全国·课后作业）利用二次函数的图象求一元二次方程的实数根．（精确到0.1） 【答案】 【分析】首先画出二次函数的图象，然后利用图象求解即可． 【详解】解：方程的根是函数的图象与轴的公共点的横坐标． 作出二次函数的图象（如图）．    由图象可知方程有两个根，一个根在和0之间，另一个根在2和3之间．先求和0之间的根． 当时，； 当时，． 因此，是方程的一个近似根． 同理，2.4是方程的另一个近似根． 综上，方程的实数根为（根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1均可）． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，函数图象与x轴交点的横坐标是相应方程的解． 题型四、根据二次函数的图象写出不等式的解集 17．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，若二次函数图象的对称轴为直线，与x轴交于A、B两点，点则当时，x的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的对称性，以及结合二次函数图象观察函数的取值问题．利用二次函数的对称性，得出图象与x轴的另一个交点坐标，再结合图象，得出y的取值大于0时，图象为x轴上方部分，即可得出自变量x的取值范围． 【详解】解：二次函数对称轴为直线，与轴交点为， ∴根据二次函数的对称性，可得到图象与轴的另一个交点坐标为， 又函数开口向下，x轴上方部分， ． 故选：B． 18．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图象可得出当时对应的x的值，然后结合函数图象求解即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，，， 结合函数图象可知，当成立的的取值范围是或． 故选：C． 19．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了图象法求不等式的解集．根据函数图象可知直线在抛物线上方时，取值范围，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得直线在抛物线上方时，， 即的解集为， 故答案为：． 20．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集 ． 【答案】或 【分析】本题考查数形结合，利用数形结合的思想，找到图象在轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：关于的不等式的解集为：或； 故答案为：或． 21．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于和两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的横坐标为4，请直接写出当时，的取值范围是_______． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数图形交点求不等式解集，掌握二次函数图形的性质是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：观察图象可知当或时，当， 故答案为：或． 22．（2025·湖北十堰·模拟预测）抛物线（a为常数且），过点，且，下列结论：①；②；③；④若关于x的方程有实数根，则．其中正确的结论有（  ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据及过点，且，结合二次函数的性质与判别式条件，逐一分析各结论的正确性． 【详解】解：①∵抛物线（a为常数且），过点， ∴抛物线可表示为， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，结论①错误； ②将代入，得 ∵， ∴， ∵， ∴，结论②正确； ③∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，结论③错误； ④∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∵，结论④正确． 综上，正确结论为②④， 故选：D． 23．（2025·青海·三模）如图是抛物线图象的一部分，其顶点坐标为，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④不等式的解集为；⑤方程有两个相等的实数根；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题意，，，可判断错误；观察对称轴即可判断正确；根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点是可判断④错误；抛物线 图象与直线只有一个交点，方程有两个相等的实数根，故⑤正确． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∵对称轴在轴右边， ∴， ∴， ∴，故错误， ∵顶点坐标为， ∴， ∴，故②正确； ∵，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点是，故错误， 由题意：图象与直线交于，两点， ∴当时，即不等式的解集为，故④正确， ∵抛物线 图象与直线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根，故⑤正确， 故选C． 【点睛】此题考查了二次函数的性质、二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题． 题型五、二次函数的图象与系数的关系 24．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图为二次函数（）的图象，图象与轴的交点为和，对称轴是直线，则下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤（常数）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，图象与轴的交点为和，对称轴是直线，进而结合二次函数的性质即可逐个判断得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线开口向下，图象与轴交于正半轴， ∴，． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴． ∴，，故①②说法正确； 由图象可得，当时，，故③说法错误； ∵抛物线过， ∴当时，． 又∵， ∴，故④说法错误； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，取最大值为， ∴当时，， ∴，即，故⑤说法正确． 正确的有①②⑤，共个． 故选：B． 题型一、已知二次函数图象与x轴的交点情况求参数 25．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数与轴有两个不同交点，则，代入数值计算，即可作答． （2）先由得，分析函数的图象性质得开口向上，在对称轴处，有最小值，即，再结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴有两个不同交点， ∴， 解得； （2）解：依题意，把代入， 得， ∴对称轴为直线， ∵， ∴开口向上， 在对称轴处，有最小值，即， 把代入， 把代入， ∴当时，该函数的范围为． 26．（24-25九年级上·广东汕头·期末）已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，求的值． 【答案】3 【分析】根据抛物线对称性可得抛物线对称轴为直线，从而可得，由抛物线x轴有公共点，可得，将代入可得，，进而求解．本题二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与轴交点与判别式的关系． 【详解】解：抛物线经过不同两点，， 抛物线对称轴为直线， 即，整理得， 该二次函数的图象与x轴有公共点 ∴ ， ∵， ∴， ，， ． 27．（2025·浙江绍兴·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移m个单位，若平移后的抛物线过点，且与x轴两交点之间的距离为6，求m的值． (2)已知点在抛物线上，且，求n的取值范围． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】（1）①由，可得，即可得抛物线的顶点坐标为． ②平移后所得抛物线为，将代入，得，即，可得．设平移后抛物线与x轴的两个交点坐标为，，可得，，进而可得，求出a的值，从而可得答案． （2）由题意得，抛物线的对称轴为直线，可得点关于对称轴的对称点为，将，代入，得，可得，进而可得，结合，从而可得n的取值范围． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为． ②将抛物线向下平移m个单位，所得抛物线为， 将代入，得， ∴， ∴． 设平移后抛物线与x轴的两个交点坐标为，， ∴，． ∵平移后抛物线与x轴两交点之间的距离为6， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴． （2）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 将，代入， 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴n的取值范围为． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型二、二次函数的性质与推理问题 28．（2024·河北邢台·一模）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，求的值； (2)已知，若，有最大值9，求的值； (3)①求点坐标； ②已知，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 【答案】(1)的值分别为 (2)或 (3)①点坐标为；② 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法，将点代入表达式解方程组即可得到答案； （2）由得到抛物线为，化为顶点式得到抛物线顶点坐标为，根据开口方向，分类讨论求解即可得到答案； （3）①当时，，则点坐标为；②将，代入得到，再由抛物线经过，，得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴的值分别为； （2）解：∵， ， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，， ∴当时，为最大值， 即，解得； ②当时，抛物线开口向下， ∴当时，为最大值， 即，解得； 综上所述，或 （3）解：①∵抛物线， 当时，，则点坐标为； ②∵，均在抛物线上， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过，， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 29．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①直接写出b与a满足的数量关系； ②m与n的大小关系是：m_______n．（填“＞”，“＜”或“＝”） (2)已知点在抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1)①；②＞ (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可； ②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，据此即可得到，进而可以得解． 【详解】（1）解：（1）①由题意，∵， ∴． ②∵抛物线中，， ∴抛物线开口向上， ∵点，点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴． 故答案为：>． （2）由题意，∵抛物线的对称轴是直线，且抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵， ∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， ∵，都有， ∴点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离， ∴ ， ∴． ∴t的取值范围是． 题型三、二次函数与函数值的最值或范围问题 30．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知二次函数 (a，b，c是常数，)，其中两个变量x与y的部分对应值如下表所示： x … m 1 … y … 0 0 … (1)则 ； (2)求该二次函数的表达式； (3)当时，则y的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，也考查了二次函数的性质． （1）利用抛物线的对称性先确定抛物线的对称轴为直线，然后利用当和 时函数值相等得到的值； （2）设交点式为，然后把代入求出即可； （3）先利用配方法得到 则当时，有最小值 由于当时，从而可确定当时，的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线 ∴当和 时，即 故答案为：； （2）解：设抛物线解析式为把代入得，解得， ∴抛物线解析式为即； （3）解：， ∴当时，有最小值，最小值为 ∵当时，；当时，； ∴当时，则的取值范围是 故答案为：． 31．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)已知点，，连结，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求m的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，请直接写出n的值，不必说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法，点平移的性质，二次函数的图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）由（1）知二次函数的表达式为分别令求出，，结合图形即可解答； （3）根据题意分为当时，当时，当时，结合二次函数的最大值与最小值的差为，建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵二次函数，经过点，对称轴为直线， ∴，， ∴，， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵点，，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后， ∴点，的对应点坐标为， 由（1）知二次函数的表达式为， 令， 解得：， 令， 解得：， 如图：当点经过点时，恰好与的图象有交点， 则； 如图，当点经过点时，恰好与的图象有交点， 则； 综上，时，恰好与的图象有交点； （3）解：∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ①当时，即时， 二次函数的最大值为，最小值为， ∴， ∴(不合题意，舍去)； ②当时， 二次函数的最大值为，最小值为，或最大值为， ∴或， ∴或(不合题意，舍去)；或(不合题意，舍去)； 当时， 二次函数的最小值为，最大值为， ∴， ∴(不合题意，舍去)； 综上，n的值为． 题型四、构造的新函数图象探究问题 32．（24-25九年级上·云南昆明·期中）九年级“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实效，x与y的几组对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 m 0 0 3 … 其中，______； (2)根据表中数据，在如图的平面直角坐标系中描点．并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)进一步观察探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根； ②方程有______个实数根； ③关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______． 【答案】(1)0 (2)见解析 (3)①3，3；②2；③ 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，关键是对函数图象的认识和函数性质的掌握． （1）把代入，即可解得答案； （2）由列表，描点，连线，即可得出函数图象； （3）①观察图象即可解答； ②方程的根为函数与的交点的个数，观察图象，即可得出答案； ③方程的根为函数与的交点的个数，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入函数解析式可得：， 所以． 故答案为：0； （2）解：如图所示： （3）解：①由函数图象知，函数图象与轴有3个交点， 所以方程有3个实数根； ②如图： 函数图象与直线有2个交点， 所以有2个实数根； ③由函数图象可知，关于的方程有4个实数根， 则直线在直线和轴之间， 所以． 故答案为：①3，3；②2；③． 33．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）小亮同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表，描点，连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： (1)观察探究： ①写出该函数的一条性质：_______； ②方程的解为：_______； ③若方程有四个实数根，则的取值范围是_______． (2)延伸思考： 将函数的图象经过平移可得到函数的图象，画出平移后的大致图象，并写出平移过程，再通过图象直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)①关于轴对称（答案不唯一）；②或；③ (2)图见解析；平移过程为：将函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到函数的图象；且 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当y=-1时，自变量x的值，则可看作直线与函数的图象交点问题，进而问题可求解；③由题意可看作直线与函数的图象有四个交点的问题，进而问题可求解； （2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律写出平移的过程，画出函数的图象，根据图象即可得到结论． 【详解】（1）解：①由图象可得：关于轴对称；函数有最大值为0等；（答案不唯一）． ②由图象可得：或； ③由图象可得：当时，方程有四个实数根， 故答案为：①关于轴对称（答案不唯一）；②或；③； （2）解：图象如图所示， 平移过程为：将函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到函数的图象， 由图象可得：当时， 自变量的取值范围为且． 34．（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据对称轴公式可得，即，据此可判断A；根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，则抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，据此可判断B；当时，，再由，即可判断D；根据抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，当时，，根据题意不能确定的符号，则C选项不一定成立． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项中原结论错误，不符合题意； ∵抛物线与轴的交点位于轴下方， ∴当时，， ∵当时，， ∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根， ∴，故B选项中原结论错误，不符合题意； ∵当时，，且当时，， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴当时，， ∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意； 当时，， ∵抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴当时，的符号不确定，即的符号不确定， ∴不一定成立，故C选项不正确，不符合题意； 故选：D． 35．（2025·江苏无锡·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数）开口向上，过两点，且．下列四个结论中正确的结论有（   ） ①；②若时，则； ③若点在拋物线上，，且，则； ④时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根． A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的对称性，增减性，二次函数与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象开口向上，即，对称轴直线为，且可判定①；根据二次函数对称轴直线的计算方法，图象过点的知识结合可判定②；根据题意可得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，图象开口向下，由离对称轴越远值越小可判定③；根据二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系可判定④；由此即可求解． 【详解】解：抛物线（，，是常数）开口向上， ∴， ∵二次函数图象过两点， ∴对称轴直线为， ∵， ∴， ∴，故①错误； 若，则， ∴， 把代入抛物线解析式得，， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴直线为，且， ∴， 已知点，在抛物线上，，且， ∴， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，故③错误； 已知抛物线过两点， ∴设抛物线解析式为：， 令，整理得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故④正确． 综上所述，正确的有②④， 故选：C． 36．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过与两点，关于x的方程有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程有两个整数根，则这两个整数根分别为 ． 【答案】和2 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程的两个整数根，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数的图象经过与两点， ∴时，的两个根为和1，函数的对称轴是直线， 又∵关于x的方程有两个根，其中一个根是3， ∴方程的另一个根为， ∵关于x的方程有两个整数根， ∴抛物线与直线的交点的横坐标在与之间和1与3之间， ∴关于x的方程有两个整数根，这两个整数根是和2， 故答案为：和2． 37．（2025·福建宁德·二模）已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意得到二次函数的对称轴为直线，再由当时，函数值；当时，，可得，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，然后分两种情况：若点，均在对称轴的右侧，若点，均在对称轴的两侧，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线， ∴横坐标为5关于对称轴的对称点的横坐标为1， ∵当时，函数值；当时，， ∴，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 若点，均在对称轴的右侧， 此时， ∵抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1， ∴当时，， ∴，即， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 即， 此时； 若点，均在对称轴的两侧，则 ， 即； 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 38．（2025·山东济宁·三模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，满足，求a取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，与x轴的交点问题，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入，得到，再由对称轴公式即可求解； （2）当时，；当时，．根据对称性，和时，y值相等，即可求解； （3），可得，而时，，则时，，即，解不等式即可． 【详解】（1）解：在函数的图象上， ， ， 对称轴为直线，顶点坐标为 （2）解：由（1）得，， 当时，；当时，． 根据对称性，和时，值相等， ． （3）解：，对称轴为， ， ， ， 时，， 时，，即， 解得：． 39．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）二次函数（a为常数，）． (1)若该二次函数图象关于直线对称，求a的值； (2)若该二次函数图象上点，满足，求a的范围； (3)若该二次函数图象上两个不同的点，满足，求的取值范围 【答案】(1)； (2)； (3) ． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，掌握对称轴公式以及函数图象的性质是解题的关键． （1）根据二次函数的对称轴为直线即可求出； （2）将点，代入二次函数解析式，表示出，根据，即可求解； （3）将点，代入二次函数解析式，结合，表示出求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴为直线， ∴， 解得：； （2）解：∵点，在二次函数图象上， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：点，在二次函数图象上， ∴，， ∵， ∴， 代入得， ∴ ， ∵，， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.2二次函数与一元二次方程 题型一、二次函数与坐标轴的交点问题 1．（23-24九年级上·天津河西·期末）抛物线与x轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（22-23九年级上·上海普陀·期中）如果抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点的坐标是，那么它与x轴的一个交点的坐标是（   ） A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0） 3．（24-25九年级上·山东德州·期中）二次函数的解析式为与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 4．（21-22九年级上·浙江丽水·期中）已知二次函数． （1）求抛物线开口方向及对称轴． （2）写出抛物线与y轴的交点坐标． 5．（22-23九年级上·广西河池·期中）若函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 6．（24-25九年级上·广东中山·期中）已知抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 ． 7．（河南许昌·一模）已知抛物线与x轴只有一个交点，则 ． 8．（22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若二次函数的图象与x轴只有一个交点，求b的值． 题型二、二次函数的图象与一元二次方程的解 9．（24-25九年级上·天津北辰·期中）已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（      ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 10．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ）　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 11．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则关于的方程的解为 ． 12．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程较小的根是 ． 13．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：    (1)方程的两个根为 ； (2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ； (3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ． 题型三、判断一元二次方程的解的近似值 14．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．和2.75 15．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是 ． 16．（23-24九年级上·全国·课后作业）利用二次函数的图象求一元二次方程的实数根．（精确到0.1） 题型四、根据二次函数的图象写出不等式的解集 17．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，若二次函数图象的对称轴为直线，与x轴交于A、B两点，点则当时，x的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 18．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 19．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为 ． 20．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集 ． 21．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于和两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的横坐标为4，请直接写出当时，的取值范围是_______． 题型五、二次函数的图象与系数的关系 22．（2025·湖北十堰·模拟预测）抛物线（a为常数且），过点，且，下列结论：①；②；③；④若关于x的方程有实数根，则．其中正确的结论有（  ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．②④ 23．（2025·青海·三模）如图是抛物线图象的一部分，其顶点坐标为，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④不等式的解集为；⑤方程有两个相等的实数根；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图为二次函数（）的图象，图象与轴的交点为和，对称轴是直线，则下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤（常数）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型一、已知二次函数图象与x轴的交点情况求参数 25．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数． (1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围． (2)若，求当时，该函数的范围． 26．（24-25九年级上·广东汕头·期末）已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，求的值． 27．（2025·浙江绍兴·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移m个单位，若平移后的抛物线过点，且与x轴两交点之间的距离为6，求m的值． (2)已知点在抛物线上，且，求n的取值范围． 题型二、二次函数的性质与推理问题 28．（2024·河北邢台·一模）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，求的值； (2)已知，若，有最大值9，求的值； (3)①求点坐标； ②已知，若抛物线经过，和，且，求的取值范围． 29．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①直接写出b与a满足的数量关系； ②m与n的大小关系是：m_______n．（填“＞”，“＜”或“＝”） (2)已知点在抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围． 题型三、二次函数与函数值的最值或范围问题 30．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知二次函数 (a，b，c是常数，)，其中两个变量x与y的部分对应值如下表所示： x … m 1 … y … 0 0 … (1)则 ； (2)求该二次函数的表达式； (3)当时，则y的取值范围是 ． 31．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，经过点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)已知点，，连结，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求m的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，请直接写出n的值，不必说明理由． 题型四、构造的新函数图象探究问题 32．（24-25九年级上·云南昆明·期中）九年级“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实效，x与y的几组对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … 3 m 0 0 3 … 其中，______； (2)根据表中数据，在如图的平面直角坐标系中描点．并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)进一步观察探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根； ②方程有______个实数根； ③关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______． 33．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）小亮同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表，描点，连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： (1)观察探究： ①写出该函数的一条性质：_______； ②方程的解为：_______； ③若方程有四个实数根，则的取值范围是_______． (2)延伸思考： 将函数的图象经过平移可得到函数的图象，画出平移后的大致图象，并写出平移过程，再通过图象直接写出当时，自变量的取值范围． 34．（2025·四川泸州·中考真题）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 35．（2025·江苏无锡·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数）开口向上，过两点，且．下列四个结论中正确的结论有（   ） ①；②若时，则； ③若点在拋物线上，，且，则； ④时，关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根． A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 36．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过与两点，关于x的方程有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程有两个整数根，则这两个整数根分别为 ． 37．（2025·福建宁德·二模）已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是 ． 38．（2025·山东济宁·三模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，满足，求a取值范围． 39．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）二次函数（a为常数，）． (1)若该二次函数图象关于直线对称，求a的值； (2)若该二次函数图象上点，满足，求a的范围； (3)若该二次函数图象上两个不同的点，满足，求的取值范围 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$