22.1.3 第1课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

第二十二章 二次函数 22.1.3 二次函数y=a(x－h)2+k的图象和性质 第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 学习目标：1.会画二次函数y=ax2+k的图象. 2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用. 3.理解y=ax2与 y=ax2+k之间的联系. 重点：1.会画二次函数y=ax2+k的图象. 2.理解y=ax2与 y=ax2+k之间的联系. 难点：掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用其解决问题. 自主学习 一、知识链接 1.用描点法画出二次函数y=4x2的图象. 2.函数y=－3x2的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 . 课堂探究 二、要点探究 探究点1：二次函数y=ax2+k(a＞0)的图象和性质 合作探究 在同一直角坐标系内画出函数+1，-1的图象并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是____________________； (2)两条抛物线的开口方向____________________； (3)对称轴都是____________________ ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________； (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最小值分别为_______、_______﹑________； (6)函数的增减性都相同：_______________________________________________________. 想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k (a＞0) 的性质是什么？ 典例精析 例1 关于二次函数y=2x2+4，下列说法错误的是（　　） A．其图象的开口方向向上 B．当x=0时，y有最大值4 C．其图象的对称轴是y轴 D．其图象的顶点坐标为（0，4） 探究点2：二次函数y=ax2+k(a＜0)的图象和性质 做一做 在同一坐标系内画出，，的图象并考察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是____________________； (2)三条抛物线的开口方向____________________； (3)对称轴都是____________________ ； (4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________； (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________； (6)函数的增减性都相同：_______________________________________________________. 要点归纳：二次函数y=ax2+k(a≠0)的性质： ①当a＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最小值为k.当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大； ②当a＜0时，抛物线开口方向向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，k)，当x=0时，y有最大值为k.当x＜0时，y随x的增大而增大；x＞0时，y随x的增大而减小. 例2 关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1，下列说法正确的是 （　　） A．开口方向相同 B．顶点相同 C．对称轴相同 D．当x＞0时，y随x的增大而增大 探究点3：二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象及平移 做一做：填写下表，画出二次函数 y=2x2， y=2x2+1 ，y=2x2－1的图象 x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2+1 … … y=2x2 … … y=2x2-1 … … 观察上述图象，说说它们之间的区别与联系. 知识要点：二次函数y=ax2+k(a≠0)与y=ax2的图象的关系 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时，向下平移－k个单位长度得到. 上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减. 练一练 二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　) A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到 B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到 C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到 D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到 想一想 1. 要得到函数y=ax2+k (a≠0)的图象有哪些方法？ 2.抛物线y=ax2+k (a≠0)中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 例3 在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝﹣x2+1的图象大致是（　　） 变式训练 在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象可能是(　　) 方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键． 三、课堂小结 二次函y=ax2+k(a≠0)的图象和性质 图象 1.开口方向由a的符号决定； 2.k决定顶点位置； 3.对称轴是y轴 性质 增减性结合开口方向和对称轴才能确定 与y=ax2 (a≠0)的关系 平移规律： k正向上； k负向下 当堂检测 1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线 ． 2.填表 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y = 3x2 y = 3x2＋1 y =－4x2－5 3.已知(m，n)在y=ax2+a (a ≠ 0)的图象上，则点(－m，n) (填“在”或“不在”) y=ax2+a(a≠0)的图象上. 4. 若y = x2+(k－2)的顶点是原点，则k ；若顶点位于x轴上方，则k ；若顶点位于x轴下方，则k . 5.已知抛物线y=(a－2)x2+a2－2的最高点为(0，2)，则a= . 6.已知抛物线y=ax2+k. （1）若抛物线y=ax2+k的形状与y=2x2相同，开口方向相反，且顶点坐标为(0，-3)，则该抛物线的函数表达式是____________; （2）若抛物线y=ax2+k向上平移两个单位后得到的抛物线的函数表达式为y=-0.5x2-1，则a=______，k=______; （3）若抛物线y=ax2+k的最小值为4，且经过点(1，5)，则该抛物线的解析式是__________，将此抛物线向下平移3个单位，得到的新的抛物线的解析式是_____________. 能力提升： 如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标． 参考答案 自主学习 知识链接 1.画图略 2.向下 y轴 （0，0） 增大 减小 课堂探究 二、要点探究 探究点1：二次函数y=ax2+k(a＞0)的图象和性质 合作探究 列表如下： x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 … y=2x2-1 … 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 … 描点、连线，画出这两个函数的图象如图①所示. 图① 图② 根据图象回答下列问题: (1)抛物线 (2) 向上 (3)y 轴 (4)( 0，1)，( 0，−1) （5） 低 小 y=1 y=−1 （6） 对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴右侧，y随x的增大而增大 典例精析 例1 B 探究点2：二次函数y=ax2+k(a＜0)的图象和性质 做一做 二次函数，，的图象如图②所示. （1） 抛物线 （2）向下 （3）y轴（或直线x=0） (4)(0,2),(0,0),（0，-2） (5)高 大 y=2 y=0 y=-2 (6)对称轴左侧，y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小 例2 C 探究点3：二次函数y=ax2+k的图象及平移 探究1 x … －1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2-1 … 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 … 探究2 画图如图所示. 从形的角度探究 上 y=2x2+1 下 y=2x2-1 练一练 D 想一想 1.第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k ︱个单位长度. 第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线. 2.a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标，对称轴为 y 轴；顶点坐标为(0，k). 例3 D 变式训练 D 当堂检测 1.y = 2x2－4 2. 函数 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y = 3x2 向上 （0,0） y轴 有最低点 y = 3x2＋1 向上 （0,1） y轴 有最低点 y =－4x2－5 向下 （0,-5） y轴 有最高点 3.在 4.=2 ＞2 ＜2 5.-2 6.（1）y=-2x2-3 （2）-0.5 -3 （3）y=x2+4 y=x2+1 能力提升 解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴AB＝4.由于S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，则×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝±2.当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± ，此时P点坐标为(，2)，(－，2)；当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝± ，此时P点坐标为(，－2)，(－，－2)． 学科网（北京）股份有限公司 $