21.3 第3课时 几何图形与一元二次方程（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

该初中数学导学案聚焦几何图形与一元二次方程，通过篱笆围矩形、画框裱木框等问题复习矩形周长与面积关系，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生用面积法建立方程模型解决面积问题。 资料以封面设计、道路宽度等实际问题为载体，通过图形平移等方法培养几何直观与空间观念，结合变式题训练提升模型意识，引导学生在解决问题中发展数学思维，提升用数学语言表达现实问题的能力。

第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 几何图形与一元二次方程 学习目标：1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点） 重点：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. 自主学习 一、知识链接 用长为60 m的篱笆围一个矩形的菜园，宽AD为x m. 用含x的代数式填空： （1）如图①，AB=_________m，S矩形ABCD=___________； （2）如图②，菜园中间用一根篱笆隔开，则AB=_________m，S矩形ABCD=___________； （3）如图③，菜园一面靠墙，中间用一根篱笆隔开，则AB=_________m，S矩形ABCD=______. 图① 图② 图③ 2.假如有一幅画长 60 cm，宽 40 cm，要给它四周裱上同样宽度的木框，使它总面积达到 3500 cm2，设木框宽度 x cm，你能列出等式吗？ 课堂探究 二、要点探究 探究点：几何图形与一元二次方程 引例 要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1 cm) 方法点拨：在几何图形的面积问题中，面积公式往往就是建立等量关系的关键. 如果图形不规则，应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的等量关系，再运用规则图形的面积公式列出方程. 典例精析 例1 如图，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽为多少？ 【变式题1】在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 【变式题2】在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 【变式题3】在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？ 【变式题4】在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑如图所示的四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少（保留两位小数）？ 方法点拨：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些(目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路). 例2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58 m的围栏围成总面积为200 m2的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边AB和BC的长各是多少米？ 【变式题1】如图，要利用一面墙(墙长为25 m)建羊圈，用80 m的围栏围成面积为600 m2的矩形羊圈，则羊圈的边AB和BC的长各是多少米？ 【变式题2】如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m的门，所围矩形鸡场的长、宽分别为多少时，鸡场面积为80 m2？ 方法点拨： 围墙问题一般先设其中的一条边为 x，然后用含 x 的代数式表示另一边，最后根据面积或周长公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解. 三、课堂小结 几何图形问题与一元二次方程 几何图形 运用常见几何图形面积公式构建等量关系 类型 课本封面问题 常采用图形平移聚零为整，方便列方程 彩条/小路宽度问题 动点面积问题 当堂检测 1. 在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400 cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（ ） A．x2+130x－1400=0 B．x2+65x－350=0 C．x2－130x－1400=0 D．x2－65x－350=0 2.一块矩形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5 cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽． 3.如图，要设计一个宽20 cm，长为30 cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 4.如图，在△ABC中，∠C=90°， AC=6 cm，BC=8 cm. 点P沿AC边从点A向终点C以1 cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9 cm²？ 参考答案 自主学习 知识链接 1.(1)(30-x) x(30-x) (2)(30-1.5x) x(30-1.5x) (3)(60-3x) x(60-3x) 2.(60 + 2x)(40 + 2x) = 3500 课堂探究 二、要点探究 探究点：几何图形与一元二次方程 引例： 解：设中央矩形的长和宽分别为9a cm和7a cm由此得到上下边衬宽度之比为： 设上下边衬的9x cm，左右边衬宽为7x cm，则中央的矩形的长为(27-18x)cm，宽为(21-14x)cm.要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三. 于是可列出方程 整理得16x2-48x+9=0，解方程得（不合题意，舍去）. 故上下边衬的宽度为左右边衬的宽度为 典例精析 例1 方法一：解：设道路的宽为x米，依题意得20×32-32x-20x+x2=540,解得 x1=2，x2=50.当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.∴取x=2. 答：道路的宽为2米. 方法二：解：设道路的宽为x米，依题意得(32-x)(20-x)=540，解得 x1=2，x2=50.当x=50时，32-x=-18，不合题意，舍去.∴取x=2. 答：道路的宽为2米. 【变式题1】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-x)(20-x)=540，解得 x1=2，x2=50（不合题意，舍去）.∴x=2. 答：道路的宽为2米. 【变式题2】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x)(20-x)=540，解得x1=18-，x2=18+≈34.55（不合题意，舍去）. 答：道路的宽为 (18-) m. 【变式题3】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x)(20-2x)=540，解得 x1=1，x2=25（不合题意，舍去）.∴x=1. 答：道路的宽为1米. 【变式题4】解：设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x， 于是可列方程(32-4x)(20-6x)=解得 x1=，x2=（不合题意，舍去）.∴x≈0.62.则3x≈1.86,2x≈1.24. 答：横、竖小路的宽度分别约为1.86米、1.24米. 例2 解：设AB的长是x m.依题意得 (58-2x)x=200，即x2-29x+100=0，解得x1=25，x2=4.x=25时，58-2x=8，x=4时，58-2x=50. 答：羊圈的边AB和BC的长各是25 m，8 m或4 m，50 m. 【变式题】 解：设AB的长是x m.依题意得(80-2x)x=600，即x2-40x+300=0，解得x1=10，x2=30. x=10时，80-2x=60>25，舍去；x=30时，80-2x=20<25. 答：羊圈的边AB和BC的长各是30 m，20 m. 【变式题】解：设矩形鸡场垂直于住房墙的一边长为x m，则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.由题意得x(25-2x+1)=80，化简，得x2-13x+40=0，解得x1=5，x2=8.当x=5时，26-2x=16>12 (舍去），当x=8时，26-2x=10<12，故所围矩形鸡场的长为10 m，宽为8 m. 当堂检测 1.B 2.解：设铁板的宽为x cm,则长为2x cm.依题意得5(2x-10)(x-10)=3000，即x2-15x-250=0. 解得 x1=25，x2=-10(舍去）.所以 2x=50. 答：铁板的长50cm，宽为25cm. 3. 解：设横向彩条的宽度2xcm ,竖彩条的宽度3xcm，依题意得 (20-6x)(30-4x)=400，即6x2-65x+50=0.解得（舍去）.. 答：横向彩条的宽度cm ,竖彩条的宽度cm. 能力提升 解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm² ,根据题意得AP= xcm，PC=(6-x)cm，CQ=2xcm. 依题意得，整理，得x2-6x+9=0，解得x1= x2=3. 答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm². 学科网（北京）股份有限公司 $