21.2.2 公式法（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法 学习目标：1. 了解求根公式的推导过程. 2. 掌握用公式法解一元二次方程. 3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 重点：掌握用公式法解一元二次方程. 难点：了解求根公式的推导过程. 自主学习 一、知识链接 如何用配方法解方程2x2+4x-1=0? 想一想 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)， 能否也用配方法得出它的解呢？ 课堂探究 二、要点探究 探究点1：求根公式的推导 合作探究 用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 解：移项，得ax2+bx=－c， 二次项系数化为1，得x2+ x=， 配方，得x2+ x+( )2=( )2， 即(x+)2=①. 问题 对于方程①接下来能直接开平方解吗？ 探究点2：一元二次方程根的判别式 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ”表示， 即Δ= b2－4ac. 判别式的情况 根的情况 练一练 按要求完成下列表格. Δ的值 根的情况 典例精析 例1 已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 例2 不解方程，判断下列方程的根的情况. (1) 3x2+4x－3=0； (2) 4x2=12x－9； (3) 7y=5(y2+1). 方法归纳：判断一元二次方程根的情况的方法： 例3 若关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不等的实数根，则q的取值范围是( ) A. q≤4 B. q≤4 C. q<16 D. q>16 【变式题】二次项系数含字母 若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不等的实数根，则k的取值范围是( ) A. k >－1 B. k>－1且k≠0 C. k<1 D.k<1且k≠0 归纳：当一元二次方程二次项系数为字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据“Δ”求字母的取值范围. 【变式题】删除限制条件“二次” 若关于x的方程kx2－2x－1=0有实数根，则k的取值范围是( ) A. k≥－1 B.k≥－1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 探究点3：用公式法解方程 由上可知，当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 注意：运用公式法解一元二次方程时,首先要将方程化为一般式, 然后当 Δ= b2－4ac≥0时,才可以用求根公式. 典例精析 例4 用公式法解下列方程： (1) x2－4x－7=0； (2) 2x2－+1=0； (2) 5x2－3x=x+1； (4) x2+17=8x. 要点归纳：公式法解方程的步骤： 1.变形：化已知方程为一般形式； 2.确定系数：用a，b，c写出各项系数； 3.计算：b2－4ac的值； 4.判断：若Δ=b2－4ac≥0，则利用求根公式求出；若Δ=b2－4ac < 0，则方程没有实数根. 三、课堂小结 公式法 内容 根的判别式 Δ=b2－4ac，注意务必将方程化为一般形式 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（b2－4ac值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算） 判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根情况的方法： Δ=b2－4ac >0 有两个不等的实数根 Δ=b2－4ac = 0 有两个相等的实数根 Δ=b2－4ac＜0 没有实数根 当堂检测 1.不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) 2x2+3x－4=0； (2) x2－x+=0； (3) x2－x+1=0. 2.解方程：x2 +7x–18 = 0. 3.解方程：(x－2) (1－3x) = 6. 4.解方程：2x2－x + 3 = 0. 5.（1）关于x的一元二次方程有两个实根，则m的取值范围是 ； （2）若关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx+m=2有实数根．求m的取值范围. 6.不解方程，判别关于x的方程的根的情况. 能力提升 在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长. 参考答案 自主学习 一、知识链接 解：方程整理得配方，得. 开平方，得，∴. 课堂探究 二、要点探究 探究点1：求根公式的推导 合作探究 问题： 不能，需要注意右边式子有大于0，等于0，小于0三种情况. 探究点2：一元二次方程根的判别式 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 练一练 从左到右，从上往下依次为0，，4，有两个相等实数根，没有实数根，有两个不等的实数根 典例精析 例1 B 解析：原方程变形为x2+ x－1=0，a=1，b=1，c=－1， ∵Δ=b2－4ac=1－4×1×(－1)=5＞0，∴该方程有两个不等的实数根，故选B. 例2 解：（1）3x2+4x－3=0，a=3，b=4，c=－3，∴Δ=b2－4ac=42－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不等的实数根． （2） 方程化为：4x2－12x+9=0，a = 4，b = −12，c = 9，∴Δ=b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根． （3） 方程化为：5y2－7y+5=0，a = 5，b = −7，c = 5， ∴Δ=b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.∴方程无实数根． 方法归纳 判断一元二次方程根的情况的方法： 方程整理为一般形式ax2+bx+c=0 Δ=b2－4ac >0，有两个不等的实数根 Δ=b2－4ac = 0，有两个相等的实数根 Δ=b2－4ac＜0，没有实数根 例3 C 解析：方程有两个不等的实数根，由根的判别式知，则Δ=b2－4ac>0， 即82－4q >0. 解得q＜16，故选C. 【变式题】B 解析：方程有两个不等的实数根，则Δ=b2－4ac>0，即(－2)2+4k>0.又二次项系数不为0，即k≠0.可得k>－1且k≠0，故选B. 【变式题】A 思路分析：分k=0或k≠0两种情况进行分类讨论. 探究点3：用公式法解方程 例4 解：(1)a=1，b=－4，c=－7，Δ=b2－4ac=(－4)2－4×1×(－7)=44＞0.方程有两个不等的实数根即. (2)a=2，b=，c=1，Δ=b2－4ac=()2－4×1×2=0.方程有两个相等的实数根，即. (3)方程化为5x2－4x－1=0，a=5，b=－4，c=－1，Δ=b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36＞0.方程有两个不等的实数根即. (4)方程化为x2－8x+17=0，a=1，b=－8，c=17，Δ=b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4＜0.方程无实数根. 当堂检测 1.解：(1)a=2，b=3，c=－4，Δ=b2－4ac=32－4×2×(－4)=41＞0.方程有两个不等的实数根. (2)a=1，b=－1，c=，Δ=b2－4ac=(－1)2－4×1×=0.方程有两个相等的实数根. (3)a=1，b=－1，c=1，Δ=b2－4ac=(－1)2－4×1×1=－3＜0.方程无实数根. 2.解：这里a=1，b=7，c=－18，Δ=b2－4ac=72－4×1×(－18)=121＞0. ∴. 3.解：去括号，得x－2－3x2 + 6x = 6，化为一般式为3x2－7x + 8 = 0，这里a=3，b=－7，c=8，Δ=b2－4ac=(－7)2–4×3×8 =49－96=－47＜0.∴原方程无实数根. 4.这里a=2，b=，c=3，Δ=b2－4ac=()2－4×2×3=3＞0. ∴. 5.(1)m≤1. (2)解：化为一般式(m－1)x2－2mx+m－2=0．Δ＝4m2−4(m−1)(m−2)≥0，且m－1≠0，解得且m≠1. 6.解：，∵，∴，即∴方程有两个实数根. 能力提升 解：∵关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两个相等的实数根， ∴Δ=(b+2)2－4(6－b)=b2+8b－20=0. 解得b1=－10（舍去），b2=2. 由三角形的三边关系，得 c = 5，∴△ABC 的三边长为2，5，5，其周长为2+5+5=12. 学科网（北京）股份有限公司 $