21.2.1 第2课时 配方法（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（人教版）

第二十一章 一元二次方程 21.2.1 配方法 第2课时 配方法 学习目标：1.了解配方法的概念. 2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. 3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. 重点：掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. 难点：探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. 一、知识链接自主学习 1.用直接开平方法解下列方程. (1)9x2=1 (2)(x－2)2=2. 2. 你还记得完全平方公式吗？填一填： (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2－2ab+b2=( )2. 3.下列方程能用直接开平方法来解吗? (1) x2+6x+9 =5； (2)x2+4x+1=0. 课堂探究 二、要点探究 探究点1：用配方法解方程 试一试 解方程： x2+6x+9 =5 填一填1 填上适当的数或式，使下列各等式成立. (1)x2+4x+ = ( x + )2； (2)x2－6x+ = ( x－ )2； (3)x2+8x+ = ( x+ )2； (4)x2－x+ = ( x－ )2. 你发现了什么规律？ 归纳总结：配方的关键是把握二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方. 填一填2 x2+px+( )2=(x+ )2 想一想 怎样解方程x2+4x+1=0 (I)？ 问题1 方程 (I) 怎样变成 (x+n)2=p的形式呢？ 问题2 为什么在方程x2+4x=－1的两边加上4？加其他数行吗？ 要点归纳： 配方法的定义：像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方法解一元二次方程的基本思路：把方程化为(x+n)2=p的形式，再运用直接开平方法降次，转化为两个一元一次方程求解． 典例精析 例1 解下列方程： (1) x2－8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3) 3x2－6x+4=0. 练一练 解下列方程： (1)x2+8x+4=0； (2)4x2+8x=-4； (3)-2x2+6x-8=0. 归纳总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p（Ⅱ）. ①当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根，； ②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=－n； ③当p<0时，因为对任意实数x，都有 (x + n)2≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根. 思考1 用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？ 思考2 用配方法解一元二次方程的一般步骤？ 探究点2：配方法的应用 例2 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零. 练一练 应用配方法求最值. (1) 2x2－4x+5的最小值； (2)－3x2 + 6x -7的最大值. 例3 若a，b，c为△ABC的三边长，且，试判断△ABC的形状. 归纳总结： 配方法的应用 类别 解题策略 1.完全平方式中的求参 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4. 2.求最值或证明代数式的值恒为正(或负) 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值. 3.利用配方构成非负式的和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负式的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2. 3、 课堂小结 配方法的定义 通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法. 配方法的步骤 一移常数项，并将二次项系数化为 1； 二配完全平方式[配上]； 三写成(x+n)2=p； 四直接开平方法解方程. 配方法的应用 求代数式的最值或字母值 当堂检测 1.解下列方程. （1）x2+4x－9=2x－11； （2）x(x+4)=8x+12； （3）4x2－6x－3=0； （4）3x2+6x－9=0. 2.已知代数式x2+1的值与代数式2x+4的值相等，求x的值. 3.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值. 4.若，求 (xy)z 的值. 5. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2+b2+c2－ab－ac－bc=0，试判断△ABC的形状. 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.解：(1) (2) 2.a+b a-b 3.解：(1)可以，方程可以转化成(x+3)2=5的形式，再利用开平方法求解；(2)可以，方程可以转化成(x+2)2=3的形式，再利用开平方法求解. 课堂探究 二、要点探究 探究点1：用配方法解方程 试一试 解：方程变形为(x+3)2=5.开平方，得，∴. 填一填1 (1)22 2 (2)32 3 (3)42 4 (4) 规律：对于二次项系数为1的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方. 填一填2 问题1 解：移项，得x2+4x=-1.两边都加上4，得x2+4x+4=-1+4.整理，得(x+2)2=3. 问题2 解：∵二次项系数为1，常数项等于一次项系数一半的平方时，可以进行配方，∴方程两边同时加上4.加其他的数不行. 典例精析 例1 解：(1)移项，得x2－8x=－1，配方，得x2－8x+42=－1+42，即(x-4)2=15.直接开平方，得，∴. (2)移项，得2x2－3x=－1，二次项系数化为1，得，配方，得，即.直接开平方，得，∴. (3)移项，得3x2－6x=－4，二次项系数化为1，得，配方，得，即.因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根． 练一练 解：(1)移项，得x2+8x=－4，配方，得x2+8x+42=－4+42，即(x+4)2=12.开平方，得，∴. (2)整理，得x2+2x+1=0，配方，得(x+1)2=0. 开平方，得，∴. (3)整理，得x2-3x=－4，配方，得，∴原方程无实数根. 思考1 移项时需注意改变符号. 思考2 一移常数项且二次项系数化为 1； 二配成完全平方公式[配上]； 三写成(x+n)2=p； 四直接开平方法解方程. 探究点2：配方法的应用 例2 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=(k－2)2＋1.因为(k－2)2≥0，所以(k－2)2＋1≥1. k2－4k＋5 的值必定大于零. 练一练 (1)解：原式 = 2(x - 1)2 +3，当x =1时，有最小值3. (2)解：原式= -3(x - 1)2 - 4，当x =1时，有最大值-4. 例3 解：将原式配方，得由非负式的性质可知所以， △ABC为直角三角形. 当堂检测 1.解：(1)此方程无解； (2)； (3)； (4) 2.解：根据题意得x2+1=2x+4，整理得x2－2x－3=0，配方得(x－1)2=4，解得x1=－1，x2=3. 3.解：－x2－x－1=－(x2+x+)+－1=－(x+)2－.∵－(x+)2≤0，∴－(x+)2－＜0. ∴－x2－x－1的值总是负数.当x=－时，－x2－x－1有最大值－. 4.解：对原式配方，得，由非负式的性质可知，∴∴ 5. 解：对原式配方，得由非负式的性质可知所以，△ABC为等边三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $