专题03 等腰三角形重难点题型汇编（九大模型高频题型三大易错题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版新教材）

专题03 等腰三角形重难点题型汇编 【题型1 腰和底不明时需分类】............................................................................................1 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】.....................................................................................3 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】.....................................................................................4 【题型4 等腰三角形个数的讨论】.......................................................................................6 【题型5 等腰三角形中图形规律综合】.................................................................................9 【题型6 等腰三角形中动点引起的分类】..............................................................................13 【题型7 ：等边三角形中动点综合问题】..............................................................................25 【题型8： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】....................................................33 【题型9： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】......................................................43 【题型1 腰和底不明时需分类】 1．等腰三角形两边长为3和7，则该三角形的周长为（    ） A．13 B．3或7 C．13或17 D．17 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系．分情况讨论等腰三角形的腰长，并结合三角形两边之和大于第三边进行验证． 【详解】等腰三角形的两边长为3和7，可能有两种情况： 当腰长为3，底边为7时， 此时三边为3、3、7． ∵，不满足三角形三边关系，无法构成三角形； 当腰长为7，底边为3时， 此时三边为7、7、3， ∵， ∴可构成三角形， ∴周长为． 故选：D． 2．若等腰三角形的一边是9，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（　　） A．17 B．22 C．17或22 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分类进行讨论，解题的关键还应验证是否能构成三角形进行解答．等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分情况讨论，假设9作腰长，则三边分别为9，9，4，能构成三角形 周长为：； 假设4作腰长，则三边分别为4，4，9，而，不能构成三角形， 所以此等腰三角形的周长是． 故选：B． 3．若一个等腰三角形的周长为15，一边长为7，则该等腰三角形的底边长为 ． 【答案】1或7/7或1 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的应用等知识．本题已知了等腰三角形的周长和一边的长，但是没有明确长为7的边是腰长还是底边长，因此要分类讨论：腰长为7或底边长为7． 【详解】解：本题可分两种情况： ①当腰长为7时，底边长，，符合三角形三边关系， ②底边长为7，此时腰长，，符合三角形三边关系． 因此该等腰三角形的底边长为1或7． 故答案为：1或7． 4．已知有理数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形周长是 ． 【答案】22 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练利用三角形的三边关系进行判断． 根据非负数的性质列式求出，的值，再分腰长与底边两种情况讨论求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9， ， 不能组成三角形； ②9是腰长时，三角形的三边分别为9、9、4， ， 能组成三角形， 三角形的周长为， 综上所述，三角形的周长是22． 故答案为：22． 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 1．若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质．理解三角形内角和等于和等腰三角形的两个底角相等是解决此题的关键． 根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：该三角形底角的度数为． 故选：A． 2．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．分类讨论这个的角是等腰三角形的顶角还是底角，再进一步求解即可． 【详解】解：若的角是顶角，则底角是， 若的角是底角，则底角是． 故选：C． 3．等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是（   ） A．40度 B．70度 C．40度或70度 D．40度或110度 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，运用分类讨论思想是解答问题的关键．分是等腰三角形的顶角和底角两种情况，根据三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：①当是等腰三角形的顶角时，则顶角就是； ②当是等腰三角形的底角时，则顶角是． 故选：C． 4．若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，三角形外角的性质，分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况，分别求解即可得出答案，熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当顶角为钝角时， 则顶角为； 如图，当顶角为锐角时， 则顶角为； 综上所述，底角的度数为或． 故答案为：或． 2．等腰三角形一底角平分线与另一腰所成锐角为75°，则等腰三角形的顶角的大小为 ． 【答案】或 【分析】根据题意分情况作图，根据等腰三角形的性质、角平分线的性质及三角形内角和求出底角的度数，即可求解顶角的大小． 【详解】如图1，∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABC＝∠C， ∵∠BDC＝75°， ∴∠CBD＋∠C＋75°＝∠C＋75°＝180°， ∴∠C＝70°， ∴∠A＝180°－2∠C =40°； 如图2，∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABC＝∠C， ∵∠BDA＝75°， ∴∠BDC＝105°， ∴∠CBD＋∠C＋105°＝∠C＋105°＝180°， ∴∠C＝50°， ∴∠A＝180°−50°−50°＝80°； ∴等腰三角形的顶角大小为40°或80°， 故答案为40°或80°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键． 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 1．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的存在性，根据等腰三角形的性质和判定可知要分三种情况讨论，画图即可解决； 【详解】解：如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 综上可知：等腰三角形一共8个， 故选：C． 2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是注意分腰长和底边两种情况分类讨论． 【详解】解：如下图， 分情况讨论，①为等腰底边时，符合条件的C点有6个；②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个，所以点C的个数是10个， 故选：D． 3．如图，坐标平面内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为等腰三角形底边；②为等腰三角形一条腰． 【详解】如图： ①为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个； ②为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个． 综上所述，符合条件的点P的个数共4个． 故选：C． 4．如图，在中，，，在直线或上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有 ．    【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，等边三角形的判定；分三种情况分别画出图形，如图，以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形；以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形；以为底边，为顶角的顶点的等腰三角形；从而可得答案． 【详解】解：如图，以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形有    以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形有 ， 以为底边，为顶角的顶点的等腰三角形有， 其中是等边三角形， ∴符合条件的点的个数有6个， 故答案为：6． 【题型5 等腰三角形中图形规律综合】 1．如图，，点A在上，且．按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第1条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第2条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第3条线段；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和等知识，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得的度数，的度数，的度数，的度数，…，依此得到规律，再根据即可求解． 【详解】解：由题意可知：，，…， 则，，…， ∵， ∴，，，，…， ∴， 解得， ∵n为整数， ∴． 故选：D． 2．如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第个；在边上任取一点，延长到，使，得到第个，按此做法继续下去，第个三角形的底角度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律探索，等腰三角形的性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握等边对等角．先根据等腰三角形的性质，得出，然后求出，，从而得出一般规律，最后得出答案即可． 【详解】解：，， ， ∵， ， ， ， ． ． ． 同理可得：． 以此类推，以为顶点的内角度数是． 以为顶点的内角度数是． 故答案为：． 3．如图，，点，，在射线上，点，，，，在射线上，，，，，均为等边三角形，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律，等边三角形的性质，三角形的外角性质，先求出，同理，，，所以，从而求解，根据等边三角形的性质总结出规律是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理，， ， ∴， 故答案为：． 4．如图，已知，点，，，…在射线ON上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角的性质，图形规律问题，掌握探究的方法再确定规律是解题的关键． 根据，是等边三角形，确定，依次计算，，，确定规律再计算即可． 【详解】解：∵，△是等边三角形，， ∴，，， 同理可得，，， ∴， ∴的周长为； 故答案为：． 【题型6 等腰三角形中动点引起的分类】 1．如图，，在直线上有一点且使得是以为腰的等腰三角形，则度数应该是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分三种情况讨论即可． 根据题意分三种情况讨论：如图，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵ ①如图：当时，连接， ∵， ∴ ②如图：当时，连接， ∵， ∴ ③如图：当时，连接， ∵， 故答案为：或或. 2．如图，，定长为的线段的端点A，B分别在射线，上运动（点A，B不与点重合），，作关于直线对称的，交于点，当三角形是等腰三角形时的度数为 ． 【答案】或， 【分析】由结合折叠的性质可得，设，然后利用三角形外角和等腰三角形的性质表示出，，，，从而利用分类讨论思想解题． 本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握相关性质并注意分类讨论思想解题是关键． 【详解】解：，， ∴，， 又由折叠性质可得， ∴， 设， 则，，，， ①当时，， ， 解得， ； ②当时，， ∴， 方程无解，此情况不存在； ③当时，， ， 解得：， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 3．如图，在中，，已知，，，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒． (1)用含有的代数式表示的长； (2)求边上的高； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (4)在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查列代数式，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等角的余角相等，一元一次方程的应用等知识，运用数形结合与分类讨论思想是解题的关键． （1）分①当点P在A、C之间，即时，②当点P在B、C之间，即时两种情况讨论即可得解； （2）过点作于点，利用等面积法，即可求解； （3）先运用等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余以及等角的余角相等推出； 分当时和当时两种情况讨论，前者点P与点A或点B重合排除，后者列方程求解即可； （4）分①当点P在A、C之间，即时， ②当点P在B、C之间，即时两种情况讨论，运用等面积法列出方程求解即可． 【详解】（1）解：①当点P在A、C之间，即时，， ∴， ②当点P在B、C之间，即时，， ∴， 综上所述：； （2）解：如图，过点作于点， ∵，，，， ∴， ∴， 即边上的高为； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，此时点P与点A或点B或点C重合，不合题意，舍去； 当时， ①当时，得，解得：； ②当时，得，解得：； 即的值是或； （4）解：①当点P在A、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：    则， ∵，即，且， ∴， 解得：； ②当点P在B、C之间，即时， 作图如下，过点P作于Q，连接：    则， ∵，即，且， ∴， 解得：． 综上所述：的值为或． 4．在中，，直线，垂足为点，点是直线上一点，过作，交直线于点． (1)如图1，当点在点右侧时，若时，求证：； (2)在（1）问条件下，连接，若，请判断的形状，并说明理由； (3)如图2，若，，点在直线上运动，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 (3)20或44 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，再导角证明，则可利用证明； （2）连接，可证明，得到，则可证明，进而证明垂直平分，得到，，则；证明垂直平分，得到，则可求出，进而得到，则是等边三角形； （3）分点E在延长线上和点E在延长线上，两种情况证明得到的长，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ （2）解：是等边三角形，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：如图3①所示，当点E在延长线上时， 同理可证明， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3②所示，当点E在延长线上时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为20或44． 5．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小 (2)当时， (3)可以；的度数为或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小； （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又 ，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 6．已知在等腰纸片中，，， 将一块含角的足够大的直角三角尺 （，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动(点不与，重合)，三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时，_____， ， ；点从到运动时，逐渐变 （“大”或“小”） (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，大； (2),理由见详解 (3)存在，或时 【分析】根据等腰三角形的性质可得：，根据三角形内角和定理可以求出当时，，当时，可以求出，在中，根据三角形的内角和定理可以求出，点从到运动时，的度数逐渐减小，根据三角形内角和定理可知逐渐变大； 根据全等三角形对应边相等，可知当时，； 如果是等腰三角形，需要分三种情况讨论，当时，当时，当时，根据三角形内角和定理判断是否成立即可． 【详解】（1）解：在等腰纸片中，，， ， 在中，，， ； ，， ， 在中，，， ， 当点在点位置时，， 当点在点位置时，， 点从到运动时，的度数逐渐变小，， 在中，， 随着的逐渐减小而逐渐增大； 故答案为：，，，大； （2）解：当时，， 理由如下： ， ， ， ； （3）解：当或时，是等腰三角形． 当时，， ， 又， 则， 故不成立； 当时，， ， ， ， 在中，， 此时，， 在点的滑动过程中，当时，是等腰三角形； 当时，， ， 在中，， 此时，； 在点的滑动过程中，当时，是等腰三角形； 综上所述，在点的滑动过程中，当或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的性质，解决本题的关键是根据三角形的性质找到角之间的关系． 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 1．如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M，N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ (2)当点M，N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，M，N两点重合，此时两点重合在点C处 (2)存在，此时M，N运动的时间为 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，一元一次方程与几何综合，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出点N第一次运动到点B的时间，再结合M，N两点重合，进行列式，解出，即可作答． （2）先根据等腰三角形的性质得，再结合等边三角形的性质得，证明，得．当点M，N在BC边上运动，是等腰三角形时，．结合进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：点N第一次运动到点B用时为， 由题意，得， 解得， ∴当时，M，N两点重合， 则， 此时两点重合在点C处． （2）解：存在． 理由如下：如图，点M，N在上，连接， ∵是以为底边的等腰三角形， ， ． ∵是等边三角形， ． 在和中， ． 当点M，N在边上运动，是等腰三角形时，． ， 解得， ∴当点M，N在边上运动时，存在以为底边的等腰， 此时M，N运动的时间为． 2．在边长为的等边三角形中，是上一点，是上一动点，并以每秒1个单位长度的速度从点向点移动，设运动时间为秒． (1)如图①，若 ，求的值； (2)如图②，若点从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点经点向点运动（当点到达点时，两点同时停止运动），求：当为何值时，为等边三角形． 【答案】(1)当时， (2)当时，为等边三角形 【分析】本题是等边三角形综合题，以动点问题为背景，根据等边三角形的判定与性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键． （1）由平行线的性质得，从而得出是等边三角形，列方程求解即可； （2 ）根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： ∵是边长为的等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形， ． 由题意可知， ． ， 解得， ∴当时，； （2）解：①当点在边上时，如图所示： 此时，不可能为等边三角形； ②当点在边上时，如图所示： 若为等边三角形，则， 由题意可知，， ， 即，解得， ∴当时，为等边三角形． 3．如图1，等边的边长为8，点D是直线上异于A，B的一动点，连接，以为边长，在左侧作等边，连接． (1)求证：； (2)当点D在线段上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； (3)如图2，当点D在直线上运动时，直线与直线交于点F，能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)的面积存在最大值，； (3)能，的值为4或16 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）利用等边三角形证明，由可证明； （2）证明，要使最大，则需要最小，则可得出答案； （3）分两种情况，①当时，②当时，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ； （2）解：的面积存在最大值， 由（1）得， ， 又， ， 若最大，则需要最小， 当时，CD的长最小，最小， ； （3）解：当点D在直线上运动时，能形成直角三角形，分两种情况， ①当时，如图， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图， ， ， ， ， ． 综上，当点D在直线上运动时，能形成直角三角形，的值为4或． 4．如图，是边长为12厘米的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线运动，且它们的速度都为2厘米/秒，设运动时间为（秒）． (1)如图1，点P，Q分别在线段上运动时，相交于点，请直接写出的度数； (2)如图2，当点P，Q分别运动到线段的延长线上时，的延长线相交于占，的度数会变化吗？若改变，请说明理由；若不变，请写出求解过程； (3)如图3，若点的速度不变，点的速度为3厘米/秒，点P，Q分别在线段上运动时，连接，当为直角三角形时，求的值． 【答案】(1)的度数为 (2)不变化，理由见解析 (3)的值为或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质即可证明，则有，即可求解； （2）证明，则，即可求解； （3）分两种情况考虑：；；根据含30度直角三角形的性质建立方程即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ， ∴， ∴， ∴ ， 即的度数为； （2）解：不变化，理由如下： 是等边三角形， ，， ； ， ， 即， 在和中，， ， ； ∵， ， ； （3）解：根据题意得，，， ， ①当时， ， ， ，即， 解得，， ②当时， ， ， ，即， 解得，， 综上可得，的值为或． 【题型8： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 1．【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长； ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长． 【问题呈现】 （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：． 【问题启发】 李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程； 【迁移应用】 （2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）120 【分析】（1）如图①：延长，使，先证明得到，，进而证得，再证明得到，进而可证得结论； （2）如图②：在上截取，连接，先由为等腰直角三角形可得，再证明可得，再证明是等边三角形可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答； （3）如图③：先证明得到，；结合已知得到，证明得到，进而可得，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，延长，使， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：数量关系：，理由如下： 如图②：在上截取，连接， 为等边三角形， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ． 是的平分线， ， ∴是等边三角形， ； （3）解：如图③，在上截取， ∵，， ∴， ∴，又，， ∴， ∴，； ∵，， ∴，即， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质等知识点，灵活添加辅助线，运用相关性质、定理是解题的关键． 2．阅读材料： “截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题： 如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF． (1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．） (2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)FC＝CD+CE 【分析】（1）在CD上截取CG＝CE，易证△CEG是等边三角形，得出EG＝EC＝CG，证明△DEG≌△FEC（SAS），得出DG＝CF，即可得出结论； （2）过D作DGAB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE． 【详解】（1）证明：在CD上截取CG＝CE，如图1所示：   ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ECG＝60°， ∴△CEG是等边三角形， ∴EG＝EC＝CG，∠CEG＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝FE，∠DEF＝60°， ∴∠DEG+∠GEF＝∠FEC+∠GEF＝60°， ∴∠DEG＝∠FEC， 在△DEG和△FEC中， ， ∴△DEG≌△FEC（SAS）， ∴DG＝CF， ∴CD＝CG+DG＝CE+CF， ∴CE+CF＝CD； （2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：   ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， 过D作DGAB，交AC的延长线于点G，如图2所示： ∵GDAB， ∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°， ∴∠GDC＝∠DGC＝60°， ∴△GCD为等边三角形， ∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°， ∵△EDF为等边三角形， ∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°， ∴∠EDG＝∠FDC， 在△EGD和△FCD中， ， ∴△EGD≌△FCD（SAS）， ∴EG＝FC， ∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE． 【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质等知识，作辅助线构建等边三角形是解题的关键． 3．【初步探索】 截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；    【灵活运用】 （2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；    【延伸拓展】 （3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 【答案】（1）DA=DC+DB，证明见详解；（2）见详解；（3）∠EAF=，证明见详解. 【分析】（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB； （2）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CD+CE=CA； （3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，进而推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论． 【详解】（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，    ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠BDC=120°， ∴∠ABD+∠ACD=180°， 又∵∠ACE+∠ACD=180°， ∴∠ABD=∠ACE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD=AE，∠BAD=∠CAE， ∵∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°， ∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DA=DE=DC+CE=DC+DB， 即DA=DC+DB； （2）证明：在AC上截取CM=CD，    ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴△CDM是等边三角形， ∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°， ∴∠AMD=120°， ∵∠ADE=60°， ∴∠ADE=∠MDC， ∴∠ADM=∠EDC， ∵直线a∥AB， ∴∠ACE=∠BAC=60°， ∴∠DCE=120°=∠AMD， 在△ADM和△EDC中， ∴△ADM≌△EDC(ASA)， ∴AM=EC， ∴CA=CM+AM=CD+CE； 即CD+CE=CA. （3）∠EAF=； 证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，    ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ∴∠ADC=∠ABE， 又∵AB=AD， ∴△ADG≌△ABE（SAS）， ∴AG=AE，∠DAG=∠BAE， ∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠FAE=∠FAG， ∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°， 即2∠FAE+∠DAB=360°， ∴∠EAF=. 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 【题型9： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 1．如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①同意，理由见解析；②3 (3)1 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据得到，则，即可证明； （2）①过P点作，交于F，证明即可； ②由，得到，进而求得； （3）可得均为角直角三角形，设，，，在中，由角直角三角形性质得到，求出，在，再由角直角三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：①同意她的说法，理由如下：如图， 过P点作，交于F， ∵， ∴， 由（1）知是等边三角形，且， ∴，， 由题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即D为中点； ②点在运动过程中，线段的长不发生变化，， 理由如下：∵ ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设， ∵等边三角形边长为 ∴，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴． 2．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    【特例证明】 （1）如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【类比探究】 （2）如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． 解：__________（填“>”、“<”或“=”），理由如下： 过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． 【拓展运用】 （3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 【答案】（1） （2），过程见解析 （3）的长为3或6 【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出，求出，求出即可； （2）过作交于，求出等边三角形，证和全等，求出即可； （3）点在延长线上时，如图所示，同理可得，由求出的长即可． 【详解】解：∵点是等边的边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 过点作，交于点， ∵为等边三角形， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则； 故答案为：； （3）解：分两种情况： ①如图3，点在上时，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图4，点在的延长线上时，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，三线合一，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解解题的关键． 1．在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ）    A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A为圆心，为半径画圆；以B为圆心，为半径画圆；作的垂直平分线；它们与坐标轴的交点即为点C的位置． 【详解】解：如图，①以A为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点B，，，，得到以A为顶点的等腰，，； ②以B为圆心，为半径画圆，交坐标轴于点A，，，，得到以B为顶点的等腰，，； ③作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， ∴符合条件的点C共7个， 故选：D．    【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，能够找出所有C点的位置是解题的关键． 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个三角形顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，考查了直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，利用分类讨论的思想是解答此题的关键． 分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数． 【详解】 解：①若是锐角三角形， 在中，设，于D， ∴，， ∴顶角； ②若是钝角三角形， 在中，设，于D，，， 则， ∴顶角 所以等腰三角形顶角的度数是或． 故答案为：或． 3．如图，等边的边长为，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，运动方向如图，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为秒． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？ (3)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是直角三角形？ (4)当点M、N在边上运动时，连接，直接写出t值，使以为底边的三角形是等腰三角形． 【答案】(1)点运动6秒后重合 (2)当点运动2秒时，是等边三角形 (3)当或或或时，是直角三角形 (4)当点M、N运动8秒时，是等腰三角形 【分析】此题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，解一元一次方程． （1）由点N运动路程点M运动路程间的路程，列出方程求解，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论； （3）分四种情况，由直角三角形的性质，可列方程求解，即可得出结论； （4）由全等三角形的性质可得，可列方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：设点、运动秒后重合， 则， 解得， ∴点、运动6秒后重合； （2）解：设点、运动秒后，是等边三角形， ∵等边， ∴， 如图，，， 当时，是等边三角形， 即 ， 解得， ∴当点、运动2秒时，是等边三角形； （3）解：设点运动秒后，是直角三角形， ∵等边， ∴， ①如图2：，， 则有， 解得； ②如图3：，，则有， 解得； ③如图4：点N运动到中点时， 是直角三角形此时点运动，则有， 解得； ④如图4：点运动到中点时，，即， 解得：， 此时点运动，与点重合； 综上所述，当或或或时，是直角三角形； （4）解：如图 设点、运动秒 则， 假设是等腰三角形且MN是它的底边 则， ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得 ∴当点、运动8秒时，是等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等腰三角形重难点题型汇编 【题型1 腰和底不明时需分类】............................................................................................1 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】.....................................................................................1 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】.....................................................................................2 【题型4 等腰三角形个数的讨论】.......................................................................................2 【题型5 等腰三角形中图形规律综合】.................................................................................3 【题型6 等腰三角形中动点引起的分类】..............................................................................4 【题型7 ：等边三角形中动点综合问题】..............................................................................7 【题型8： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】....................................................8 【题型9： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】......................................................12 【题型1 腰和底不明时需分类】 1．等腰三角形两边长为3和7，则该三角形的周长为（    ） A．13 B．3或7 C．13或17 D．17 2．若等腰三角形的一边是9，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（　　） A．17 B．22 C．17或22 D．无法确定 3．若一个等腰三角形的周长为15，一边长为7，则该等腰三角形的底边长为 ． 4．已知有理数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形周长是 ． 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 1．若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（　　） A． B．或 C．或 D． 2．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D．或 3．等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是（   ） A．40度 B．70度 C．40度或70度 D．40度或110度 4．若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为 ． 2．等腰三角形一底角平分线与另一腰所成锐角为75°，则等腰三角形的顶角的大小为 ． 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 1．在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 3．如图，坐标平面内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1 4．如图，在中，，，在直线或上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有 ．    【题型5 等腰三角形中图形规律综合】 1．如图，，点A在上，且．按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第1条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第2条线段；再以为圆心，1为半径向右画弧交于点，得第3条线段；……这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第个；在边上任取一点，延长到，使，得到第个，按此做法继续下去，第个三角形的底角度数是 ． 3．如图，，点，，在射线上，点，，，，在射线上，，，，，均为等边三角形，若，则 ． 4．如图，已知，点，，，…在射线ON上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的周长为 ． 【题型6 等腰三角形中动点引起的分类】 1．如图，，在直线上有一点且使得是以为腰的等腰三角形，则度数应该是 ． 2．如图，，定长为的线段的端点A，B分别在射线，上运动（点A，B不与点重合），，作关于直线对称的，交于点，当三角形是等腰三角形时的度数为 ． 3．如图，在中，，已知，，，点为边上一点，连结且，动点从出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动，到点运动停止，当点不与的顶点重合时，设点的运动时间是秒． (1)用含有的代数式表示的长； (2)求边上的高； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (4)在点的运动过程中，如果点到的两条边距离相等，直接写出的值． 4．在中，，直线，垂足为点，点是直线上一点，过作，交直线于点． (1)如图1，当点在点右侧时，若时，求证：； (2)在（1）问条件下，连接，若，请判断的形状，并说明理由； (3)如图2，若，，点在直线上运动，当时，求的面积． 5．如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 6．已知在等腰纸片中，，， 将一块含角的足够大的直角三角尺 （，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动(点不与，重合)，三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时，_____， ， ；点从到运动时，逐渐变 （“大”或“小”） (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 1．如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M，N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ (2)当点M，N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 2．在边长为的等边三角形中，是上一点，是上一动点，并以每秒1个单位长度的速度从点向点移动，设运动时间为秒． (1)如图①，若 ，求的值； (2)如图②，若点从点向点运动，同时点以每秒2个单位长度的速度从点经点向点运动（当点到达点时，两点同时停止运动），求：当为何值时，为等边三角形． 3．如图1，等边的边长为8，点D是直线上异于A，B的一动点，连接，以为边长，在左侧作等边，连接． (1)求证：； (2)当点D在线段上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，求此时的长；若不存在，说明理由； (3)如图2，当点D在直线上运动时，直线与直线交于点F，能否形成直角三角形？若能，求此时的长；若不能，说明理由． 4．如图，是边长为12厘米的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线运动，且它们的速度都为2厘米/秒，设运动时间为（秒）． (1)如图1，点P，Q分别在线段上运动时，相交于点，请直接写出的度数； (2)如图2，当点P，Q分别运动到线段的延长线上时，的延长线相交于占，的度数会变化吗？若改变，请说明理由；若不变，请写出求解过程； (3)如图3，若点的速度不变，点的速度为3厘米/秒，点P，Q分别在线段上运动时，连接，当为直角三角形时，求的值． 【题型8： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 1．【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长； ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长． 【问题呈现】 （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：． 【问题启发】 李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程； 【迁移应用】 （2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积． 2．阅读材料： “截长补短法”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系．截长，即在长线段上截取一条线段等于其中一条短线段，再证明剩下的部分等于另一条短线段；补短，即延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条线段，再证明延长后的线段等于长线段． 依据上述材料，解答下列问题： 如图，在等边中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为边作等边，连接CF． (1)如图，若点D在边BC上，试说明；（提示：在线段CD上截取，连接EG．） (2)如图，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间的数量关系并说明理由． 3．【初步探索】 截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． （1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系；    【灵活运用】 （2）如图2，△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为BC边上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE＝60°．求证：CD＋CE＝CA；    【延伸拓展】 （3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＋∠ADC＝180°，AB＝AD．若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF＝BE＋FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 【题型9： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 1．如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 2．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    【特例证明】 （1）如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【类比探究】 （2）如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． 解：__________（填“>”、“<”或“=”），理由如下： 过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． 【拓展运用】 （3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 1．在平面直角坐标系中，已知，，若点在坐标轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（    ）    A．3 B．4 C．6 D．7 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个三角形顶角的度数为 ． 3．如图，等边的边长为，现有两动点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，运动方向如图，已知点M的速度为，点N的速度为，当点N第一次到达点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为秒． (1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是等边三角形？ (3)点M、N运动几秒后，以点A、M、N为顶点的三角形是直角三角形？ (4)当点M、N在边上运动时，连接，直接写出t值，使以为底边的三角形是等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $