1.7平面向量的应用举例 导学案-2024-2025学年高一下学期数学湘教版必修第二册

该高中数学导学案聚焦平面向量的应用举例，系统梳理向量在几何证明、长度计算及物理问题中的核心方法，通过“线线平行垂直判定”“力与功的向量表达”等知识点构建知识链条，以例题为支架引导学生从直观想象到逻辑推理层层递进，实现从抽象概念到现实问题的转化。 资料亮点突出，体现数学眼光、思维与语言的融合应用，尤其在例题解析中强化几何直观与逻辑推理能力培养，如正方形中垂直关系的两种证法展现数形结合之美，物理情境下速度合成与功的计算凸显建模意识和运算能力，习题设计由浅入深，兼顾基础巩固与思维拓展，助力学生形成用向量解决实际问题的学科素养。

1．7　平面向量的应用举例 最新课程标准 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题． 2．体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 学科核心素养 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．(直观想象、逻辑推理) 2．会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题．(数学建模、数学运算) 导学 教材要点 要点一　向量在平面几何中的应用 (1)线线平行问题： 不重合的两条直线a，b平行⇔a∥b⇔a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(a，b为非零向量)． (2)线线垂直问题： 两条直线a，b垂直⇔a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量)． (3)夹角问题： 两个向量的夹角公式 cos θ＝＝. (4)线段的长度问题： 向量模的公式|a|＝＝. 要点二　物理中的向量问题 (1)力的问题 力是既有大小，又有方向的量．用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上，主要涉及的问题是力的合成与分解． (2)速度与位移问题 速度、位移问题主要涉及合成与分解，其实就是向量的加减法，可以通过向量的线性运算来解决，也可借助坐标运算来求解． (3)功与动量问题 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．即W＝|F||s|cos 〈F，s〉．功是一个实数，它可正、可负，也可为零． 物理中的动量涉及物体的质量m，物体运动的速率v，因此动量的计算也是向量的数乘运算． 练习 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.(　　) (2)若∥，则直线AB与CD平行．(　　) (3)物理学中的功是一个向量．(　　) (4)速度、加速度与位移的合成和分解，实质上就是向量的加减运算．(　　) 2．在四边形ABCD中，若·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　) A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 3．若向量＝＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　) A．(5，0) B．(－5，0) C． D．－ 4．如图，在平行四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－3，2)，则·＝________． 导思 题型一　平面向量在几何证明中的应用 例1　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 总结 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基； ②用基表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题． (2)向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③利用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题． 跟踪训练1　已知点O，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，·＝·＝·，则点O，P依次是△ABC的(　　) A．重心，垂心 B．重心，内心 C．外心，垂心 D．外心，内心 题型二　平面向量在几何求值中的应用 例2　在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝1，AD＝2，若点P为边BC上的动点，则·的最大值为(　　) A． B．－ C．－ D．－2 总结 (1)用向量法求长度的策略 ①利用图形特点选择基，向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. (2)向量数量积、夹角的计算 利用向量或坐标表示出未知向量，代入相应的公式进行计算． 跟踪训练2　 (1)如图，已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||＝__________． (2)已知矩形ABCD，AB＝，AD＝1，E为DC上靠近D的三等分点，则∠EAC的大小为________. 题型三　向量在物理中的应用 例3　一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中的最大航速为4 km/h，问该船怎样安排航行速度可使它从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？ 总结 用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题． (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型． (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值． (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象． 跟踪训练3　在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是(　　) A．|G|＝|F1|＋|F2| B．当θ＝时，|F1|＝|G| C．当θ角越大时，用力越省 D．当|F1|＝|G|时，θ＝ 易错辨析　未将物理问题转化为向量问题致误 例4　一条河宽为8 000 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________min. 解析：因为v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，|v1|＝20，|v2|＝12， 所以|v实际|＝＝＝16(km/h)． 因此所需时间t＝＝0.5(h)＝30(min)． 故该船到达B处所需的时间为30 min. 答案：30 易错点 易错原因 纠错心得 误将船在静水中的速度作为船的实际速度导致错误． 船行驶的实际速度是船在静水中的速度与水速的合成，因此应借助平行四边形法则或三角形法则求出其实际速度，再解决相关问题． 课时训练 1．在四边形ABCD中，若＝0，·＝0，则四边形为(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 2．已知作用在点A(1，1)的三个力分别为F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是(　　) A．(8，0) B．(9，1) C．(－1，9) D．(3，1) 3.已知边长为2的正六边形ABCDEF，连接BE，CE，点G是线段BE上靠近B的四等分点，连接GF，则· 等于(　　) A．－6 B．－9 C．6 D．9 4．在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝)，则||＝________． 5．在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角∠BAC的余弦值． 1．7　平面向量的应用举例 导学 [练习] 1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．解析：由＝知BC∥AD，且BC＝AD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 由·＝0知AB⊥BC， ∴四边形ABCD是矩形． 答案：C 3．解析：F1＋F2＝＝(1，1)＋(－3，－2) ＝(－2，－1)． |F1＋F2|＝＝. 答案：C 4．解析：∵＝)＝(－1，2) ∴·＝(－1，2)·(1，2)＝－1＋4＝3. 答案：3 导思 例1　证明：方法一　设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，又因为＝＝－a＋＝＝b＋，所以·＝·＝－a·b＋＝＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 方法二　建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 跟踪训练1　解析：∵||＝||＝||， ∴O到三角形三个顶点的距离相等 ∴O是三角形的外心 ∵·＝·＝· ∴·()＝0，·()＝0 ∴⊥⊥ ∴P是△ABC的垂心． 答案：C 例2　解析：如图，以B为原点，BA，BC所在的直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系． 作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F， 在△ADE中，因为AD＝2，所以AE＝1，DE＝. 在△CDF中，因为DF＝BE＝2，∠C＝60°，所以CF＝，BC＝， 则A(1，0)，D(2，)．设P(0，t)，0≤t≤， 则＝(－1，t)，＝(2，－t)， 所以·＝－t2＋t－2， 当t＝时，·取得最大值，且(·)max＝－. 答案：C 跟踪训练2　解析：(1)由题意知2＝， 因为＝5p＋2q，＝p－3q， 所以2＝＝6p－q， 所以2||＝|6p－q| ＝ ＝15， 所以||＝. (2)如图，建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，C(，1)，E， ＝(，1)，＝·＝2. cos ∠EAC＝＝＝， 因为0<∠EAC<，所以∠EAC＝. 答案：(1)　(2) 例3　 解析：如图所示，设为水流速度，为航行速度， 以AC和AD为邻边作▱ACED，且当AE与AB重合时能最快到达彼岸， 根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，∴||＝＝2，又∵AB＝， ∴用时0.5 h，易知sin ∠EAD＝.∴∠EAD＝30° ∴该船实际航行速度大小为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h． 跟踪训练3　解析：根据题意可得：G＝F1＋F2， 则|G|＝|F1＋F2|＝＝θ＝0时，|G|＝2|F1|＝|F1|＋|F2|，故A错误； 当θ＝时，|G|＝|G|，故B正确； |G|＝y＝cos θ在(0，π)上递减， 又因行李包所受的重力为G不变，所以当θ角越大时，用力越大，故C错误； 当|F1|＝|G|时，即＝1|，解得cos θ＝－， 又因θ∈(0，π)，所以θ＝，故D错误． 答案：B [课时训练] 1．解析：由题可知∥，||＝||，且⊥，故四边形为菱形． 答案：D 2．解析：∵F＝(8，0)，∴终点坐标为(8，0)＋(1，1)＝(9，1)． 答案：B 3．解析：方法一　根据题意，＝2＝－， 所以＝＝－＝ 又＝，且∠CDE＝120°， 所以·＝·() ＝＋· ＝2＋×2×2×＋4＝9. 方法二　以点F为原点，线段EF所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则F(0，0)，E(2，0)，B(0，2)，C(2，2)，＝(2，－2)，＝(0，－2)，＝(－2，0)， ＝＝＝， 故·＝－×(－2)＝9. 答案：D 4．解析：∵＝)，∴＝)，即＝)，∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线．∴||＝1. 答案：1 5. 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，取A(0，a)，C(c，0)，则B(－c，0)． 于是，＝(c，a)，＝(2c，0)，＝(c，－a)． 因为BB′，CC′都是中线， 所以＝)＝[(2c，0)＋(c，a)]＝. 同理＝. 因为BB′⊥CC′，所以－c2＋a2＝0，即a2＝9c2. 从而cos ∠BAC＝＝＝＝. 即顶角∠BAC的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $