专题10 圆的方程重点题型全归纳（压轴题11大类型专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第一册

专题10 圆的方程重点题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、求圆的方程 1 类型二、点与圆的位置关系 3 类型三、圆中过定点的问题 4 类型四、圆的方程中对称条件的突破 4 类型五、圆的轨迹方程与实际问题 5 类型六、直线与圆的位置关系判断及参数问题 6 类型七、切线方程、切线长、切点弦问题 7 类型八、直线与圆相交（含弦长问题） 9 类型九、圆与圆的位置关系及参数问题 10 类型十、公切线问题 11 类型十一、公共弦问题 13 压轴专练 13 类型一、求圆的方程 求圆的方程的两种方法 1．（25-26高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为； (3)过三点. 2．（23-24高二上·辽宁·期中）分别求满足下列条件的圆的标准方程： (1)经过点，圆心在轴上； (2)经过直线与的交点，圆心为点. 3．（23-24高二上·四川遂宁·月考）分别根据下列条件，求圆的方程： (1)过点，，且圆心在直线上； (2)过、、三点． 4．（24-25高二上·江苏淮安·期中）分别写出满足下列条件的圆的方程（用标准式表示） (1)圆心为且经过点 (2)经过两点且圆心在直线上 (3)圆心在正半轴上，并且与直线都相切 类型二、点与圆的位置关系 一、判断点与：位置关系的方法 1、几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 2、代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 二、已知点和圆的一般式方程：（） 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约． 1．（24-25高二上·陕西铜川·期中）已知点，圆，则（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不确定 2．（24-25高二上·浙江台州·期中）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏扬州·期末）设，为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（   ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 5．“”是“圆不经过第三象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 类型三、圆中过定点的问题 1．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河北张家口·月考）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 3．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 类型四、圆的方程中对称条件的突破 1．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）若圆关于直线对称，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（   ） A． B． C． D． 类型五、圆的轨迹方程与实际问题 1、求与圆有关的轨迹问题的四种方法 （1）直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． （2）定义法：根据圆的定义列方程求解． （3）几何法：利用圆的几何性质得出方程求解． （4）代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． 2、坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 1．（24-25高二上·江苏徐州·月考）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ． 2．（24-25高二上·广西·期中）已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 3．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=2，则点C的轨迹为（    ） A．椭圆 B．射线 C．圆 D．直线 4．（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 6．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 类型六、直线与圆的位置关系判断及参数问题 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 1．（25-26高二上·全国·单元测试）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 2．（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 3．若直线 与圆 相切，则实数 的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知直线和圆相离，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·重庆·开学考试）直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 类型七、切线方程、切线长、切点弦问题 1、求圆的切线方程的三种方法 （1）几何法：设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量，此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出切线方程． （2）代数法：设出切线方程后与圆的方程联立消元，利用判别式等于零，求出未知量，若消元后的方程为一元一次方程，则说明要求的切线中，有一条切线的斜率不存在，可直接写出切线方程． （3）设切点坐标：先利用切线的性质解出切点坐标，再利用直线的两点式写出切线方程． 2、与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过上一点的圆的切线方程为： （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． （4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为 1．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 3．（24-25高二下·云南·开学考试）过点作的切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D．2 4．（24-25高二上·河北廊坊·期末）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆：相切，则反射后光线所在直线的斜率为（    ） A． B． C．±3 D． 5．（24-25高二上·福建南平·期末）过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·全国·单元测试）过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则 ． 7．（25-26高二上·河南驻马店·月考）过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦的中点M的轨迹方程． 类型八、直线与圆相交（含弦长问题） 弦长问题 （1）利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． （2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． （3）利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 1．（25-26高二上·全国·课后作业）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 3．（24-25高二下·北京·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建厦门·期末）轴被圆截得的弦长为 ． 5．（25-26高二上·全国·课后作业）经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是 ． 6．（24-25高二上·湖北孝感·月考）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点. (1)求点M的轨迹方程； (2)记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 7．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)问是否存在满足以下两个条件的直线： ①斜率为1；②直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点.若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由. 8．在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 类型九、圆与圆的位置关系及参数问题 （1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 （2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 3．（24-25高二上·贵州黔南·月考）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏苏州·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025高二·全国·专题练习）已知，，圆上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（    ） A．1或3 B．2 C．3 D．1或5 6．（24-25高二下·河南信阳·月考）已知圆和圆相切，则 类型十、公切线问题 1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线． 2、两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 3、两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南·月考）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 3．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）（多选题）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）圆：与圆的公切线条数是 ． 5．（24-25高二上·山东潍坊·月考）已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 6．圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 类型十一、公共弦问题 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 1．（24-25高二下·海南海口·月考）已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 2．（24-25高二下·上海徐汇·期中）两圆和的公共弦长为 ． 3．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为 ． 1．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）过点可以作圆的切线的条数为（   ） A． B． C． D．无数条 2．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 3．（24-25高二上·江苏·期中）已知曲线表示圆，且点在曲线外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设直线与圆相交于两点，且，则为（    ） A．2 B． C．3 D． 5．（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 6．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 8．已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·重庆·月考）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 11．（24-25高二上·广东梅州·期末）（多选题）圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（24-25高二上·广东深圳·期末）（多选题）已知圆，圆，则（   ） A．的面积为 B．若，则内切 C．若外切，则 D．当时，相交弦所在直线的方程为 13．（23-24高二上·山东青岛·期中）（多选题）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆上的点到直线的最小距离为1 C．圆和圆的公切线长为2 D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 14．（多选题）若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆内切 B． C．公切线l的方程为 D．公切线l的方程为 15．（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 16．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）若圆与圆 外切，则 . 17．（24-25高二下·湖南·月考）已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 18．（24-25高二下·江苏南京·期末）圆与圆的公切线的条数是 条． 19．（24-25高二下·湖北·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 20．（24-25高二上·上海·随堂练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点M满足，则动点M的轨迹方程为 ． 21．（25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ． 22．（24-25高二上·广东潮州·期末）直线被圆截得的弦的长为，则实数的值为 . 23．（25-26高二上·全国·课后作业）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ． 24．在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为 小时． 25．（23-24高二上·黑龙江鹤岗·月考）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)已知、，以线段AB为直径． (2)过点，，． 26．（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 27．（23-24高二上·湖北·期中）已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程． 28．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 29．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，存在四点． (1)求过三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 30．（24-25高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 31．（24-25高二上·贵州黔南·月考）已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 圆的方程重点题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、求圆的方程 1 类型二、点与圆的位置关系 5 类型三、圆中过定点的问题 8 类型四、圆的方程中对称条件的突破 10 类型五、圆的轨迹方程与实际问题 12 类型六、直线与圆的位置关系判断及参数问题 16 类型七、切线方程、切线长、切点弦问题 19 类型八、直线与圆相交（含弦长问题） 23 类型九、圆与圆的位置关系及参数问题 30 类型十、公切线问题 33 类型十一、公共弦问题 37 压轴专练 39 类型一、求圆的方程 求圆的方程的两种方法 1．（25-26高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心在点，且过点； (2)过点和点，半径为； (3)过三点. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用两点的距离公式及圆的标准方程即可求解； （2）利用待定系数法设出圆的方程，结合点在圆上即可求解； （3）首先设出圆的标准方程，再代入三点坐标，即可求解. 【小题1】所求圆的半径. 又因为圆心为， 所以所求圆的方程为. 【小题2】设圆心坐标为，则圆的方程为. 因为是圆上的点， 所以解得或， 因此，所求圆的方程为或. 【小题3】设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 2．（23-24高二上·辽宁·期中）分别求满足下列条件的圆的标准方程： (1)经过点，圆心在轴上； (2)经过直线与的交点，圆心为点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的方程为，将两点坐标代入求解即可； （2）联立两直线方程，求出交点坐标，进而求出圆的半径，即可求解. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题意得：解得：， 所以圆的标准方程为； （2）联立与， 解得：，所以交点为， 则圆的半径为， 所以圆的标准方程为. 3．（23-24高二上·四川遂宁·月考）分别根据下列条件，求圆的方程： (1)过点，，且圆心在直线上； (2)过、、三点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心坐标为，由，解出，可求得圆心和半径，得到圆的方程； （2）设直线的一般式方程，代入、、三点，求出系数即可. 【详解】（1）圆心在直线上，设圆心坐标为， 圆过点，，则有 即，解得， 可得圆心坐标为，圆的半径， 所以圆的方程为. （2）设过、、三点的圆的方程为， 则有，解得， 故所求圆的方程为. 4．（24-25高二上·江苏淮安·期中）分别写出满足下列条件的圆的方程（用标准式表示） (1)圆心为且经过点 (2)经过两点且圆心在直线上 (3)圆心在正半轴上，并且与直线都相切 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求得圆的半径即可求得圆的标准方程； （2）求得的垂直平分线方程，联立方程组可求得圆心坐标，进而求得圆的半径即可； （3）设圆心为，根据题意可得，求解即可. 【详解】（1）因为，，所以圆的半径， 所以圆的方程为； （2）因为，所以的中点为，， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 由，解得，所以圆心为 半径为， 则圆的方程为； （3）设圆心为， 则，的， 故圆方程为. 类型二、点与圆的位置关系 一、判断点与：位置关系的方法 1、几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 2、代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 二、已知点和圆的一般式方程：（） 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约． 1．（24-25高二上·陕西铜川·期中）已知点，圆，则（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不确定 【答案】C 【分析】利用点与圆的位置关系进行判断即可. 【详解】因为，所以点在圆外. 故选：C. 2．（24-25高二上·浙江台州·期中）若点在圆的内部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点与圆的位置关系可得关于的不等式，求解即可. 【详解】因为点在圆的内部， 所以，即，解得， 实数的取值范围是， 故选：A. 3．（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程及点在圆外有且，即可求参数范围. 【详解】由题设，圆，则①， 由点在圆外，则有②， 联立①②得：或 所以实数m的取值范围为 故选：C 4．（24-25高二上·江苏扬州·期末）设，为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（   ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系得到方程，求出，确定点与圆的位置关系. 【详解】由圆，圆心为，半径为2， 因为直线与圆相切， 故，故，所以点在圆内. 故选：C 5．“”是“圆不经过第三象限”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】若圆不经过第三象限，等价于原点不在圆内，即可的取值范围，结合包含关系分析充分、必要条件. 【详解】圆整理可得， 可知圆心为，半径，且， 若圆不经过第三象限， 等价于原点不在圆内，则，可得， 且是的真子集， 所以“”是“圆不经过第三象限”的必要不充分条件. 故选：B. 类型三、圆中过定点的问题 1．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 2．（24-25高二下·河北张家口·月考）点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 【答案】和 【分析】过点作垂直于直线，垂足为，则以为直径的圆过定点和，求出直线的方程，联立两直线方程，求出交点坐标，即可得解. 【详解】如图，过点作垂直于直线，垂足为， 则以为直径的圆过定点和， 因为直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，解得，即. 所以以为直径的圆经过定点和. 故答案为：和 3．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 类型四、圆的方程中对称条件的突破 1．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）若圆关于直线对称，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的对称轴过圆心，可求得结论. 【详解】把圆的方程化为标准方程为， 所以圆的圆心的坐标为， 因为圆关于直线对称，则直线一定过圆心. 故选：A. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为． 故选：B. 3．（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可. 【详解】由，即， 由题意可知圆心在直线上，代入得. 故选：C 4．（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称的性质，得到直线过的中点且与垂直，结合垂直的斜率结论可解. 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为，所以线段的中点坐标为， 又，则， 所以直线的方程为，即. 故选：D. 5．（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意求得圆的圆心关于直线的对称点坐标，即可得出结果. 【详解】易知圆的圆心为， 设关于直线对称点为， 所以，解得， 因此对称后圆的圆心为，半径为， 即可得方程为. 故选：A 类型五、圆的轨迹方程与实际问题 1、求与圆有关的轨迹问题的四种方法 （1）直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解． （2）定义法：根据圆的定义列方程求解． （3）几何法：利用圆的几何性质得出方程求解． （4）代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解． 2、坐标法求轨迹方程的步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系； （2）设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标； （3）列式：列出关于的方程； （4）化简：把方程化为最简形式； （5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 1．（24-25高二上·江苏徐州·月考）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设点，借助两点间距离公式代入计算即可得. 【详解】设，则有， 化简得，即点的轨迹方程是. 故答案为：. 2．（24-25高二上·广西·期中）已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据得到，代入圆中，得到轨迹方程. 【详解】设，因为，所以， 又在圆：上， 故，即的方程为． 故选：C 3．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=2，则点C的轨迹为（    ） A．椭圆 B．射线 C．圆 D．直线 【答案】C 【分析】建立合适的平面直角坐标系，设，根据以及向量数量积的坐标形式求解出满足的关系式，即可判断出轨迹形状. 【详解】因为点是两个定点，不妨设， 以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，    设，，，所以，， 由得：，即，所以点C的轨迹为圆. 故选：C. 4．（24-25高二上·海南·期中）据文献及绘画作品记载，中国最早的拱桥可以追溯到东汉或西晋时期.某拱桥及其示意图如下，桥拱是一段圆弧，桥的跨度，拱高，与相距的支柱，则（    ） A．5 B． C．15 D． 【答案】C 【分析】根据圆的性质由弦长及拱高构造等量关系，由勾股定理计算可得结果. 【详解】设拱桥所在圆心为，连接，作于点，如下图所示： 设圆的半径为，在中利用勾股定理可得， 即，解得； 易知， 在中，易知，即，解得. 故选：C 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【答案】B 【分析】设，利用两点间的距离公式整理化简得的轨迹方程，再去掉三点共线时的点坐标即可. 【详解】设，根据题意可知且三点不共线， 可得， 因此， 若三点共线，易知斜率存在，所以； 即，可得； 联立，解得或； 又因为三点不共线，所以且， 因此端点的轨迹方程为（且）. 故选：B 6．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 类型六、直线与圆的位置关系判断及参数问题 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 1．（25-26高二上·全国·单元测试）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交且直线过圆心 D．相交但直线不过圆心 【答案】C 【分析】先计算圆心到直线的距离，通过比较圆心到直线的距离和圆半径的大小关系，若距离等于半径则相切，小于半径则相交，大于则相离，同时，若圆心坐标满足直线方程，则直线过圆心. 【详解】圆的圆心为， 圆心到直线的距离为：，      所以直线过圆心， 所以直线与圆相交且过圆心． 故选：C. 2．（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心C到直线l的距离， 故直线与圆C相离． 故选：C. 3．若直线 与圆 相切，则实数 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出圆的圆心和半径，由圆心到直线的距离等于半径列方程即可求解. 【详解】圆即的圆心坐标为，半径为， 若直线 与圆 相切， 则，解得. 故选：B. 4．已知直线和圆相离，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的方程求得圆心的坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后利用直线与圆相离，列不等式求解即可. 【详解】化圆为， 得圆心坐标为，半径为，解得：， 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆相离，所以，所以，解得：. 所以m的取值范围为. 故选：B. 5．（25-26高二上·全国·单元测试）若圆：上有四个不同的点到直线的距离为3，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，要使得圆上有四个不同的点到直线距离为3，将问题转化为圆心到直线的距离小于3即可． 【详解】圆， 故圆心为，半径为6． 设圆心到直线的距离为， 要使圆上有四个不同的点到直线的距离为3， 则与直线平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 所以，得，即， 解得， 故选：C． 6．（25-26高二上·重庆·开学考试）直线的方程为，则圆上到直线距离为1的点的个数为（    ） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【分析】求出圆心和半径，得到到的距离为，从而得到到直线距离为1的点的个数为3. 【详解】，故圆心为，半径为3， 到的距离为， 又，故过点作垂直与圆交于点，在上取点，使得， 过点作⊥，交圆于点， 所以圆上到直线距离为1的点的个数为3，分别为. 故选：D 类型七、切线方程、切线长、切点弦问题 1、求圆的切线方程的三种方法 （1）几何法：设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量，此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出切线方程． （2）代数法：设出切线方程后与圆的方程联立消元，利用判别式等于零，求出未知量，若消元后的方程为一元一次方程，则说明要求的切线中，有一条切线的斜率不存在，可直接写出切线方程． （3）设切点坐标：先利用切线的性质解出切点坐标，再利用直线的两点式写出切线方程． 2、与圆的切线相关的结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过上一点的圆的切线方程为： （3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：． （4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为 1．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断原点与圆的位置关系，再求出切线方程. 【详解】原点在圆上，而圆心， 直线斜率为，因此切线的斜率为，方程为，即. 故选：A 2．（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合切线的性质求切线长. 【详解】由题意可知：圆O的圆心为，半径， 所以，即． 故选：B. 3．（24-25高二下·云南·开学考试）过点作的切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出和的长以及夹角即可求解数量积. 【详解】由题可知，，， 则， 故 故选：B. 4．（24-25高二上·河北廊坊·期末）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆：相切，则反射后光线所在直线的斜率为（    ） A． B． C．±3 D． 【答案】A 【分析】求出点关于直线的对称点，结合光的反射定律求出过作圆的切线斜率即可. 【详解】依题意，点关于直线的对称点，由光的反射定律知，反射光线必过点， 而圆：的圆心，半径1， 显然过点的圆的切线斜率存在，设切线方程为，即， 由，得，所以. 故选：A 5．（24-25高二上·福建南平·期末）过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的方程求圆心坐标和半径，再求，结合切线性质求，，再利用三角形面积公式求的面积，结合对称性可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 由切线性质可得，，， 又点的坐标为， 所以， 所以， 所以的面积， 的面积， 所以四边形的面积. 故选：D. 6．（25-26高二上·全国·单元测试）过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则 ． 【答案】/ 【分析】先确定圆的圆心坐标和半径，根据图形上的几何关系和等面积法求出. 【详解】，即，故圆心为，半径为． 如图，连接，因为，所以， 故切线长． 连接，由（等面积法）， 解得． 故答案为：. 7．（25-26高二上·河南驻马店·月考）过原点O的直线l与圆交于A，B两点，且点． (1)过点P作圆C的切线m，求切线m的方程； (2)求弦的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式及相切条件求解即可； （2）设，根据圆的性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即，再利用向量垂直的坐标表示即可求解． 【详解】（1）由题知圆心，半径， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离，直线与圆相离，不符合题意； 当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离，即， 整理得，解得或， 所以切线的方程为或． （2）设，圆心， 因为M弦的中点，所以， 又直线l过原点O，所以， ， ， 整理得， 所以M的轨迹方程为． 类型八、直线与圆相交（含弦长问题） 弦长问题 （1）利用垂径定理：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． （2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． （3）利用弦长公式：设直线，与圆的两交点，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：． 1．（25-26高二上·全国·课后作业）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，然后由勾股定理求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3，则圆心到直线的距离为，则直线被圆截得的弦长为． 故选：B. 2．（24-25高二下·四川凉山·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值. 【详解】因为圆，所以圆心为，半径为. 设圆心到直线距离为：. 因为直线与圆截得的弦长为. 所以. 解得：. 故选：. 3．（24-25高二下·北京·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把斜率为1的直线平行移动与曲线表示的图形有两公共点，根据图象即可求解． 【详解】由题意，曲线表示的曲线为圆心在原点， 半径为1的圆在轴以及轴上方的部分． 在同一坐标系中，作出斜率为1的直线，在直线平移的过程中可发现， 直线过时先与半圆形有2个交点，此时. 再将直线向上平移一直到最后与半圆相切，此时，且, 即， 所以满足条件的的取值范围. 故选：D. 4．（24-25高二上·福建厦门·期末）轴被圆截得的弦长为 ． 【答案】2 【分析】求圆与轴的交点，可得弦长. 【详解】已知圆：，令得：或. 所以圆与轴的交点坐标为：，. 所以弦长为：. 故答案为：2 5．（25-26高二上·全国·课后作业）经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是 ． 【答案】或 【分析】方法一，所求圆过已知圆与直线的交点，且直线和圆方程已知，可以设过直线与圆交点的圆系方程来求解；方法二，设圆方程为，由弦长为求得k值. 【详解】方法一： 设所求圆的方程为，该圆与轴的交点坐标分别为，． 在圆方程中，令得，则，，则． 联立，解得或则点，在所求圆上， 所以解得或 故所求圆的方程为或． 方法二： 设所求圆的方程为， 且与轴交点的纵坐标为， 令得，化简得， 所以，， 由两边平方得，所以， 化简得，解得或． 检验知两个值都符合题意， 所以所求圆的方程为， 或， 即或． 故答案为：或． 6．（24-25高二上·湖北孝感·月考）已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，M是线段的中点. (1)求点M的轨迹方程； (2)记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点的直线l与曲线C交于P，Q两点，并且被曲线截得的弦长为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，由M是线段的中点，可得，代入圆的方程化简可得结果； （2）由弦长为，半径为2，可得圆心到直线的距离，再分斜率不存在和存在两种情况讨论可得结果. 【详解】（1）设点，由点的坐标为，且是线段的中点， 则，可得，即， 因为点在圆上运动，所以点坐标满足圆的方程， 即，整理得， 所以点的轨迹方程为. （2）由（1），曲线C的方程为，圆心，半径， 由弦长为，半径为2，则圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，即：，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为. 综上，直线的方程为或. 7．（24-25高二上·浙江温州·期中）已知圆过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)问是否存在满足以下两个条件的直线： ①斜率为1；②直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点.若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求得圆的方程； （2）首先设直线存在，其方程为，联立直线与圆的方程，得到根与系数的关系，根据解得b，得到直线方程，并需验证. 【详解】（1）设圆的方程为， 则有，解得，，， 圆C方程为：，即； （2）设直线存在，其方程为， 它与圆C的交点设为、， 则由，得 ， ， 为直径，  ，     ， 即，即， 或，容易验证或时方程的， 故存在这样的两条直线，其方程是或. 8．在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． (1)若直线l的斜率为1，求； (2)设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，且定值为 【分析】（1）先计算圆心到直线l的距离，再利用垂径定理计算即可； （2）设，与圆方程联立，利用韦达定理化简即可. 【详解】（1）依题意，得直线，即， 则圆心到直线l的距离，所以． （2）依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，， 联立，得， 则，， 所以 ， 所以是定值，且定值为． 类型九、圆与圆的位置关系及参数问题 （1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 （2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 2．（24-25高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系不可能为（ ） A．相切 B．相交 C．内含 D．外离 【答案】C 【分析】求解两圆的圆心和半径，计算圆心距和两半径之间的关系，即可求解. 【详解】， 故的圆心为，半径为， ， 故的圆心为，半径为， 故，当且仅当时，等号成立，而， 当时，两圆外离或相交，时，两圆内切， 故两圆不可能内含. 故选：C 3．（24-25高二上·贵州黔南·月考）已知圆与圆外离，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，结合两圆外离求解即可. 【详解】由，圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心，半径为，， 又，且两圆外离， 则，即，解得， 所以，即的取值范围是. 故选：C 4．（24-25高二上·江苏苏州·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题转化为两圆相交，进而可得，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为. 设圆， 由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或. 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 5．（2025高二·全国·专题练习）已知，，圆上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（    ） A．1或3 B．2 C．3 D．1或5 【答案】A 【分析】点在阿波罗尼斯圆上，且是圆上唯一一点，可知两圆相切，求参问题需求出阿波罗尼斯圆的圆心和半径. 【详解】设，由，两边平方得， 整理得，圆心为，半径为2． 圆的圆心为，半径为， 由题意知，两圆相切，圆心距为1，当两圆外切时无解， 所以只能是两圆内切，即， 解得或1． 时圆在内，时圆在外 故选：A 6．（24-25高二下·河南信阳·月考）已知圆和圆相切，则 【答案】或或 【分析】根据两圆相内切和外切时，圆心距与两圆半径的关系列出等式计算即可. 【详解】由圆可知圆心，半径， 由圆可知圆心，半径， 所以当两圆相内切时，圆心距，解得； 当两圆相外切时，圆心距，解得或， 所以的值为或或. 故答案为：或或 类型十、公切线问题 1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线． 2、两圆公切线的条数 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 3、两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）若圆与圆有且仅有2条公切线，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆的公切线数量得出两点间距离范围，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】因为圆：与圆：有且仅有2条公切线， 所以圆：与圆：相交， 所以， 所以或. 故选:D. 2．（24-25高二上·湖南·月考）圆：与圆：的内公切线长为（   ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中作出两个圆，由图可知内公切线一条为轴，求公切线的长即可. 【详解】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为： 故选：D 3．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）（多选题）与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切， 则两圆有三条公切线，如图， 的中点为两圆外切切点， 当公切线过的中点，且与垂直时， 因为，所以公切线的方程为，即； 当公切线与平行，且到公切线的距离为时， 设公切线的方程为， 所以，解得或， 所以公切线的方程为或． 综上所述，公切线的方程为或或. 故选：BCD． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）圆：与圆的公切线条数是 ． 【答案】3 【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径． 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条． 5．（24-25高二上·山东潍坊·月考）已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为 . 【答案】 【分析】根据两圆公切线的条数确定两圆的位置关系，从而求出的值，进一步可求公切线方程. 【详解】因为圆：，则，半径为， 由可得圆心为原点，半径为， 因为圆与圆有且只有一条公切线，所以两圆内切. 所以，又，所以. 所以圆：即. 所以两圆方程相减可得圆与圆的公切线为：即. 故答案为： 6．圆与圆的一条公切线长为 （填入一个答案即可）． 【答案】或（填一个即可） 【分析】先判断圆与圆的位置关系，即可得公切线情况，利用几何关系即可求出公切线的长. 【详解】由题意得，，，，，故两圆相离，有四条公切线．如图，    设四条公切线分别为直线、直线、直线、直线，且交于点． 由对称性可知，．连接，过作，垂足为，连接， 则四边形为矩形，所以．连接． 易知，所以．又，所以． 所以在中，，所以． 故两圆的一条公切线长为或． 故答案为：或（填一个即可）. 类型十一、公共弦问题 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 1．（24-25高二下·海南海口·月考）已知圆与圆相交于两点A，B，则AB的直线方程为 ． 【答案】 【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程. 【详解】由题设可得的方程为：， 整理得：， 故答案为： 2．（24-25高二下·上海徐汇·期中）两圆和的公共弦长为 ． 【答案】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，再两圆方程作差得到公共弦方程，求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 又，所以，即两圆相交， 两圆方程作差得到公共弦方程为， 又圆心到公共弦的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 3．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】两圆方程相减可得公共弦的方程，再利用直线的倾斜角求出斜率即可求解. 【详解】因为圆，即与圆相交于两点， 所以两圆方程相减可得公共弦的方程，即， 因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率，解得， 故答案为： 1．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）过点可以作圆的切线的条数为（   ） A． B． C． D．无数条 【答案】B 【分析】判断点与圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】因为，故点在圆上，所以因此过点只能作一条圆的切线. 故选：B. 2．（24-25高二上·北京密云·期末）已知圆和圆，则它们的位置关系是（    ） A．外离 B．相切 C．内含 D．相交 【答案】B 【分析】判断两圆心之间的距离与半径之和的关系即可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆化简为标准方程为，故其圆心为，半径为， 故， 故圆与圆的位置关系为相切. 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏·期中）已知曲线表示圆，且点在曲线外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后，结合题意可得，解出即可得. 【详解】可化为， 则，解得或， 即的取值范围是. 故选：D. 4．设直线与圆相交于两点，且，则为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】作出图象，求出和的长，利用勾股定理即可求出的值. 【详解】由题意， 在中， 在中，，半径为， 直线与圆相交于两点，且， 设中点为C，连接，， 由几何知识得，，， 在Rt中，， 由勾股定理得，，即，解得， 故选：B. 5．（24-25高二上·四川乐山·期末）某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置，先求得圆的方程，再将代入求得纵坐标判断. 【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.6（米）， 故选：C. 6．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心到直线的距离等1求解即可； 【详解】因为圆的半径为2， 由题意可知：圆心到直线的距离为1， 即，解得：， 故选：C 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的概念及圆的定义与圆的标准方程可得解. 【详解】设，由题意知，， 因为是以为底边的等腰三角形，于是有， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又点，，构成三角形，即三点不可共线， 则轨迹中需去掉点及点关于点对称的点， 所以点的轨迹方程为（去掉，两点）， 故选：C. 8．已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的圆心关于直线的对称点，即为圆的圆心坐标，进而可得圆的方程． 【详解】圆与圆关于直线对称，则圆心与圆关于对称 可得，化简得，解得 又两圆半径相等，故圆的方程为 故选：B 9．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据曲线方程得到曲线的轨迹为半圆，根据直线方程得到直线过点，然后结合图形得到直线在之间，最后计算即可. 【详解】曲线可整理为，， 所以曲线为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下： 直线表示过点的直线， 如图所示，当直线在之间时与曲线有两个交点， 与半圆相切，则，解得， 经过点，则，解得， 所以. 故选：B. 10．（23-24高二上·重庆·月考）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【分析】由题意可得圆心位于直线上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，可得答案. 【详解】圆关于直线对称， 圆心在直线上，，， 圆，即，圆心为，半径为． 圆的标准方程是，圆心，半径， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B. 11．（24-25高二上·广东梅州·期末）（多选题）圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【分析】圆与圆有且只有一个公共点，则两圆相切，从而得到方程，求出答案. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 圆：的圆心为，半径为3， 圆与圆有且只有一个公共点，则两圆相切， 所以或，即或， 所以或， 不满足要求，满足要求. 故选：BD. 12．（24-25高二上·广东深圳·期末）（多选题）已知圆，圆，则（   ） A．的面积为 B．若，则内切 C．若外切，则 D．当时，相交弦所在直线的方程为 【答案】AB 【分析】计算两圆圆心坐标及半径，逐项判断即可确定选项. 【详解】由题意得，，圆半径，，圆半径. A. 圆的面积为，选项A正确. B. 若，则，圆心距，故圆内切，选项B正确. C.由题意得，， ∵圆外切，∴，即，解得，选项C错误. D.当时，， 由得，圆与圆相交，两圆方程作差得，，选项D错误. 故选：AB. 13．（23-24高二上·山东青岛·期中）（多选题）已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．点在圆内 B．圆上的点到直线的最小距离为1 C．圆和圆的公切线长为2 D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为 【答案】BCD 【分析】根据点与圆的关系即可求解A,根据圆心到直线的距离即可求解B，根据相交弦的定义即可求解D，根据相交时两圆的外公切线的求解即可判定C. 【详解】圆的圆心和半径分别为,圆的圆心和半径为， 对于A，由于，故点在圆外，故A错误， 对于B，到的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，B正确， 对于D,由于,故两圆相交， 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为：，故D正确， 对于C，由于两圆相交，所以外公切线的长度为，C正确， 故选：BCD 14．（多选题）若圆：和：（）有且仅有一条公切线l，则下列结论正确的是（    ） A．圆与圆内切 B． C．公切线l的方程为 D．公切线l的方程为 【答案】ABD 【分析】A项，由圆心在圆内可知两圆内切；B项，由两圆内切条件建立关于的方程求解即可；CD项，法一由两圆心连线斜率求出切线斜率，再求出切点可得方程，法二由两圆方程作差化简即得公切线方程. 【详解】圆与圆有且仅有一条公切线l，两圆相切. 圆：的圆心为，半径为， 圆：（）， 即，圆心，半径为. A项，将代入方程左边得， 则圆心在圆内，故两圆不可能外切，所以与内切，故A正确； B项，圆， 由圆与内切，所以， 由，即，解得，故B正确； CD项， ，得，则公切线斜率为， 法一：联立方程和，解得， 所以切点的坐标为， 故所求公切线的方程为，即． 法二： ①；②， 两圆方程作差得，即． 设两圆切点，则点的坐标适合方程①②，则也适合方程， 又直线斜率为，即与两圆圆心连线垂直， 故直线是过点且垂直于的直线，即为两圆公切线. 故C错误，D正确． 故选：ABD．    15．（23-24高二上·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 【答案】 【分析】分离参数，即可列方程组求解. 【详解】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 16．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）若圆与圆 外切，则 . 【答案】 【分析】由两圆外切可得圆心距等于半径，即可得解. 【详解】由已知，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为圆与圆外切，所以，解得. 故答案为：. 17．（24-25高二下·湖南·月考）已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】由题可求得圆心到直线的距离为1，讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】圆的半径为2，弦长为圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线距离为1得，解得． 直线的方程为或． 故答案为：或 18．（24-25高二下·江苏南京·期末）圆与圆的公切线的条数是 条． 【答案】3 【分析】确定两圆的位置关系，进而求出公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径； 圆的圆心，半径， 而，因此圆与圆外切， 所以两圆的公切线条数是3. 故答案为：3 19．（24-25高二下·湖北·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】先求出相交两圆的公共弦所在直线方程，再求出圆心到公共弦直线的距离，根据弦长公式即可求得公共弦长. 【详解】    如图，由圆与圆相减， 整理可得两圆的公共弦所在直线方程为：， 由圆的圆心到直线的距离为， 由弦长公式，可得两圆的公共弦长为. 故答案为：. 20．（24-25高二上·上海·随堂练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点M满足，则动点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】首先设，代入两点间的距离求和，最后整理方程. 【详解】设，由，得， 可得：，即， 整理得，故动点的轨迹方程为. 故答案为：. 21．（25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可得两圆相交，据此可得答案. 【详解】得的圆心，半径． 将化为标准方程得， 易知的圆心，半径． 又两圆只有两条公切线，故两圆相交，即，显然， 则，即， 解得． 故答案为：. 22．（24-25高二上·广东潮州·期末）直线被圆截得的弦的长为，则实数的值为 . 【答案】4或-6 【分析】由直线与圆相交，弦长公式求解即可； 【详解】将圆的方程化为，所以圆心，半径为， 所以弦心距， 因为弦长为，所以，即， 解得或. 故答案为：4或-6. 23．（25-26高二上·全国·课后作业）过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】弦即为点所对应的切点弦，可采用“留一代一”法直接写出方程；也可根据先求出直线AB斜率，再求方程. 【详解】  方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得．   方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即． 方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知， 过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为， 将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，，． 又直线过点，直线的方程为，即． 故答案为：． 24．在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为 小时． 【答案】5 【分析】以气象台为圆心，作半径为100的圆交台风轨迹于CD两点，计算CD两点的长度即可求得气象台所在地受到台风影响的时间． 【详解】如图所示，可设台风中心初始位置为，气象台为，， 以A为圆心，为半径作圆A交台风运动轨迹于C、D两点，CD为圆A的弦， 而台风向北偏东移动，可知， 过作BD的垂线，垂足为E， 在直角中，，则， 在直角中，由勾股定理得， 所以， 故持续时间为小时． 故答案为：5． 25．（23-24高二上·黑龙江鹤岗·月考）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)已知、，以线段AB为直径． (2)过点，，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得圆心和半径，进而可得圆的方程； （2）设圆的一般方程，列方程求解，进而可得圆的方程. 【详解】（1）因为点、， 所以线段AB的中点坐标为，即，所以圆心为， ，即半径为， 所以圆的标准方程为． （2）设圆M的一般方程为， 将A、B、C三点坐标代入圆M的一般方程得，解得， 所以圆M的一般方程为，圆M的标准方程为. 26．（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】(1) (2)以为圆心，为半径的圆 【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程． （2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹. 【详解】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． （2）设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 27．（23-24高二上·湖北·期中）已知圆的半径为2，圆心在轴正半轴上，直线与圆相切． (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于不同的两点，，且，为坐标原点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆心坐标，根据圆心到直线距离等于半径得到方程，求出，得到圆的方程； （2）设出直线，联立圆的方程，得到两根之和，两根之积，由得到，根据得到方程，求出，得到答案. 【详解】（1）设圆心坐标为，，所以，解得或（舍去）， 所以圆的方程为． （2）设，，直线， 联立得，， ，解得， 所以，， ， 因为， 所以，解得或（舍去）， 所以直线． 28．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解； （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； （3）由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即，     半径，     所以圆的标准方程为. （2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件；     当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得，     此时切线的方程为：， 即，     综上所述：过的切线方程为或. （3）圆心到直线的距离为，     所以弦长. 29．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）在平面直角坐标系中，存在四点． (1)求过三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 【答案】(1)，D在圆M内 (2)或. 【分析】（1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D坐标代入圆的方程判定位置关系即可； （2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程. 【详解】（1）设圆M方程为， 把A，B，C三点坐标代入可得： 解得，，， 所以圆M方程是, 把D点坐标代入可得：，故D在圆M内； （2）由（1）可知圆M：，则圆心，半径， 由题意可知圆心到直线l的距离是， 当直线l斜率存在时，设直线l方程为：， 所以由点到直线的距离公式得，解得，故直线l的方程为； 当直线l斜率不存在时，则直线l方程为：， 此时圆心到直线l的距离是3，符合题意. 综上所述，直线l的方程为或. 30．（24-25高二上·江西抚州·期末）已知为原点，直线与圆交于、两点. (1)若，求的值； (2)若过点作圆的两条切线，切点为、，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用垂径定理来求直线与圆相交的弦长，从而可得方程求解的值； （2）利用勾股定理来求切线长，从而可计算面积，然后可用基本不等式来求最值即可. 【详解】（1） 由圆可得： 圆心为，半径，其中， 而圆心到直线的距离， 所以，解得， 即的值为1. （2）由（1）可知， 由勾股定理可得 四边形由两个全等的直角三角形组成。所以 ， 当且仅当时成立 所以当四边形有最大面积. 31．（24-25高二上·贵州黔南·月考）已知直线恒过定点，且以为圆心的圆与直线相切. (1)求圆的一般方程； (2)设过点的直线与圆交于，两点，判断是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)13 【分析】（1）由直线系方程求出定点，再由圆心到直线的距离求出半径即可得解； （2）设过点的直线方程，代入圆的方程，利用韦达定理及弦长公式 即可得解. 【详解】（1）由可得， 当时，解得， 故直线恒过定点， 所以圆心到切线的距离， 即圆的半径为2, 所以圆的方程为：， 故圆的一般方程为 （2）点到圆心的距离，故点在圆外， 如图， 过点的直线与圆相交时斜率存在，故设过点的直线方程为， 代入圆的方程可得， 当时， 设，， 则， 所以 . 即为定值13. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $