专题05 概率初步 统计 压轴题（压轴题专项训练）数学沪教版2020高二必修第三册

专题05 概率初步 统计 压轴题 目录 典例详解 类型一、事件类型的判断 类型二、古典概率难点分析 类型三、统计估计 压轴专练 类型一、事件类型的判断 1.重要结论 （1）若，相互独立，则与，与，与也都相互独立。 （2）独立事件可以推广到个事件的情形，即若事件相互独立， 那么 2.相互独立事件与互斥事件的关系 ，关系 概率记法 ，互斥 ，相互独立 至少一个发生 同时发生 0 都不发生 恰有一个发生 至多一个发生 1 例1．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（    ） A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立 C．C与D互斥 D．A与C相互独立 变式1-1．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，A表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则（    ） A．C与D相互独立 B．A与D相互独立 C．B与D相互独立 D．A与C相互独立 变式1-2．在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（    ） A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立 C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立 变式1-3．若事件满足，，同时成立，则称事件两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字， 得到样本空间， 若事件， 事件， 则可以构造事件 (填一个满足条件的集合即可)， 使得成立， 但不满足事件两两独立. 变式1-4．给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件“这个数为偶数”，事件“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是（    ） A．若，，则至少存在一个，使事件和事件不独立 B．若，，则存在无穷多个，使事件和事件独立 C．若为奇数，则至少存在一个，使事件和事件独立 D．若为偶数，则对任意的，事件和事件独立 类型二、古典概率难点分析 利用古典概型求概率的方法及注意点 （1）用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来，再利用公式求解，列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏． （2）事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少． 例2．从中任取二数（可以相同），则的个位数是3的概率为 . 变式2-1．甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合，，，记中元素的个数为，则的概率为 . 变式2-2．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 变式2-3．小明同时掷3个骰子，在掷完后，小明有一次重掷的机会，即可以选择三个骰子中的任意多个进行重掷（可以是0个），并保留剩下骰子的点数，若最后点数之和为7则取得胜利．为了取得胜利，则小明会选择2个骰子进行重掷的概率为 ． 变式2-4．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 变式2-5．袋中装有6个相同的球，分别标有数字，从中一次性随机取出两个球，设两球标号为和，并记.将球放回袋中，重复上述操作，得到和.记，其中，则的概率为 . 类型三、统计估计的综合应用 统计估计 (1)第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. (2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 2.样本的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数. (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数. (4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是s＝ ， s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]. 例3．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 变式3-1．高一某班有24名男生和40名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为4，若男生分数的方差为94，全班分数的方差为84，则女生分数的方差为 . 变式3-2．已知11名学生在“一带一路”知识竞赛中的成绩的平均值为60，方差为30，则这11名学生成绩的中位数的最大值为 . 变式3-3．已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则，该公式可以用来解决样本数据的最值问题.已知7个样本数据的均值为2，方差为，则这7个样本数据的中位数的最大值为 . 变式3-4．在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，下面说法正确的是 .（写出所有正确选项） ①新数据的极差可能等于原数据的极差. ②新数据的中位数可能等于原数据的中位数. ③若，则新数据的方差一定大于原数据方差. ④若，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数. 变式3-5．现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件： 甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24； 乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26； 丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的番号是 ①甲球员连续5场得分都不低于24分   ②乙球员连续5场得分都不低于24分 ③丙球员连续5场得分都不低于24分   ④丙球员连续5场得分的第60百分位数大于24 变式3-6．已知样本数据的各项均不为0，这组样本数据的方差为，，样本数据的方差为．设甲：，乙：全为正数，或全为负数．则甲是乙的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-7．在一组样本数据中，正整数，，，出现的频率分别为，，，，且，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（  ） A．， B．， C．， D．， 变式3-8．对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为 ． 变式3-9．对于没有重复数据的样本，记这m个数的第k百分位数为.若在区间中的样本数据有且只有13个，则m的所有可能值的和为 . 一、填空题 1．互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第40百分位数为 . 2．设函数是从1，2，3三个数中任意取一个数，是从2，3，4，5四个数中任意取一个数，则的概率是 ． 3．已知a，b，c是正整数，且，，，当a，b，c方差最小时，写出满足条件的一组a，b，c的值 ． 4．设是正整数，且，当数据的方差最小时，的值为 ． 5．对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为 ． 6．设一组样本的统计数据为：，，…，，其中，，，…，.已知该样本的统计数据的平均数为，方差为，设函数，.则下列命题①.设，则，，…，的平均数为②.设，则，，…，的方差为③.当时，函数有最小值④.正确的是 . 7．将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2，设第列的所有数的和为为中的最小值，则的最大值为 . 8．小明同时掷3个骰子，在掷完后，小明有一次重掷的机会，即可以选择三个骰子中的任意多个进行重掷（可以是0个），并保留剩下骰子的点数，若最后点数之和为7则取得胜利．为了取得胜利，则小明会选择2个骰子进行重掷的概率为 ． 二、单选题 9．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）下列说法错误的是（    ） A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 10．给定事件，且，则下列结论：①若，且互斥，则不可能相互独立；②若，则互为对立事件；③若，则两两独立；④若，则相互独立.其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．为了提高学生锻炼身体的积极性，某班以组为单位组织学生进行了花样跳绳比赛，每组6人，现抽取了两组数据，其中甲组数据的平均数为8，方差为4，乙组数据满足如下条件时，若将这两组数据混合成一组，则关于新的一组数据说法错误的是（    ） A．若乙组数据的平均数为8，则新的一组数据的平均数一定为8 B．若乙组数据的方差为4，则新的一组数据的方差一定为4 C．若乙组数据的平均数为8，方差为4，则新的一组数据的方差一定为4 D．若乙组数据的平均数为4，方差为8，则新的一组数据的方差一定为10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 概率初步 统计 压轴题 目录 典例详解 类型一、事件类型的判断 类型二、古典概率难点分析 类型三、统计估计 压轴专练 类型一、事件类型的判断 1.重要结论 （1）若，相互独立，则与，与，与也都相互独立。 （2）独立事件可以推广到个事件的情形，即若事件相互独立， 那么 2.相互独立事件与互斥事件的关系 ，关系 概率记法 ，互斥 ，相互独立 至少一个发生 同时发生 0 都不发生 恰有一个发生 至多一个发生 1 例1．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（    ） A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立 C．C与D互斥 D．A与C相互独立 【答案】D 【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立. 【详解】由，，，即，故A、B互斥，A错误； 由，A、D互斥且对立，B错误； 又，，则，C与D不互斥，C错误； 由，，， 所以，即A与C相互独立，D正确. 故选：D 变式1-1．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，A表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则（    ） A．C与D相互独立 B．A与D相互独立 C．B与D相互独立 D．A与C相互独立 【答案】D 【分析】根据事件相互独立的定义判断. 【详解】由题意知， ，所以C与D不相互独立， ，所以A与D不相互独立， ，所以B与D不相互独立， ，所以A与C相互独立， 故选：D 【点睛】方法点睛：判断事件A与B是否相互独立，根据事件相互独立的定义关键看是否成立. 变式1-2．在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B选项”，则（    ） A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立 C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立 【答案】C 【分析】根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可得出答案. 【详解】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形： ①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同， 所以，，，， 因为事件与事件互斥，所以，又， 所以事件M与事件N不相互独立，故A错误； ，故B错误； 由，则事件M与事件Y相互独立，故C正确； 因为事件N与事件Y互斥，所以，又， 所以事件N与事件Y不相互独立，故D错误. 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先求出，，，，再根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可. 变式1-3．若事件满足，，同时成立，则称事件两两独立，现抛掷一枚质地均匀的骰子，观察面朝上的数字， 得到样本空间， 若事件， 事件， 则可以构造事件 (填一个满足条件的集合即可)， 使得成立， 但不满足事件两两独立. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相互独立事件以及“两两相互”的定义对问题进行分析，先判断相互独立，确定构造事件，使“与”或“与”不相互独立，根据事件包含的基本事件的个数进行分类讨论，由此求得符合题意的时间. 【详解】元素或有且仅有一个属于C，剩余的中任选两个属于，都满足条件要求． 因为，，，则， 若不满足事件两两独立，只需构造事件， 使得和至少有一个成立， 设事件包含的基本事件个数为（且），（且）， 当成立时，有，得， 所以或． （i）若，则，， 此时，，满足， 又，，，； ，，，， 又因为，所以事件两两独立，不满足要求， （ii）若，则， 因为，，所以必有且、且两种情况． 当且时，，，， 所以，， 所以若事件两两独立，则存在事件使得且， 此时，，不符合题意，所以不可能两两独立． 所以构造集合使得，且均满足题意， 故满足要求的为：、、、、、． 当且时，同理符合要求的集合为：、、、、、． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设事件包含的基本事件个数为（且），（且），根据题设得到或，再利用古典概率公式及条件，即可求解. 变式1-4．给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件“这个数为偶数”，事件“这个数为3的倍数”.下列说法正确的是（    ） A．若，，则至少存在一个，使事件和事件不独立 B．若，，则存在无穷多个，使事件和事件独立 C．若为奇数，则至少存在一个，使事件和事件独立 D．若为偶数，则对任意的，事件和事件独立 【答案】B 【分析】主要是用判断事件的相互独立性. 【详解】对于A，对于任意，， 即事件和事件独立， A不正确. 对于B，当时，满足； 当时，满足； 以此类推，当时，，，满足； 故存在无穷多个，使事件和事件独立，B正确. 对于C，当时，， 此时显然； 当时，， 此时显然； 当时，， 此时显然； 综上可知，对任意奇数，事件和事件都不独立；C不正确. 对于D，当时，D不正确. 故选：B. 类型二、古典概率难点分析 利用古典概型求概率的方法及注意点 （1）用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来，再利用公式求解，列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏． （2）事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少． 例2．从中任取二数（可以相同），则的个位数是3的概率为 . 【答案】 【分析】列出的个位数与的个位数，发现周期为4，再求出的个位数是3的情况，再由独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】列出的个位数与的个位数，发现周期为4， 1 2 3 4 的个位数 2 4 8 6 的个位数 7 9 3 1 则的个位数是3的情况有：， 又2024是4的倍数，故表格中一个周期内取数每种组合情况发生的概率均为， 所以个位数是3的概率为. 故答案为：. 变式2-1．甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合，，，记中元素的个数为，则的概率为 . 【答案】 【分析】根据已知一个元素被某人选中的概率为且相互独立，应用独立乘法公式及对立事件的概率求法得两个元素均未被三人选中的概率为，最后应用对立事件的概率求法即可得. 【详解】设两个不同数为，一个元素被某人选中的概率为且相互独立， 所以一个元素被甲乙丙三人都选中的概率为， 由中元素的个数，表示至少一个元素被三人选中， 而两个元素均未被三人选中的概率为， 所以的概率为. 故答案为： 变式2-2．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 【答案】 【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可； 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中的结果有8种， 所以的概率为. 故答案为：. 变式2-3．小明同时掷3个骰子，在掷完后，小明有一次重掷的机会，即可以选择三个骰子中的任意多个进行重掷（可以是0个），并保留剩下骰子的点数，若最后点数之和为7则取得胜利．为了取得胜利，则小明会选择2个骰子进行重掷的概率为 ． 【答案】 【分析】首先分析出小明选择重新投掷骰子的逻辑，投掷后，若点数和不为7，当3个骰子中，有2枚骰子的点数和小于7，则选择1个骰子进行重新投掷；当3个骰子中，任意2枚骰子的点数和大于6，则选择2枚或者3枚进行重掷，分析概率得投掷2枚骰子点数和为4，5或6的概率大于重新投掷3枚骰子使得点数和为7的概率，即可得出选择2个骰子重掷的种数，从而得出概率． 【详解】三枚骰子和为7的情况共有15种， 投掷1枚骰子得到指定点数的概率为：， 投掷3枚骰子得到点数和为7的概率为：， 抛掷2枚骰子，只需要2枚骰子的点数和为2,3,4,5,6， 则投掷2枚骰子得到的点数和与概率如下表： 表1 抛掷2枚骰子的点数和 点数和情况 出现概率 2 1+1 3 1+2,2+1 4 1+3,2+2,3+1 5 1+4,2+3,3+2,4+1 6 1+5,2+4,3+3,4+2,5+1 可知，抛掷2枚骰子得到指定点数和的概率小于抛掷1枚骰子得到指定点数的概率， 且抛掷3枚骰子得到指定点数和7的概率小于抛掷1枚骰子得到指定点数的概率， 故小明会优先选择重新投掷1枚骰子从而使得3枚骰子的点数和为7， 则小明在抛掷后，出现的点数和不为7，且有2枚骰子的点数和小于7，会选择重新抛掷1枚骰子的情况如下表： 表2 第一枚点数 第二枚点数 第三枚点数 情况种数 1 1 1,2,3,4,6 30 2 1,2,3,5,6 3 1,2,4,5,6 4 1,3,4,5,6 5 2,3,4,5,6 6 1,2,3,4,5 2 1 1,2,3,5,6 28 2 1,2,4,5,6 3 1,3,4,5,6 4 2,3,4,5,6 5 1,2,3,4 6 1,2,3,4 3 1 1,2,4,5,6 24 2 1,3,4,5,6 3 2,3,4,5,6 4 1,2,3 5 1,2,3 6 1,2,3 4 1 1，3,4,5,6 19 2 2,3,4,5,6 3 1,2,3 4 1,2 5 1,2 6 1,2 5 1 2,3,4,5,6 16 2 1,2,3,4 3 1,2,3 4 1,2 5 1 6 1 6 1 1,2,3,4,5 15 2 1,2,3,4, 3 1,2,3 4 1,2 5 1 共132种情况； 当抛掷的3枚骰子中，出现的点数和不为7，任意2枚之和都大于6时，选择重新投掷2枚或3枚骰子，所有情况如下表： 表3 第一枚点数 第二枚点数 第三枚点数 情况种数 6 6 6,5,4,3,2,1 21 5 6,5,4,3,2 4 6,5,4,3 3 6,5,4 2 6,5 1 6 5 6 6,5,4,3,2 19 5 6,5,4,3,2 4 6,5,4,3 3 6,5,4 2 6,5 4 6 6,5，4,3 15 5 6,5，4,3 4 6,5，4,3 3 6,5，4 3 6 6,5,4 9 5 6,5,4 4 6,5,4 2 6 6,5 4 5 6,5 1 6 6 1 由表1可知，选择重新投掷2枚骰子出现点数和为4，5或6的概率大于重新投掷3枚骰子使得点数和为7的概率， 故当3枚骰子中出现点数3，2或1，且任意2枚骰子的点数和大于6时，选择重新投2枚骰子， 由表3可知，共有42种情况符合条件， 所以小明会选择2个骰子进行重掷的概率为：， 故答案为：． 变式2-4．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手，分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率. 【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”， 连续上两天班，上班、下班的次数共有4次. (1)4次均不下雨，概率为：； (2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：； (3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况： ①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨； 概率为：； (4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：； (5)4次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为：， 所以至少有一天淋雨的概率为：. 故选：D. 变式2-5．袋中装有6个相同的球，分别标有数字，从中一次性随机取出两个球，设两球标号为和，并记.将球放回袋中，重复上述操作，得到和.记，其中，则的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意写出样本空间，并列出的所有情况，从而根据古典概型求概率. 【详解】每一次取球时，标号组合都有种等可能的组合情况， 其对应的样本空间为： . 下面分析每一个样本点对应的情况： ； ； ； ； ； ； ； . 记为事件，则 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据样本点列出的所有情况是解题关键. 类型三、统计估计的综合应用 统计估计 (1)第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. (2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数. 2.样本的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数. (2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数. (3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数. (4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是s＝ ， s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]. 例3．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差. 【详解】设甲组数据分别为、、、，乙组数据分别为、、、， 甲组数据的平均数为，可得，方差为，可得， 乙组数据的平均数为，可得，方差为，可得， 混合后，新数据的平均数为， 方差为 . 故选：D. 变式3-1．高一某班有24名男生和40名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为4，若男生分数的方差为94，全班分数的方差为84，则女生分数的方差为 . 【答案】72 【分析】由平均值公式、方差公式，根据男生分数、全班分数的方差可求出女生分数的方差. 【详解】设男生分数为，男生分数均值为； 女生分数为，女生分数均值为； 则，总体均值为， 男生分数方差为，则， 全班分数方差为， 由 ， 所以，解得； 因为，所以， 化简得， 解得， 则女生分数的方差为. 故答案为：72 变式3-2．已知11名学生在“一带一路”知识竞赛中的成绩的平均值为60，方差为30，则这11名学生成绩的中位数的最大值为 . 【答案】65 【分析】将11个数据按由小到大分成前5后6两段，利用分层抽样的平均数、方差公式列式并建立不等关系求解. 【详解】设这11名学生的成绩分别为，且，的平均值为， 方差为的平均值为，方差为， 依题意，，解得，由分层随机抽样的方差公式知 ， 于是，整理得，得， 当，时，取到65， 所以这11名学生成绩的中位数的最大值为65. 故答案为：65 变式3-3．已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则，该公式可以用来解决样本数据的最值问题.已知7个样本数据的均值为2，方差为，则这7个样本数据的中位数的最大值为 . 【答案】3 【分析】设这7个样本数据为，且，的均值为，方差为；的均值为，方差为，将代入题设总体方差公式求出即可得解. 【详解】设这7个样本数据为，且， 的均值为，方差为；的均值为，方差为， 则，，当且仅当时取等号； 所以， 所以当，时中位数可以达最大， 故答案为：3 变式3-4．在某次比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，若随机删去其中一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，下面说法正确的是 .（写出所有正确选项） ①新数据的极差可能等于原数据的极差. ②新数据的中位数可能等于原数据的中位数. ③若，则新数据的方差一定大于原数据方差. ④若，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数. 【答案】①②③ 【分析】根据极差、中位数、平均数和方差的概念，以及百分位数的概念及计算方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩， 此时新数据的极差可能等于原数据的极差，所以①正确； 对于②，不妨假设， 当时，若随机删去的成绩是， 此时新数据的中位数等于原数据的中位数，所以②正确； 对于③，若，即删去的数据恰为平均数， 根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，所以方差会变大，所以③正确； 对于④，若，即删去的数据恰为平均数，在按从小到大的顺序排列的5个数据中， 因为，此时原数据的分位数为第二数和第三个数的平均数； 删去一个数据后的4个数据，从小到大的顺序排列，可得， 此时新数据的分位数为第二个数， 显然新数据的分位数小于原数据的分位数，所以④错误. 故答案为：①②③. 变式3-5．现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件： 甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24； 乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26； 丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的番号是 ①甲球员连续5场得分都不低于24分   ②乙球员连续5场得分都不低于24分 ③丙球员连续5场得分都不低于24分   ④丙球员连续5场得分的第60百分位数大于24 【答案】①④ 【分析】本题需要根据甲乙丙三位球员得分数据所满足的不同条件，分别对每个选项进行分析判断.对于甲球员，依据中位数和众数的定义来判断得分情况；对于乙球员，通过结合中位数和平均数的定义，尝试构造反例来判断；对于丙球员，利用平均数和方差的定义，以及百分位数的定义来进行分析. 【详解】对于①： 设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为， 则，，且至少出现次，故，①正确； 对于②： 设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为， 则，，取， 可得其满足条件，但有2场得分低于24，②错误； 对于③： 设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为， 已知方差， 所以. 若，则，所以， 这与上式矛盾，所以， 那么. 又因为的平均数为，所以， 取，满足要求，但有一场得分低于24分，③错误； 对于④： 因为，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为， 若，则，此时，矛盾， 所以，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24，④ 正确. 故答案为：①④. 变式3-6．已知样本数据的各项均不为0，这组样本数据的方差为，，样本数据的方差为．设甲：，乙：全为正数，或全为负数．则甲是乙的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先证明充分性，设的平均数为，的平均数为，，，因为，所以，，结合绝对值不等式得到充分性成立，再分全为正数和全是负数两种情况，得到必要性成立，得到结论. 【详解】充分性：设的平均数为，的平均数为， ，， 因为，所以，所以， 其中，故， 由绝对值不等式得， 当且仅当同号，即全为正数，或全为负数，等号成立， 故充分性成立， 必要性：若全为正数，则，，显然， 若全为负数，则，， 设的平均数为，则的平均数为， ，， ，必要性成立， 综上，甲是乙充分必要条件. 故选：A 变式3-7．在一组样本数据中，正整数，，，出现的频率分别为，，，，且，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由条件证明，根据方差公式求方差，再求其最大值，根据方差与标准差关系确定结论. 【详解】样本数据的平均数， 结合选项可知，且， 所以， 样本数据的方差 ． 因为，，则， 所以，所以，故， 所以最大时，方差最大，即标准差最大，故B正确． 故选：B. 变式3-8．对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】就是否为正整数分类讨论，若为正整数，则5个数分别为；若不为整数，则5个数分别为，就的范围分类计算后可得m的所有可能值组成的集合. 【详解】不妨设，因为不在这组数据，故为正整数， 若为正整数，故，其中为正整数， 故，， 因为在区间中的数据有且只有5个， 故这个5个数分别为，故即， 但当时，，此时至少有6个， 故， 当时，即为，共5个，符合； 当时，即为，共6个，不符合； 当时，即为，共7个，不符合； 若为不是整数，故，其中为正奇数， 设，其中为正整数， 则，且，故， 故，， 因为在区间中的数据有且只有5个， 故这个5个数分别为，故即， 但当，，此时至少有6个， 故， 当时，即为，共5个，符合； 当时，即为，共6个，不符合； 当时，即为，共7个，不符合； 综上，符合条件的为，， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：与不等式有关的整数解问题，可先根据区间中含有的整数的个数初步确定参数的范围，再逐个讨论后舍去矛盾的情况即可. 变式3-9．对于没有重复数据的样本，记这m个数的第k百分位数为.若在区间中的样本数据有且只有13个，则m的所有可能值的和为 . 【答案】 【分析】分是否为整数求出，根据在区间中的样本数据有且只有13个，取得的范围，然后验证可得. 【详解】不妨假设，用表示不超过的最大整数. 若为正整数，即为正整数，则是5的倍数，此时必是正整数， 则， 则在区间的数据为， 所以，解得； 若都不是正整数，则， 则在区间的数据为， 所以，则， 解得. 综上，的可能取值有. 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 当时，在区间内的数据有，共个数，不满足题意； 故的可能取值有，. 故答案为： 一、填空题 1．互不相等的4个正整数从小到大排序为a1，a2，a3，a4，若它们的和为12，且这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第40百分位数为 . 【答案】2 【分析】根据中位数、极差的概念求出这四个正整数，再由百分位数的定义求解. 【详解】这组数据的极差，中位数为， 据题意得， 即， 又它们的和为12，所以，解得，. 因为a1，a2，a3为正整数且互不相等， 所以. 因为， 所以这4个数据的第40百分位数为. 故答案为：2 2．设函数是从1，2，3三个数中任意取一个数，是从2，3，4，5四个数中任意取一个数，则的概率是 ． 【答案】 【详解】 ,当且仅当 时，取“=” ，于是 恒成立就转化为 成立.设事件 “ 恒成立”，则基本事件总数为 个，即，  ， ；事件 包含事件： ； 共 个，由古典概型得 ,故答案为 . 【方法点睛】本题主要考查不等式恒成立问题及古典概型概率公式，属于中档题.古典概型中,基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求，注意在确定基本事件时可以看成是有序的，如与不同，有时也可以看成是无序的，如与相同；(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本亊件的个数时，可利用排列或组合的知识.本题是利用方法（1）将基本事件一一列举后求概率的. 3．已知a，b，c是正整数，且，，，当a，b，c方差最小时，写出满足条件的一组a，b，c的值 ． 【答案】或（其中一组即可） 【分析】根据方差定义计算方差，再由方差最小，确定后转化为关于的二次函数，利用二次函数求最小值即可得解. 【详解】设， 则 ， 要使方差最小，三个数据应尽量靠近，故，， 则， 关于的二次函数的对称轴为，又且为正整数， 所以当或时，方差最小，最小值为. 故满足条件的为或. 故答案为：或（其中一组即可） 4．设是正整数，且，当数据的方差最小时，的值为 ． 【答案】253或254 【分析】设，根据数据的方差为可化简为，推出要取到最小值，需最小且最小值为11，即可结合二次函数性质确定此时的值，求得答案. 【详解】设，则数据的方差为 ， 显然且， 故要取到最小值，需最小，最小值为， 设，则， 则， 当或时，取到最小值， 即或时，取到最小值， 故当数据的方差最小时，即或， 的值为253或254， 故答案为：253或254 5．对于没有重复数据的样本、、…、，记这m个数的第k百分位数为．若不在这组数据中，且在区间中的数据有且只有5个，则m的所有可能值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】就是否为正整数分类讨论，若为正整数，则5个数分别为；若不为整数，则5个数分别为，就的范围分类计算后可得m的所有可能值组成的集合. 【详解】不妨设，因为不在这组数据，故为正整数， 若为正整数，故，其中为正整数， 故，， 因为在区间中的数据有且只有5个， 故这个5个数分别为，故即， 但当时，，此时至少有6个， 故， 当时，即为，共5个，符合； 当时，即为，共6个，不符合； 当时，即为，共7个，不符合； 若为不是整数，故，其中为正奇数， 设，其中为正整数， 则，且，故， 故，， 因为在区间中的数据有且只有5个， 故这个5个数分别为，故即， 但当，，此时至少有6个， 故， 当时，即为，共5个，符合； 当时，即为，共6个，不符合； 当时，即为，共7个，不符合； 综上，符合条件的为，， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：与不等式有关的整数解问题，可先根据区间中含有的整数的个数初步确定参数的范围，再逐个讨论后舍去矛盾的情况即可. 6．设一组样本的统计数据为：，，…，，其中，，，…，.已知该样本的统计数据的平均数为，方差为，设函数，.则下列命题①.设，则，，…，的平均数为②.设，则，，…，的方差为③.当时，函数有最小值④.正确的是 . 【答案】①③ 【分析】 由样本的数字特征逐项判断即可. 【详解】因为，，…，.已知该样本的统计数据的平均数为，方差为， 所以，，…，的平均数为，故①正确； ，，…，的方差为，故②错误； ， 又，故， 故， 故当时，函数有最小值.故③正确； 由上可知：， 故.故④错误. 故答案为：①③ 7．将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2，设第列的所有数的和为为中的最小值，则的最大值为 . 【答案】10 【分析】依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论，确定的最大值. 【详解】依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论， （1）若5个1分布在同一列，则； （2）若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3， 故，故； （3）若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3， 故，故； （4）若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，； 另一方面，如下表的例子说明可以取到10. 1 1 1 4 5 1 1 2 4 5 2 2 2 4 5 3 3 2 4 5 3 3 3 4 5 故答案为：10 8．小明同时掷3个骰子，在掷完后，小明有一次重掷的机会，即可以选择三个骰子中的任意多个进行重掷（可以是0个），并保留剩下骰子的点数，若最后点数之和为7则取得胜利．为了取得胜利，则小明会选择2个骰子进行重掷的概率为 ． 【答案】 【分析】首先分析出小明选择重新投掷骰子的逻辑，投掷后，若点数和不为7，当3个骰子中，有2枚骰子的点数和小于7，则选择1个骰子进行重新投掷；当3个骰子中，任意2枚骰子的点数和大于6，则选择2枚或者3枚进行重掷，分析概率得投掷2枚骰子点数和为4，5或6的概率大于重新投掷3枚骰子使得点数和为7的概率，即可得出选择2个骰子重掷的种数，从而得出概率． 【详解】三枚骰子和为7的情况共有15种， 投掷1枚骰子得到指定点数的概率为：， 投掷3枚骰子得到点数和为7的概率为：， 抛掷2枚骰子，只需要2枚骰子的点数和为2,3,4,5,6， 则投掷2枚骰子得到的点数和与概率如下表： 表1 抛掷2枚骰子的点数和 点数和情况 出现概率 2 1+1 3 1+2,2+1 4 1+3,2+2,3+1 5 1+4,2+3,3+2,4+1 6 1+5,2+4,3+3,4+2,5+1 可知，抛掷2枚骰子得到指定点数和的概率小于抛掷1枚骰子得到指定点数的概率， 且抛掷3枚骰子得到指定点数和7的概率小于抛掷1枚骰子得到指定点数的概率， 故小明会优先选择重新投掷1枚骰子从而使得3枚骰子的点数和为7， 则小明在抛掷后，出现的点数和不为7，且有2枚骰子的点数和小于7，会选择重新抛掷1枚骰子的情况如下表： 表2 第一枚点数 第二枚点数 第三枚点数 情况种数 1 1 1,2,3,4,6 30 2 1,2,3,5,6 3 1,2,4,5,6 4 1,3,4,5,6 5 2,3,4,5,6 6 1,2,3,4,5 2 1 1,2,3,5,6 28 2 1,2,4,5,6 3 1,3,4,5,6 4 2,3,4,5,6 5 1,2,3,4 6 1,2,3,4 3 1 1,2,4,5,6 24 2 1,3,4,5,6 3 2,3,4,5,6 4 1,2,3 5 1,2,3 6 1,2,3 4 1 1，3,4,5,6 19 2 2,3,4,5,6 3 1,2,3 4 1,2 5 1,2 6 1,2 5 1 2,3,4,5,6 16 2 1,2,3,4 3 1,2,3 4 1,2 5 1 6 1 6 1 1,2,3,4,5 15 2 1,2,3,4, 3 1,2,3 4 1,2 5 1 共132种情况； 当抛掷的3枚骰子中，出现的点数和不为7，任意2枚之和都大于6时，选择重新投掷2枚或3枚骰子，所有情况如下表： 表3 第一枚点数 第二枚点数 第三枚点数 情况种数 6 6 6,5,4,3,2,1 21 5 6,5,4,3,2 4 6,5,4,3 3 6,5,4 2 6,5 1 6 5 6 6,5,4,3,2 19 5 6,5,4,3,2 4 6,5,4,3 3 6,5,4 2 6,5 4 6 6,5，4,3 15 5 6,5，4,3 4 6,5，4,3 3 6,5，4 3 6 6,5,4 9 5 6,5,4 4 6,5,4 2 6 6,5 4 5 6,5 1 6 6 1 由表1可知，选择重新投掷2枚骰子出现点数和为4，5或6的概率大于重新投掷3枚骰子使得点数和为7的概率， 故当3枚骰子中出现点数3，2或1，且任意2枚骰子的点数和大于6时，选择重新投2枚骰子， 由表3可知，共有42种情况符合条件， 所以小明会选择2个骰子进行重掷的概率为：， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：利用古典概型求概率的方法及注意点 （1）用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来，再利用公式求解，列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏． （2）事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少． 二、单选题 9．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）下列说法错误的是（    ） A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】C 【分析】根据独立时间的概率乘法以及列举法，可得答案. 【详解】对于A，由题意可知：信号的传输相互独立，输入收到的概率为，输入收到的概率为， 所以采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为，故A正确； 对于B，由题意可知：信号的传输相互独立，输入收到的概率为，输入收到的概率为， 所以采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为，故B正确； 对于C，采用三次传输方案，若发送1，译码为1的情况分别为“”、“”、“”、“”， 因为信号的传输相互独立，输入收到的概率为，输入收到的概率为， 所以采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为，故C错误； 对于D，若发送0，采用三次传输方案译码为0的情况有“”、“”、“”、“”， 所以其概率为； 若发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为， 由，且， 则，故D正确； 故选：C. 10．给定事件，且，则下列结论：①若，且互斥，则不可能相互独立；②若，则互为对立事件；③若，则两两独立；④若，则相互独立.其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据独立事件概率公式可判断①正确；通过反例可说明②③错误；由，结合独立事件概率公式可知④正确. 【详解】对于①，若互斥，则，又， ，不相互独立，①正确； 对于②，，； 扔一枚骰子，记事件为“点数大于两点”；事件为“点数大于五点”；事件为“点数大于一点”， 则，，， 满足，但不是对立事件，②错误； 对于③，扔一枚骰子，记事件为“点数大于两点”；事件为“点数大于五点”；事件为“点数大于六点”， 则，，，，， 满足，此时， 事件不相互独立，③错误； 对于④，，事件与互斥，， 又，， 即，事件相互独立，④正确. 故选：B. 【点睛】思路点睛：本题考查对立事件、独立事件的判断，解题基本思路是能够结合和事件和积事件的定义，利用独立事件概率公式依次验证选项中的事件是否为独立事件. 11．为了提高学生锻炼身体的积极性，某班以组为单位组织学生进行了花样跳绳比赛，每组6人，现抽取了两组数据，其中甲组数据的平均数为8，方差为4，乙组数据满足如下条件时，若将这两组数据混合成一组，则关于新的一组数据说法错误的是（    ） A．若乙组数据的平均数为8，则新的一组数据的平均数一定为8 B．若乙组数据的方差为4，则新的一组数据的方差一定为4 C．若乙组数据的平均数为8，方差为4，则新的一组数据的方差一定为4 D．若乙组数据的平均数为4，方差为8，则新的一组数据的方差一定为10 【答案】B 【分析】根据分层样本的平均数公式和方差公式分别计算两组数据的总体的平均数或方差即可判断. 【详解】设甲组数据的平均数为，方差为， 乙组数据的平均数为，方差为， 混合后的新数据的平均数为，方差为，则， 对于，新的一组数据平均数，故A正确； 对于，由于不能确定乙组数据的平均数，故由公式， 可知无法确定新的一组数据方差，故B错误； 对于C，因为乙组数据的平均数为8，方差为4，即， 所以，所以，故C正确； 对于D，因为乙组数据的平均数为4，方差为8，即， 所以， 所以10，故D正确. 故选：B. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $