24.4 第2课时 仰角、俯角问题（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（华东师大版）

第2课时 仰角、俯角问题

1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)

2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点)

 

一、情境导入

在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题．

二、合作探究

探究点：利用仰(俯)角解决实际问题

【类型一】 利用仰角求高度

星期天，身高均为1.6米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度．如图，小红站在A处测得她看塔顶C的仰角α为45°，小涛站在B处测得塔顶C的仰角β为30°，他们又测出A、B两点的距离为41.5m，假设他们的眼睛离头顶都是10cm，求塔高(结果保留根号)．

解析：设塔高为xm，利用锐角三角函数关系得出PM的长，再利用＝tan30°，求出x的值即可．

解：设塔底面中心为O，塔高xm，MN∥AB与塔中轴线相交于点P，得到△CPM、△CPN是直角三角形，则＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM＝CP＝x－1.5.在Rt△CPN中，＝tan30°，即＝，解得x＝.

答：塔高为m.

方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．

 

【类型二】 利用俯角求高度

如图，在两建筑物之间有一旗杆EG，高15米，从A点经过旗杆顶部E点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°.若旗杆底部G点为BC的中点，求矮建筑物的高CD.

解析：根据点G是BC的中点，可判断EG是△ABC的中位线，求出AB.在Rt△ABC和Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出BC、DF，继而可求出CD的长度．

解：过点D作DF⊥AF于点F，∵点G是BC的中点，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位线，∴AB＝2EG＝30m.在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∴BC＝ABtan∠BAC＝30×＝10m.在Rt△AFD中，∵AF＝BC＝10m，∴FD＝AF·tanβ＝10×＝10m，∴CD＝AB－FD＝30－10＝20m.

答：矮建筑物的高为20m.

方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．

 

【类型三】 利用俯角求不可到达的两点之间的距离

如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB约是多少m(精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73)?

解析：在Rt△ACD中，根据已知条件求出AC的值，再在Rt△BCD中，根据∠EDB＝45°，求出BC＝CD＝21m，最后根据AB＝AC－BC，代值计算即可．