23.3.2 第2课时 利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学上册同步备课（华东师大版）

该教案聚焦相似三角形判定定理2（两边成比例且夹角相等）和定理3（三边成比例），通过情景导入让学生画图比较角的大小，引导从全等三角形判定（SAS、SSS）过渡到相似判定，构建知识支架。 亮点在于以几何直观引导探究，通过合作探究解析公共角夹边比例、三边比例计算等例题，培养推理意识与运算能力，结合零件厚度测量等实际问题发展模型意识，帮助学生掌握判定方法与分类讨论思想，便于教师把握重难点。

第2课时 利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似 1.掌握相似三角形的判定定理2和判定定理3；（重点） 2.能熟练运用相似三角形的判定定理2和判定定理3.（难点） 一、情景导入 画△ABC与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，和都等于给定的值k.设法比较∠B与∠B′的大小（或∠C与∠C′的大小），△ABC与△A′B′C′相似吗？ 二、合作探究 探究点一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，根据下列条件，可以得到△ABC∽△BDC的是（　　） A.AB·CD＝BD·BC B.AC·CB＝CA·CD C.BC2＝AC·DC D.BD2＝CD·DA 　　解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似.本题中，∠C是△ABC和△BDC的公共角，关键是找出∠C的两边对应成比例，即＝或BC2＝AC·DC.故选C. 　　方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共角，而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理2加以判断. 探究点二：三边成比例的两个三角形相似 已知△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，2，试判断△ABC与△DEF是否相似. 解析：因为已知两个三角形的三边长，所以可以考虑根据三边之间的比例关系来判定两个三角形是否相似. 解：因为＝＝， 所以△ABC与△DEF相似. 　　方法总结：已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系. 探究点三：相似三角形的判定定理2及判定定理3的应用 如图甲，小正方形的边长均为1，则乙图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是哪一个图形？ 解析：图中的三角形均为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边是否对应成比例来判断乙图中的三角形与△ABC是否相似. 解：由甲图可知AC＝＝，BC＝2，AB＝＝. 同理，图①中，三角形的三边长分别为1，，2； 同理，图②中，三角形的三边长分别为1，，； 同理，图③中，三角形的三边长分别为，，3； 同理，图④中，三角形的三边长分别为2，，. ∵＝＝＝， ∴图②中的三角形与△ABC相似. 　　方法总结：（1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似. 如图所示，零件的外径为a，要求它的厚度x，需求出内孔的直径AB，但不能直接量出AB，现用一个交叉长钳（AC和BD相等）去量，若OA：OC＝OB：OD＝n，且量得CD＝b，求厚度x. 解析：欲求厚度x，而x＝，根据题意较易推出△AOB∽△COD，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于AB的比例式，解之即可. 解：因为OA：OC＝OB：OD，∠AOB＝∠COD， 所以△AOB∽△COD， 故＝＝n，可得AB＝bn， 所以x＝. 　　方法总结：当条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理2，并注意利用图形的隐含条件，如公共角、对顶角. 如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q同时出发，经过多长时间后△PBQ与△ABC相似？ 解析：要证明△PBQ与△ABC相似，很显然∠B为公共角，因此可运用两边对应成比例且夹角相等来得到相似，可根据对应边成比例列方程求解，同时要注意分类讨论. 解：设经过t s后，△PBQ与△ABC相似. （1）当＝时， △PBQ∽△ABC. 此时＝，解得t＝4. 即经过4s后△PBQ与△ABC相似； （2）当＝时，△PBQ∽△CBA. 此时＝，解得t＝1.6. 即经过1.6s后△PBQ与△ABC相似. 综上可知，点P，Q同时出发，经过1.6s或4s后△PBQ与△ABC相似. 　　易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，△PBQ的形状也会发生变化，因此既要考虑△PBQ∽△ABC的情况，还要考虑△PBQ∽△CBA的情况. 三、板书设计 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似. 从学生已学的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析问题和解决问题的能力.感受两个三角形相似的判定定理2与全等三角形判定定理（SAS）、两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定定理（SSS）的区别与联系，体会事物间一般到特殊、特殊到一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生与他人交流、合作的意识和品质. 学科网（北京）股份有限公司 $