专题01 相似三角形中（双）A字型的三种模型（高效培优专项训练）数学北师大版九年级上册

可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题01相似三角形中（双)A字型的三种模型 题型归纳 目录 题型一：“A”字模型.。 题型二：反“A”字模型… .8 题型三：同向双“A”字模型15 题型专练 题型一：“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似. “A”字模型条件：如图，DEI‖BC;结论：△ADE~△ABC台ADAB=AEAC=DEBC 1.(24-25九年级上河南开封期末)如图，点D在ABC的AB边上，DE∥BC交AC于点E.若 AD=2.5,AE=2,EC=4,则BD=() B A.3 B.4 C.5 D.6 2.(25-26九年级上·北京·课后作业)如图有一块四边形草地ABCD,AD∥BC,其中AB=4,BC=5,由 于连续降雨使AD与BC之间积满污水，现在BA、CD的延长线的交点P处测得PA=3,则AD的长度为() p A A.2 B. 4 7 D. 29 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4,2425九年级上四巴中期中)如图，BC中，点D、E分别在B、AC上，且积，怨下 DB 列结论正确的是() 4 B A.DE:BC=1:2 B.ADE与ABC的面积比为1：9 C.ADE与ABC的周长比为1：2 D.连接CD,则ADE与△DEC的面积比为1：3 4.(2025浙江杭州.二模)如图，在ABC,点D,E分别在AB,BC边上，DE∥AC,且CE=3BE,则 DE 的值为」 AC E 5.(24-25八年级下·黑龙江大庆期末)如图，点D、E分别在ABC的边AB、AC上，且DE∥BC. D B (1)求证：△ADE∽△ABC; (2)己知，AD:BD=2:3,AE=3,求AC的长. 6.(24-25八年级下山东淄博·期末)如图，在ABC中，∠A=90°，正方形DEFG的四个顶点都在ABC的 边上. G D E C (I)求证：△BDG∽△FEC; 2/9 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若正方形DEFG的边长是6cm,CE=3cm,求BC的长. 7.(24-25九年级上广西梧州期末)如图，在ABC中，AB=8,AC=6,BC=9,如果动点D以每秒2 个单位长度的速度，从点B出发沿边BA向点A运动，此时直线DE∥BC,交AC于点E,记x秒时DE的 长度为y. D ()求出y关于x的函数解析式，并求出x的取值范围： (2)若(1)的图像与x轴交于点M,与y轴交于点N,求△MN0的面积. 8.(24-25八年级下.山东青岛·期末)在ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=2,依次作正方形CCB,D, 正方形CCBD2,正方形CC,BD,,正方形CC B.D..顶点C,C2,C,,C,在AC边上，顶点 B,B,B,,Bn在AB边上. Cn,C D C D D: A Bn Bn-1 B3 B2 B B 1)求CB的长及9B的值： CB (2)直接写出C,B2的长及 C2B. C&的值， B)想CB的值，并直接写出CB,的长（用含m的代数式表示）. CB 题型二：反“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似. 反“A”字模型条件：如图2，∠AED=∠B;结论：△ADE-△ACB→ADAC=AEAB=DEBC 3/9 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(2025贵州道义二模)知图，已知△4BC△ABD且4B=2.若SAE=1,则Sc值为() AE E A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2025·云南玉溪二模)如图，在Rt△ABC中，LC=90°，E是AB上一点，DE⊥AB交AC于点D,若 4C=4,AE=2,则E+DE+D=() AC+BC+AB A D A.2 B.月 C.② D.6 2 2 3.(24-25九年级上·湖南期末)如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm,AC=12cm,动点D从A点出发 到B点止，动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为lcm/秒，点E运动的速度为2cm/秒.如果两 点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是() E B A.3秒或4.8秒 B.3秒 C.4.5秒 D.4.5秒或4.8秒 4.(24-25八年级下·山东济南·期末)如图，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE=∠C,如 果AE=2,ADE的面积为9，四边形BDEC的面积为16，则AB的值为一· E B 5.(2025辽宁抚顺三模)如图，D,E分别是ABC的边AB,AC上的点，且∠AED=∠B.如果AB=6, AE=3,EC=1,那么AD的长等于 4/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 6.(2025江西模拟预测)如图，在ABC中，AB=6,AC=8,BC=12,D是BC边上一点，CD=4, 过点D的直线I将ABC分成两部分，使所分成的三角形与ABC相似.若直线1与ABC另一边的交点为 点P,则DP的长为 B< C 7.(24-25九年级上全国随堂练习)如图，点D,E分别为AB,AC边上两点，且AD=4,BD=2, AE=2,CE=10.求证：DE·AC=AD·BC. A E D C 8.(25-26九年级上·宁夏银川期中)如图，在△ABC中，AB=8Cm,BC=16cm，点P从点A出发沿AB 边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出 发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？ 9.(24-25九年级上·贵州六盘水·期末)如图，点D,E分别是ABC的边AC,AB上的点， ∠B+∠CDE=180°. E D (1)求证：△ADE∽△ABC; 2若BC=6,4D=?AB,求DE的长. 3 题型三：同向双“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似. 5/9 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同向双“A”字模型 条件：如图，EFBC,结论：△AEF-△4BC,△4EG-△4BD,△4G-△4 DCe EG_FC_4G BD CD AD 1.(2025浙江·模拟预测)如图，在ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上，连接DE,EF, 已知四边形BDEF是平行四边形， 长-，若DE的面积为3，则平行四边形BDEF的面积为 D A.9 B.12 C.15 D.18 2.(25-26九年级上·全国课后作业)如图，在ABC中，点D在AB上，点E,F在BC上，DE∥AC, DF∥AEBD=号.若BF=9cm，则EC的长为() F E A.6cm B.9cm C.10cm D.15cm 3.(2025·四川眉山一模)如图，在ABC中，作DEBC分别交AB、AC于点D、E,作DF∥AC交 BC于点F,AD:DB=2:5,BF=10,则边DE的长为 B C 4.(24-25九年级上·四川资阳期中)如图，在ABC中，G是ABC的重心，DE过点G且DE∥BC, BC=20,则GE= 6/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B H 5.(2025·江苏淮安模拟预测)如图，已知ABC，,AB=AC=7,BC=4,点D在BC上，且BD=1,E、 H分别是AB,AC上的点，EH交AD于点R,∠AFE=∠B,则EF= FH B D C 6.(24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习)如图，己知ABC中，D、E分别在边AB、AC上，LADE=LC, AN平分∠BAC,交DE于M,若S四边形BCED=4 SA ADE,则AM:AN=_ E D M B 7.(24-25九年级上广东梅州期末)如图，在ABC中，点D,E,G分别在边AB,AC,BC上， ∠AED=∠B,线段AG,DE相交于点F,且AD:AC=DF:CG,求证：AG平分∠BAC. E G 8.(24-25九年级下·贵州贵阳阶段练习)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M为AB的中点，点F是线段 CM上一动点，过点F作DE⊥CM分别交边CA,CB于点D,E. M (I)如图，求证△CDE一△CBA; 7/9 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图，若DE=CM,求证：BC=2DC. 9.(24-25九年级上·河北唐山·阶段练习)如图，点D是ABC边BC上一点，连接AD,过AD上点E作 FD.交B于点R交4C于点过点F作G14C交8C于点，已知铝号8G=6。 B D (1)填空： AF =-(填数值). BE (2)求CG的长； (3)若CD=3,在上述条件和结论下，求EF的长. 10.(24-25九年级上·全国期末)如图，在锐角ABC中，D,E两点分别在边AB,AC上，AM⊥BC于点M ,AN⊥DE于点N,∠BAM=∠EAN. B (I)求证：△AED∽△ABC; (2若DE=4,BC=6,求E M 的值， 11.(24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习)问题提出： 如图1，在等边ABC中，点D,E,F分别为三边上的动点，连接AD,EF交于点P,∠APE=60°.记 BD CD-m,PF E=n,探究m，,之间的等量关系。 问题探究： (1)先将问题特殊化，如图2，当F点与顶点C重合，m=1时，直接写出的值为 (2)再探究一般情况，在图1中完成探究得出m,n之间的等量关系. 问题拓展： (3)如图3，连接BP,若PB平分∠DPE,请直接写出的值一，（用含m、的式子表示） 8/9 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 99 专题01 相似三角形中（双）A字型的三种模型 目录 题型一：“A”字模型 1 题型二：反“A”字模型 8 题型三：同向双“A”字模型 15 题型一：“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 　 “A”字模型 条件：如图，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. 1．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，点D在的边上，交于点E．若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据得代入解答即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图有一块四边形草地，，其中，，由于连续降雨使与之间积满污水，现在的延长线的交点处测得，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的判定与性质求解即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：． 4．（24-25九年级上·四川巴中·期中）如图，中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（   ） A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．连接，则与的面积比为 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据题意得到，证明，通过相似三角形的性质判定A、B、C，再利用，即可判定D． 【详解】解：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选项A错误； 与的面积比为，周长比为， 故选项B正确，选项C错误； 连接， ∵， ∴与的面积比为， 故选：B． 4．（2025·浙江杭州·二模）如图，在，点D，E分别在边上，，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，点D、E分别在的边、上，且． (1)求证：； (2)已知，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似，证明； （2）根据相似三角形的性质，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 6．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，正方形的四个顶点都在的边上．    (1)求证：； (2)若正方形的边长是，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，正方形的性质是解题的关键． （1）先由正方形得到，再由互余关系证明，即可证明相似； （2）由求出，再由线段和差计算即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ∴ ∵ ， ， （2）解：， ， ，， ， 解得， （）． 7．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，如果动点D以每秒2个单位长度的速度，从点B出发沿边向点A运动，此时直线，交于点E，记x秒时的长度为y． (1)求出y关于x的函数解析式，并求出x的取值范围； (2)若（1）的图像与x轴交于点M，与y轴交于点N，求的面积． 【答案】(1)， (2)18 【分析】本题主要考查了一次函数和三角形的综合，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）根据题意求出x的取值范围，再利用平行线的性质求出相等的角，证明，利用相似三角形的性质得出对应边成比例，列出解析式即可； （2）根据一次函数的图象和性质，分别求出交点坐标，然后求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 整理得，； （2）解：当时，， ∴； 当时，， 解得， ∴； ∴的面积为． 8．（24-25八年级下·山东青岛·期末）在中，，，，依次作正方形，正方形，正方形，…，正方形．顶点，，，…，在边上，顶点，，，…，在边上． (1)求的长及的值； (2)直接写出的长及的值； (3)猜想的值，并直接写出的长（用含n的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）先证明，设正方形边长为x，求出，即可求出； （2）同（1）方法证明即可； （3）找出规律作答即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设正方形边长为x，则 即 解得：， ∴， ∴； （2）解：同（1）可知， 设正方形边长为y，则， 即， 解得， ∴ ∴； （3）解：， …… 题型二：反“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. 1．（2025·贵州遵义·二模）如图，已知且．若，则值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025·云南玉溪·二模）如图，在中，，是上一点，交于点，若，则（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，证明得到，即，据此代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级上·湖南·期末）如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（    ） A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题． 根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒． 【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒， ①若，则， ∴， 解得：； ②若，则， ∴， 解得：． ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒． 故选：A 4．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在中，点D、E分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方．由，，根据相似三角形的判定得到，根据相似的性质得，然后把三角形面积代入计算即可． 【详解】解：∵， 而， ∴， ∴， ∵的面积为9，四边形的面积为16， ∴的面积， ∴，而， ∴． 故答案为． 5．（2025·辽宁抚顺·三模）如图，D，E分别是的边，上的点，且．如果，，，那么的长等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．先证明，然后利用相似比计算的长． 【详解】解：．， ， ，即， ． 故答案为2． 6．（2025·江西·模拟预测）如图，在中，，，，是边上一点，，过点的直线将分成两部分，使所分成的三角形与相似．若直线与另一边的交点为点，则的长为 ． 【答案】2或或3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．分三种情况讨论，即，，．由相似三角形的性质分别求解． 【详解】解：如图1，若，则． ． ． ． 如图2，若，则． ． ． 如图3，若，且， 则． ． ． ． 故答案为：2或或3 7．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，点D，E分别为，边上两点，且，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知可得出，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 【答案】秒和2秒 【分析】本题考查相似三角形的性质以及根据运动情况列方程求解时间，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键． 先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可． 【详解】解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动． 可得，． 因为，所以． 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得． 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 9．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，点分别是的边上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由补角性质可得，进而即可求证； （）由得，进而根据相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∴． 题型三：同向双“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 同向双“A”字模型 条件：如图，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，，已知四边形是平行四边形，．若的面积为3，则平行四边形的面积为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．利用平行四边形的性质先说明、，再利用相似三角形的性质求出、、的面积，最后利用面积的和差关系得结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 同理可得， ， ， ， ，． ， ，， ， ． 故选：B． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点在上，点在上，，．若，则的长为（   ） A．6cm B．9cm C．10cm D．15cm 【答案】C 【分析】利用得到，求出cm，cm，根据得到,由此求出cm. 本题考查了平行线分线段成比例，掌握其性质是解题的关键. 【详解】解：∵, ∴, ∵cm， ∴cm，cm， ∵ ∴, ∴cm. 故选：C. 3．（2025·四川眉山·一模）如图，在中，作分别交、于点D、E，作交于点F，，，则边的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的性质，平行线段成比例，平行四边形的判定及性质，解题的关键是证明出四边形为平行四边形，得出，再利用相似及条件建立等式，通过等量代换进行求解即可． 【详解】解：在中，，， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：4． 4．（24-25九年级上·四川资阳·期中）如图，在中，G是的重心，过点G且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质．利用三角形的重心性质得到，，得出，再证明，，得出，再求出，即可得出答案． 【详解】解：∵G是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，已知，，，点D在BC上，且，E、H分别是，上的点，交于点F，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，正确地添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键． 在上取一点K，使，连接，则，证明和相似得，则，设，证明和相似得，再证明得和相似，利用相似三角形的性质得，由此即可得出的值． 【详解】解：在上取一点K，使，连接，如图所示： ， 在，，， ， ， ， ， 在和中， ，， ∽， ， ， ， 设， 在和中， ，， ∽， ， ， ，，， ， ， ， 又， ∽， ， ， ， ， 故答案为： 6．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，已知中，D、E分别在边AB、AC上，，平分，交于M，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 由结合可证明得到，由于平分可得证得，再根据相似三角形的性质列比例式即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，在中，点D，E，G分别在边上，，线段，相交于点F，且，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，角平分线的判定等知识．先利用两角分别对应相等即可证明，得出，再根据两边对应成比例及夹角相等证明，再由其性质和角平分线的定义得平分． 【详解】证明：∵，， ∴， ， ∵ ， ， 平分． 8．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）在中，，点为的中点，点是线段上一动点，过点作分别交边于点． (1)如图，求证∽； (2)如图，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． （1）根据题意可得，由直角三角形斜边中线的性质得出，则，推出，即可求证； （2）由（1）可知，，，根据，得出，结合相似三角形的性质，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∴， 即． 9．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点D是边上一点，连接，过上点E作，交于点F，交于点H，过点F作交于点G，已知，． (1)填空：= （填数值）． (2)求的长； (3)若，在上述条件和结论下，求的长． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质． （1）由，推出； （2）由，推出，可得结论； （3）由，得到，推出，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在锐角中，D，E两点分别在边上，于点M，于点N，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形判定定理，熟悉掌握定理是关键． （1）根据相似三角形的判定定理即可求解； （2）由得，进而证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）∵， ． ∵， ∴． ． 11．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）问题提出： 如图1，在等边中，点，，分别为三边上的动点，连接，交于点，．记，，探究，之间的等量关系． 问题探究： （1）先将问题特殊化，如图2，当点与顶点重合，时，直接写出的值为______； （2）再探究一般情况，在图1中完成探究得出，之间的等量关系． 问题拓展： （3）如图3，连接，若平分，请直接写出的值______．（用含、的式子表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）当时，则，可证得，则，即可求得答案； （2）过点D作交于点G，设，，则，再证得，，即可求得答案； （3）过点D作交于点G，先证得，，则． 【详解】解：（1）如图，当时，则， ∵为等边三角形， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：； （2）如图，过点D作交于点G， ∵， 设，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （3）如图3，过点D作交于点G， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $