专题02 相似三角形中（双）8字型的四种模型（高效培优专项训练）数学北师大版九年级上册

而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题02相似三角形中（双)8字型的四种模型 题型归纳 目录 题型一：“8”字模型… .1 题型二：反“8”字模型 .9 题型三：平行双“8”字模型 12 题型四：“A”字模型与“8”字模型综合 .l6 题型专练 题型一：“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这 两个三角形相似， “8”字模型 条件：如图1，ABI‖CD;结论：△AOB-△COD=ABCD=OAOC=OBOD 1.(2025四川内江·中考真题)阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠 杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见，如图甲， 这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂0A=150cm, 阻力臂0B=50cm,BD=20cm,则AC的长度是() 多 乙 4.80cm B.60cm C.50cm D.40cm 2,(2025费州节模图，4B与CD相交于点0，且4AC∥8D,若81OC十C》则的馆 SAOBD 为() 1/8 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B. c D.1 8 3.(2025辽宁大连二模)如图，小明用两根木棍AD,BC制成一个测量工具，测量化学实验器材锥形瓶 径AB的长.若AD与BC交于点0，=O8=)CD=6cm,则B的长是 D 4.3cm B.12cm C.18cm D.24cm 4.(2025江苏徐州·二模)如图，平行四边形ABCD中，AB:BC=3:2,∠BAD和∠ABC的平分线交CD于 E、F两点，AE、BF交于点G,则G到DC与G到AB的距离比是 D F E 5.(24-25九年级上·安徽马鞍山期中)如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A,B,P,Q四点均 在正方形网格的格点上，线段AB,PO相交于点M,则图中4M MB 的值是一 B 6.(24-25九年级上·江苏常州·阶段练习)如图，点E是平行四边形ABCD的边CB延长线上一点，AB与 DE相交于点F. 2/8 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 EC DA (1)求证： (2)若BE=2,BC=3,CD=4,求BF的长. 7.(2025·云南昆明模拟预测)如图，平行四边形ABCD的周长为28，∠ABC的平分线交边AD于点E, 交对角线AC于点G,点F在BC上，BF=EF,过点G作GH⊥BC于点H,GH=3. E D G B HF (I)求证：四边形ABFE是菱形； (2)若AB:BC=3:5,求四边形ABFE的面积. 8.(24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习)【问题情境】 在矩形ABCD中，AB=m,点E是AD的中点，连接CE,点F是射线AB上一动点，连接DF,交CE于点 P. D D B F 图1 图2 【探究证明】 (1)如图1，点F在边AB上，连接PB,过点D作DQ∥BP交CE于点Q. ①求证：△DEOABCP; ②求证：PB=2DQ; 【灵活应用】 (2)如图2，延长CE交BA的延长线于点G,点F在AB的延长线上，DF交BC于点H,若△CDH与 △BFH对应中线的比是3：4， DP的值： PE 题型二：反“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这 3/8 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 两个三角形相似. D 反“8”字模型条件：如图2，∠A=∠D;结论：△AOB~△DOC台ABCD=OAOD=OBOC 1.(2025浙江嘉兴二模)如图，线段AD,BC交于点E,连接AB,CD.若∠A=∠C,AE=2,BE=3 ,DE=5,则CE的长为() D 6 A. 5 5-2 B. c. D, 2 2.(24-25八年级下·山东泰安·期中)如图，线段AD、BC相交于点O,∠A=∠C,若AD=5,0D=2, C0:0B=1:4,那么BC的长为 A B D 3.如图，BD、AC相交于点P,连接BC、AD,且∠1=∠2，AD=3,DP=2,CP=1,求BC的长 D B A 4.(24-25九年级下·安徽合肥·开学考试)如图，点D,C分别在AB,AE上，BC交DE于点F, LADE =ZACB,BD =8,CE=4,CF =2. 4/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求证：△BDF∽△ECF; (2)求DF的长. 题型三：平行双“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这 两个三角形相似. 平行双“8”字模型 条件：如图3，ABCD:结论：AE=BE-AB DF CF CD 1.(2025江苏南京·三模)如图，AB∥CD,AD与BC相交于点O,过点O的直线与AB,CD分别相交于 点E,F,若AB=2,CD=4,则下列关系正确的是() B. A0 1 c. AD 1 CF-2 D. C02 BC 2 2.(2025·上海杨浦模拟预测)如图，若AE平行于BF,D为EF中点，DF=3GD,则 AG:BG= 3.(24-25九年级上·陕西榆林期中)如图，ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC,连接PC、QB, 5/8 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 分别交AB、AC于M、N,连接MN,求证：NM∥BC. 0 M N 4.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是BA延长线上一点，连结DE,BD,CE,CE分别与AD, BD交于点F,G. D E (1)若BE=3CD,BC=12,求AF的长. (2)求证：GC2=GF.GE. 题型四：“A”字模型与“8”字模型综合 知识点总结 1.模型构成与判定：A字模型指有公共角且一组对边平行的两个三角形（如△ABC中，DE∥BC,形成△ADE 与△ABC);8字模型指两组对边分别平行的相交线构成的两个三角形（如AB∥CD,AD与BC相交于点O, 形成△AOB与△COD),均通过“两角对应相等”判定相似。 2.比例线段关系：相似三角形对应边成比例，A字模型中AD/AB=AE/ACDE/BC,8字模型中 AO/OD=BO/OC=AB/CD,可用于线段长度计算或比例转化。 解题技巧 1.识别模型特征：抓住“平行线”或“公共角”关键标志，快速定位A字（含公共角+平行线）或8字（对 边平行+交点)模型，明确相似三角形对应关系。 2.利用比例列方程：结合已知线段长度，根据相似比列出等式，通过方程求解未知线段，尤其注意多组比 例式的灵活转换（如交叉相乘）。 1.(2025·辽宁抚顺模拟预测)如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径 作题，分别交BA,BC于点近，M②分别以点山，N为园心，大于N的长为半径作，两弧在∠A8C内 交于点O;③作射线BO,交AD于点E,交CD的延长线于点F;④连接AC交BF于点G.若CD=3, DE=2,则下列结论错误的是() 6/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D M G B A.∠FED=∠EFD B.BF=5√2 c. BG 15 D.△BCG∽△CFG EF 16 2.(2025陕西榆林·三模)如图，在口ABCD中，点E在边AD上，连接BE,交对角线AC于点F,过点F 作FGAD,交B于点G.若方有 E=名，FG=2,则DE的长为() A B E D 4昌 B.2 C.4 D.5 3.(24-25九年级下·辽宁抚顺阶段练习)如图，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC,AD:DB=1:2, △DEF的周长为3，则△BFC的周长为 B 4.(2025浙江绍兴一模)如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC延长线上，连接AE交BD于点F ,交CD于点G,若BF=2DF,则GF的值是 GE B C E 5.（2025江西·二模)如图，在平行四边形ABCD中，E是BA延长线上的一点，且AB=2AE,CE与 AD,BD分别交于点G,F. 7/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E G B (I)求证：△CDFn△EBF; ②求的值. 6.(24-25九年级下·安徽安庆期中)【初步探究】如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别是AD,CD的中 点，连接AC,EF,求E 的值， 【深入研究】如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，点F是CD的中点，点E在边BC上， D2'EF与AC交于点G,求证：EG=CG, BE 【拓展延伸】如图3，在【深入研究】的条件下，连接DG,且AD=AB,DG=EG,求证：EG=√5FG. D D E 图1 图2 图3 8/8 专题02 相似三角形中（双）8字型的四种模型 目录 题型一：“8”字模型 1 题型二：反“8”字模型 9 题型三：平行双“8”字模型 12 题型四：“A”字模型与“8”字模型综合 16 题型一：“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． “8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. 1．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 2．（2025·贵州毕节·三模）如图，与相交于点O，且．若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，求出相似比，即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设与的相似比为，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2025·辽宁大连·二模）如图，小明用两根木棍，制成一个测量工具，测量化学实验器材锥形瓶内径的长．若与交于点，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，证明两个三角形相似，即可求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025·江苏徐州·二模）如图，平行四边形中，，和的平分线交于、两点，、交于点，则到与到的距离比是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设，则，根据平行四边形的性质可得，，，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：， 设，则， 在平行四边形中，，，， ， 的角平分线交于， ， ， ， 同理可得：， ， ， △△， ， 到与到的距离比是 故答案为：． 5．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，，，，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则图中的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理逆定理及相似三角形的判定和性质． 连接，利用勾股定理逆定理证，结合证明，可得． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：3． 6．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，点是平行四边形的边延长线上一点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到边和边的平行关系，进而推出相似三角形，再利用相似三角形的性质得到对应边成比例，从而完成证明． （2）先求出的长度，再结合平行四边形的性质得到的长度，接着依据（）中得到的比例关系列出等式，求解得出的长度，最后用减去得到的长度． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴，，， ∴， ∴ ∴ （2）解：∵， ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ 由（1）知 ∴ ∴ ∴ 7．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，平行四边形的周长为，的平分线交边于点，交对角线于点，点在上，，过点作于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据平行四边形的性质得出，证明，可得四边形ABFE是平行四边形，根据进而根据菱形的判定得出即可； （2）延长交于点，根据已知求得，进而证明，根据相似三角形的高之比等于相似比，进而得出，再根据菱形的性质求得面积，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，即， 平分， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵四边形是菱形； ∴， ∵平行四边形的周长为， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的面积为 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题情境】 在矩形中，，点E是的中点，连接，点是射线上一动点，连接，交于点． 【探究证明】 （1）如图1，点在边上，连接，过点作交于点． ①求证：； ②求证：； 【灵活应用】 （2）如图2，延长交的延长线于点，点在的延长线上，交于点，若与对应中线的比是，求的值． 【答案】（1）①证明见解析，②证明见解析；（2） 【分析】（1）①根据矩形的性质及平行线的性质推出，，由相似三角形的判定即可得证； ②根据相似三角形的性质得，由中点定义得，推出，即可得证； （2）根据矩形的性质得，，由平行线分线段成比例定理得，继而推出，证明，由相似三角形的性质得，求出，，最后根据平行线分线段成比例定理可得答案． 【详解】（1）证明：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由①得：，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵与对应中线的比是， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 题型二：反“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. 1．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，线段，交于点，连接，．若，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，对顶角相等，由，，则，所以，然后代入求值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级下·山东泰安·期中）如图，线段、相交于点，，若，，，那么的长为 ． 【答案】 【分析】由，求得，由，，证明∽，得，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 【详解】解：线段、相交于点，：：， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， 解得或不符合题意，舍去， 故答案为：． 3.如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．先证明，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 的长为． 4．（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）如图，点D，C分别在上，交于点F，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算． （1）根据等角的补角相等，由得到，加上对顶角相等得到，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）由于，则利用相似三角形的性质得到，从而根据比例的性质可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三：平行双“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 1．（2025·江苏南京·三模）如图，，与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，，若，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性质是解本题的关键． 由得到，，，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴． 故选：C． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，若平行于，为中点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设，根据为中点，，得到，，然后根据，得到，进而得到，即可得到答案． 【详解】解：设， 为中点，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，的顶点A是线段的中点，，连接、，分别交、于M、N，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据，可知，，从而有，，结合，推出，，结合，推出，根据相似三角形对应角相等，可知，从而得证． 【详解】证明：点A是线段的中点， ， ∵， ，， ∴，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 4.如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解． （1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长； （2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， ， ． 题型四：“A”字模型与“8”字模型综合 知识点总结 1.模型构成与判定：A字模型指有公共角且一组对边平行的两个三角形（如△ABC中，DE∥BC，形成△ADE与△ABC）；8字模型指两组对边分别平行的相交线构成的两个三角形（如AB∥CD，AD与BC相交于点O，形成△AOB与△COD），均通过“两角对应相等”判定相似。 2.比例线段关系：相似三角形对应边成比例，A字模型中AD/AB=AE/AC=DE/BC，8字模型中AO/OD=BO/OC=AB/CD，可用于线段长度计算或比例转化。 解题技巧 1.识别模型特征：抓住“平行线”或“公共角”关键标志，快速定位A字（含公共角+平行线）或8字（对边平行+交点）模型，明确相似三角形对应关系。 2.利用比例列方程：结合已知线段长度，根据相似比列出等式，通过方程求解未知线段，尤其注意多组比例式的灵活转换（如交叉相乘）。 1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交的延长线于点F；④连接交于点G．若，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、矩形的性质、等腰三角形的判定以及相似三角形的性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线的性质及各角之间的等量代换即可判断A；再由等腰三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质即可判断其他三个选项，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，选项C正确，不符合题意； 无法证明，选项D错误，符合题意； 故选：D． 2．（2025·陕西榆林·三模）如图，在中，点在边上，连接，交对角线于点，过点作，交于点．若，则的长为（　　） A． B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．利用等高的两个三角形的面积比等于底的比求得，证明，求得，再利用平行四边形的性质证明，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，点在上，点在上，，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 由得到，可证明，得到，继而得到的周长，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 的周长的周长， 的周长为， 的周长， 故答案为：． 4．（2025·浙江绍兴·一模）如图，四边形是平行四边形，点在延长线上，连接交于点，交于点，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键．由平行四边形的性质可得，易得，进而得到；再证明、可得、，即，，最后代入计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 5．（2025·江西·二模）如图，在平行四边形中，是延长线上的一点，且与分别交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）通过四边形是平行四边形，推出，得到，，从而得证； （2）由（1）可知，，推出，根据，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）【初步探究】如图1，在矩形中，点E，F分别是的中点，连接，求的值； 【深入研究】如图2，在四边形中，，，点F是的中点，点E在边上，，与交于点G，求证：； 【拓展延伸】如图3，在【深入研究】的条件下，连接，且，求证：． 【答案】【初步探究】；【深入研究】见解析；【拓展延伸】见解析 【分析】（1）由三角形中位线的性质可得，再证明，由相似三角形的性质可得结论； （2）过点F作，交于点H，连接，由三角形中位线的性质可得．从而求得，再证明四边形是平行四边形，可得．再由，点H是的中点，可得，求得，最后由等腰三角形的判定可得．即可得证； （3）过点E作于点I，连接，过点F作，设，则．由勾股定理求得．再证明垂直平分，可得．再证明，可得，从则可得结果． 【详解】[初步探究] 解：∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴． [深入研究] 证明：如图1，过点F作，交于点H，连接， ∵， ∴． ∵点F是的中点， ∴H是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵，点H是的中点， ∴， ∴ ∴， ∴． [拓展延伸] 证明：如图2，过点E作于点I，连接，过点F作， 可得四边形是矩形，． 由[深入研究]知，， 设， ∴． 在中，． ∵， ∴． ∵点F是的中点， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及直角三角形斜边中线等于斜边的一半以及中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识和添加辅助线是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $