3.1 列代数式表示数量关系 教学设计 2025--2026学年人教版七年级数学上册

初中数学人教版（2024）七年级上册 3.1 列代数式表示数量关系 课标分析 《义务教育数学课程标准(2022年版)》在"数与代数"领域明确要求初中阶段要"理解用字母表示数的意义，掌握代数式的概念及其简单应用"。本教材内容通过机器人工作量、工程队施工等实际问题，引导学生从具体数字运算过渡到用、等代数式表达一般规律，体现了课标"发展符号意识"的要求。在正反比例关系部分，通过的模型建立，落实了课标"探索简单变化规律"的目标要求，并注重数学与生活实际的联系，如造雪工程案例，培养学生运用代数思维分析现实问题的能力，符合课标强调的"模型意识"培养要求。 教材分析 本节课“代数式”是在学生已经掌握基本数量关系和简单运算的基础上展开的，通过具体问题引入用字母表示数的必要性，并逐步过渡到代数式的概念和应用，教材通过机器人工作量、工程问题、正方形周长与面积等实例，引导学生理解代数式的构成方式及其在不同情境下的意义，进一步拓展到正比例与反比例关系的讨论，为后续函数学习奠定基础。教学过程可从实际问题出发，引导学生抽象出代数式，并通过举例、归纳、对比等方式帮助学生掌握列代数式的方法。本节内容与前面对数量关系的理解紧密联系，也为后续学习方程、不等式、函数等知识提供了表达工具。本节课有助于提升学生抽象思维能力和数学建模意识，使学生能够用代数式准确表达现实问题中的数量关系，为后续代数内容的学习打下坚实基础。 学情分析 七年级学生已经学习了用字母表示数、简单的列式表示数量关系以及基本的运算符号，具备初步的代数思维基础，为学习《代数式》奠定了知识基础。同时，这个年龄段的学生正处于由具体思维向抽象思维过渡的阶段，能够接受并理解用字母代替数的思想，但在将实际问题转化为代数表达式的过程中，仍可能存在语言理解和符号表达上的困难。本节课要求学生能够识别并列出简单的代数式，理解代数式的意义及其在不同情境下的应用，通过观察、归纳和类比，提升抽象概括能力和数学表达能力，帮助学生建立代数思维，为后续学习整式、方程及函数等重要内容打下坚实基础。 教学目标 1. 理解代数式的概念，能识别和列出简单问题中的代数式，通过用字母表示数，提升数学抽象和符号意识，发展从具体问题中抽象出一般规律的能力。 2. 掌握列代数式的基本方法，能用代数式表示常见的数量关系，增强数学建模意识，提高分析和解决实际问题的能力。 3. 理解正比例和反比例关系的意义，能识别生活中的正、反比例现象，通过探索变量之间的关系，培养逻辑思维和数据分析能力，发展函数思想。 重点难点 重点：理解代数式概念，能列代数式表示数量关系；掌握正比例、反比例关系概念。 难点：准确列出代数式；理解正、反比例关系中量的变化及应用。 课前任务 1.知识回顾： 上节课学习了有理数的运算。请回顾有理数的加、减、乘、除运算法则，并举出几个有理数运算的例子，检查自己对运算的掌握情况。 2.预习教材： 阅读教材中代数式相关内容，了解代数式的定义。注意，等式子的形成过程，把代数式的概念及单独数或字母也是代数式的内容记录在预习笔记，对不明白处做好标记。 3.问题思考： 生活中，路程、速度、时间存在一定关系。若速度为，时间为，怎样用代数式表示路程？你还能想到哪些类似可用代数式表示关系的生活例子？ 课堂导入 同学们，我们先来看这样一个场景：小明去文具店买笔记本，每个笔记本单价是3元。如果他买2本，一共花费元；买5本，花费元。那要是他买本，需要花费多少钱呢？很显然是元。这里用字母代替具体的本数，就表示出了任意本数对应的花费。再比如，一个长方形操场，长是米，宽是米，那它的周长和面积怎么表示呢？周长就是米，面积就是平方米。像、、这样用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，就是我们今天要学习的代数式。 代数式 探究新知 （一）知识精讲 让我们从实际问题出发，认识代数式的概念。观察机器人识别苹果的工作场景，我们发现其中涉及三个重要量：工作量、工作效率和工作时间，它们之间的关系可以表示为： 对于具体问题： 1. 当工作时间t=10秒时，工作量为平方米 2. 当工作时间t=60秒时，工作量为平方米 3. 对于任意时间t秒，工作量可以表示为平方米 这里就是一个典型的代数式。同样地，在计算识别n平方米范围所需时间时，我们得到代数式；在计算机器人多采摘苹果个数时，得到代数式。 再看两个例子： 1. 铺设管道问题中，平均每天铺设长度为千米 2. 正方形问题中，周长，面积 这些例子中的、、、、、等，都是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称之为代数式。特别地，单独的一个数或字母也是代数式，比如5、t等。 （二）师生互动 教师提问：同学们，观察代数式和，它们都可以表示不同的实际意义。比如除了可以表示正方形的周长，还可以表示什么实际问题呢？ 学生思考后回答：可以表示4个a相加的和，比如4个单价为a元的商品总价。 教师追问：很好！那么除了表示正方形的面积，还能表示什么实际情境呢？ 学生回答：可以表示边长为a的正方体的一个面的面积，或者表示a×a的乘法运算结果。 教师引导：非常正确！这说明同一个代数式可以表示不同的实际意义。那么请大家思考：为什么我们要用字母表示数呢？直接用具体的数字计算不是更简单吗？ （三）设计意图 通过实际工作场景和几何图形引入代数式的概念，帮助学生建立从具体到抽象的思维过程。借助图片展示使抽象概念形象化，培养学生的数形结合思想。通过师生互动引导学生发现代数式的普遍性和一般性，理解用字母表示数的优越性，体会数学表达的简洁性和概括性。在讨论中培养学生的数学语言表达能力，为后续学习方程和函数奠定基础。 新知应用 例1： (1) 苹果原价是元/kg，现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的售价； (2) 一个长方形的长是0.9 m，宽是 m，用代数式表示这个长方形的面积； (3) 某产品前年的产量是件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，用代数式表示去年的产量； (4) 一个长方体水池底面的长和宽都是 m，高是 m，池内水的体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积。 解答： (1) 原价是元/kg，打九折就是原价的90%，也就是乘以0.9，所以售价为： (2) 长方形的面积 = 长 × 宽，已知长是0.9 m，宽是 m，所以面积为： (3) 前年产量是件，去年的产量是前年的2倍减去10件，即： (4) 长方体水池的容积 = 长 × 宽 × 高，已知长和宽都是 m，高是 m，所以容积为： 水的体积是容积的三分之一，所以水的体积为： 总结： 1.题目考查内容 ① 用代数式表示实际问题中的数量关系； ② 运用基本公式（如面积、体积公式）建立代数模型； ③ 代数式的构造与理解。 2.题目求解要点 ① 理解题意，找出问题中的数量关系； ② 正确使用乘法、加减等运算符号构造代数式； ③ 注意单位的书写规范（如元/kg、m²、m³）； ④ 对于含有多个变量的问题，注意变量之间的逻辑关系。 例2：说出下列代数式的意义： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 解答： (1) ：先将乘以2，再加上3，意义是“的2倍与3的和”。 (2) ：先将与3相加，再将结果乘以2，意义是“与3的和的2倍”。 (3) ：表示除以和的乘积，意义是“除以、的积的商”。 (4) ：表示的平方加上的2倍，再加上8，意义是“的平方、的2倍、与8的和”。 总结： 1.题目考查内容 ① 代数式的语言表达与数学意义的理解； ② 运算顺序的理解与表达； ③ 数学语言与符号之间的转换能力。 2.题目求解要点 ① 注意代数式中括号的作用，括号内先运算； ② 明确运算顺序（先乘除后加减）； ③ 能用自然语言准确描述代数式的结构； ④ 理解代数式中各项的数学含义（如平方、倍数、和、商等）。 探究新知 （一）知识精讲 首先，我们来看如何用代数式表示数量关系。在实际问题中，常常需要将数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式。 例如，如何表示和两数的和与差的积？可以按照以下步骤进行： 1. 先写出和的和： 2. 再写出和的差： 3. 最后将和与差相乘： 通过这个例子可以看出，字母可以和数一样参与运算，从而用代数式简明地表示数量关系，使其更具一般性。 接下来，我们讨论反比例关系。在工程问题中，当工作量保持不变时，工作效率与工作时间之间存在一定的关系。例如，北京冬奥会某赛场计划造雪260 000 ，根据不同的每天造雪量，计算所需的造雪天数： 从表中可以发现，造雪天数随着每天造雪量的增加而减少，且它们的乘积始终为260 000。这种关系称为反比例关系，即两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且它们的乘积一定。如果用字母和表示这两个量，表示它们的乘积（为常数且），则反比例关系可以表示为： （二）师生互动 教师提问：同学们，刚才我们学习了反比例关系，那么在生活中还有哪些例子符合反比例关系呢？比如，在购买物品时，如果总价一定，购买数量与单价之间是什么关系？ 学生回答：如果总价一定，购买数量越多，单价就越低；反之，单价越高，购买数量就越少。因此，购买数量与单价成反比例关系。 教师追问：很好！那么，如果一辆汽车以固定的速度行驶，行驶时间与行驶路程之间是什么关系？ 学生思考后回答：行驶时间与行驶路程成正比例关系，因为速度一定时，路程越长，所需时间也越长。 （三）设计意图 通过具体实例引导学生理解代数式表示数量关系的方法，培养学生的抽象思维能力和数学表达能力。从实际问题出发，帮助学生掌握反比例关系的概念及其数学表示形式，增强学生对数学与实际生活联系的认识。通过师生互动，激发学生的思考能力，鼓励学生从生活中发现数学规律，培养其数学建模意识和解决问题的能力。 新知应用 例3： 用代数式表示： (1) 购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数。 (2) 把a元存入银行，存期3年，年利率为2.75%，到期时的利息是多少元？ (3) 某商品的进价为x元，先按进价的1.1倍标价，后又降价80元出售，现在的售价是多少元？ 解答： (1) 一个面包a元，2个面包就是元；一瓶饮料b元，3瓶饮料就是元。 所以总共需要的钱数是： (2) 利息的计算公式是： 题目中本金是元，年利率是2.75%，也就是0.0275，存期是3年。 代入公式得： 所以到期时的利息是元。 (3) 商品进价是x元，按进价的1.1倍标价，即标价为： 然后降价80元出售，所以现在的售价是： 总结： 1.题目考查内容 ① 用代数式表示实际问题中的数量关系； ② 利息的计算方法； ③ 商品标价与售价之间的代数表达。 2.题目求解要点 ① 理解题意，找出各量之间的关系； ② 正确使用代数式表达加法、乘法、百分数等运算； ③ 注意单位的统一与表达。 例4： 甲、乙两地之间公路全长240 km，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为v km/h。 (1) 汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？ (2) 如果汽车的行驶速度增加3 km/h，那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时？汽车加快速度后可以早到多少小时？ 解答： (1) 时间的计算公式是： 路程是240 km，速度是v km/h，所以所需时间为： (2) 如果速度增加3 km/h，即新的速度是 km/h，那么所需时间为： 早到的时间就是原来的时间减去现在的时间： 总结： 1.题目考查内容 ① 用代数式表示时间、速度、路程之间的关系； ② 分式运算在实际问题中的应用。 2.题目求解要点 ① 熟记时间=路程÷速度的公式； ② 正确列出分式代数式； ③ 注意单位的一致性。 板书设计 代数式 定义：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，单独数或字母也是 示例：，，，，，，5，t 作用：使表达从具体到一类，更具一般性 列代数式 步骤：明确数量关系，确定运算顺序，书写代数式 示例：两数和与差的积 正反比例关系 正比例 工程问题示例：工作量 = 工作效率×工作时间，效率不变时，工作量与时间成正比例 表达式：（一定） 反比例 造雪问题示例：造雪天数 = ，总量一定时，天数与每天造雪量成反比例 表达式：（一定，） 教学反思 本节课围绕代数式的概念展开，通过实际问题引导学生理解用字母表示数的意义，掌握列代数式的方法，并初步认识正比例与反比例关系。教学设计贴近学生认知水平，注重从具体到抽象的思维过渡，课堂目标基本达成。成功之处在于通过实例引导学生归纳代数式的本质，并联系生活理解变量之间的关系，增强了数学的应用意识。不足之处在于对反比例概念的引入略显仓促，部分学生理解不够深入。今后应加强变量关系的直观呈现，借助图表辅助理解，提升学生的抽象思维能力。 学科网（北京）股份有限公司 $