23.2.3关于原点对称的点的坐标（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版九年级上册数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 23.2.3关于原点对称的点的坐标（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系： 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P ′(-x，-y). 要点诠释： （1）P（x，y）关于原点O的对称点P’(-x，-y)。 第一象限内的点关于原点的对称点在第三象限， 第二象限内的点关于原点的对称点在第四象限， 坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上。 （2）关于坐标轴对称和关于原点对称的点的坐标的区别： 题型1关于原点对称的点的坐标 例1．一次函数图象经过，，且与直线：垂直，则B关于原点的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．平面直角坐标系中，与点关于原点中心对称的点是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-3】．已知抛物线，将抛物线P绕原点旋转得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为m，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、关于原点对称，正确求出抛物线的解析式是解题的关键．先求出抛物线的解析式为，再根据抛物线的对称轴的位置分三种情 题型2 由已知关于原点对称的坐标求参数 例2．已知点M与点N关于原点对称，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式2-1】．在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向上平移6个单位长度后，与轴交于点，若点与关于原点对称，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式2-2】．直线与直线（，为常数，）关于坐标原点对称，若在直线上，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2-3】．已知点和点关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 知识点2 关于原点对称的点的坐标的应用 在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形的一般步骤 1）确定关键点(通常为图形顶点等特殊点)的坐标； 2）写出关键点关于原点对称的点坐标； 3）在直角坐标系中标出对称点的坐标； 4）顺次连接对称点，所作的图形为所求图形. 要点诠释： 关键在于掌握坐标变换规则，并通过描点、连线完成图形绘制，确保对称性。 题型3 已知两点坐标确定对称方式 例3．在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 【变式3-1】．直线经过点和，则直线（    ） A．平行于轴 B．平行于轴 C．经过原点 D．无法确定 【变式3-2】．在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（      ）    A．   B．   C．   D．   【变式3-3】．在平面直角坐标系中，有A（2，-1）、B（-1，-2）、C（2，1）、D（-2，1）四点．其中，关于原点对称的两点为（    ） A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A 题型4 有关原点对称的作图 例4．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【变式4-1】．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，. (1)将以点C为中心旋转180°，画出旋转后对应的； (2)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)和是否关于某点对称？如是，还请写出这点坐标；如不是，只需作出判断即可． 【变式4-2】．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．画出关于原点O成中心对称的． 【变式4-3】．作出满足下列要求的图形 (1)如图①，画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1； (2)如图②，画出△ABC绕点O旋转180°后的△A1B1C1． 知识点3 图案设计 我们学习了的全等变换有平移、轴对称、旋转，生活中常用这三种图形变换进行图案设计，在上述变换过程中，形状、大小不变，位置发生了改变。 要点诠释： 轴对称设计要点 对称轴选择 ：确定水平、垂直或斜线对称轴，需清晰表达设计意图。 关键点处理 ：通过作对称点连线垂直平分线，确保对应线段相等、对应角相等。 图案构建 ：先设计半侧图案，沿对称轴镜像复制后完善细节，注意保持整体对称性。 中心对称设计要点 对称中心定位 ：通常选择几何中心或视觉焦点作为旋转中心。 180°旋转规则 ：对应点连线经过对称中心且被平分，对应线段平行或共线且相等。 动态平衡 ：通过中心对称创造视觉节奏感，常见于花卉或几何图形设计。 题型5 利用轴对称中心对称设计图案 例5．正方形绿化场地拟种植某种花卉，要求种植的花卉组成的场地图形能组成轴对称图形或中心对称图形．下面是三种不同的设计方案． (1)请补全图①②，使它们既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴． (2)把图③补成中心对称图形，并标上对称中心点P． 【变式5-1】．已知网格中每个小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成的． 图1                 图2 (1)图1中阴影部分的面积为______（结果保留π）． (2)请你以如图1所示的图案为基本图案，借助轴对称、平移或旋转在网格中设计一个完整的花边图案（要求至少有两种图形变换）． 【变式5-2】．按要求画图： (1)将图1中的图形向右平移至图2的方格中，将平移后的图形沿直线l翻折到图3的方格中． (2)将翻折后的图形绕点P旋转到图4的方格中（保留画图痕迹，不写画法）． 【变式5-3】．平移和旋转是生活中常见的运动和变化方式．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段，其中点都在格点上． (1)画出向上平移1个单位得到的线段； (2)将线段进行适当的运动变化，使它与线段重合，写出操作过程． 题型6关于原点对称与图形面积问题 例6．如图，在平面直角坐标系中． (1)画出关于原点对称的．并写出的顶点坐标． (2)求出的面积． 【变式6-1】．如图1，抛物线：经过点和点，抛物线与关于原点O成中心对称． (1)求b，c的值； (2)求抛物线的解析式； (3)将抛物线向上平移2个单位长度得到，抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），如图2． ①求点P和Q的坐标； ②若点M，N分别为抛物线与上P，Q之间的点（点M，N均不与点P，Q重合），直接写出四边形面积的最大值． 【变式6-2】．如图，已知：点，，，的对角线交于坐标原点O． (1)求出的值； (2)求出的面积． 【变式6-3】．在平面直角坐标系中，，（每个小正方形的边长均为1）． (1)若点与点关于原点对称，则点的坐标为________． (2)线段的长为________． (3)请在图中表示出、、三点，顺次连接，并求出点、、所组成的三角形的面积． 题型7原点对称与线段最值问题 例7．在平面直角坐标系中，已知点．对于点P的变换线段给出如下定义：点P关于原点O的对称点为M，将点M向上、向右各平移一个单位长度得到点N，称线段为点P的变换线段． 已知线段是点P的变换线段． (1)若点，则点M的坐标为______，点N的坐标为______； (2)若点P到点的距离为1 ①的最大值为______； ②当点O到直线的距离最大时，点P的坐标为______． 【变式7-1】．在如图平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在网格中画出以为旋转中心，顺时针旋转的； (2)①在网格中画出关于原点成中心对称的； ②已知点为中其中一边上任一点，若点在①中的边上的对应点为，则点的坐标是______（用字母、表示）． ③在轴上找一点，使最小，最小值为______，并在图中标出点． 【变式7-2】．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)画出关于原点对称的（A，B，C的对应点分别为，，）； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的（A，B，C的对应点分别为，，）； (3)绕某点旋转得到，直接写出该点的坐标为___________； (4)P为y轴上一动点，的最小值为___________． 【变式7-3】．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)若和关于原点成中心对称，画出． (2)将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出的坐标． (3)在轴上存在一点，满足点到点与点距离之和最小，请直接写出的最小值为 ． 题型8关于原点对称的规律变化问题 例8．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与x轴正半轴重合，将绕点O逆时针旋转，得到，再作，关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O逆时针旋转，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点O逆时针旋转，再作关于原点O的中心对称图形，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．一个机器人（看成点）从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；机器人照此规律跳下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，若按此规律继续以、、为对称中心重复操作，依次得到，，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】．在平面直角坐标系中，已知，作点A关于y轴的对称点，作点关于原点的对称点，作点关于x轴的对称点，作点关于y轴的对称点，……．按此规律，点的坐标为 ． 例9．如图，线段是线段经过某种变换得到的图形． (1)若点A与点C，点B与点D是对应点，第一象限内的点M的坐标为，在这种变换下，点M的对应点N的坐标为 （用含m、n的式子表示）； (2)若点A与点D、点B与点C是对应点，第一象限内的点M的坐标为，在这种变换下，点M的对应点N的坐标为 （用含m、n的式子表示）； (3)连接、，直接写出四边形的面积为 ． 【变式9-1】．如图，线段与关于坐标原点中心对称， ，两点坐标分别为，． (1)填空：点的坐标为_____，点的坐标为______； (2)求以为顶点经过点的抛物线解析式． 【变式9-2】．已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线上，且点的横坐标为 (1)直接写出该抛物线的顶点坐标______用含有的代数式表示 (2)当时，若， ①当时，求的取值范围； ②抛物线之间的最大值与最小值的差为，直接写出的取值范围______． (3)当点坐标为，点关于坐标原点的对称点为，以为对角线作矩形，且矩形的边平行于坐标轴．当抛物线与矩形的边有且只有两个公共点，且经过这两个公共点的直线将矩形分成面积比为的两部分时，求的值． 【变式9-3】．如图，已知直线和直线外一点． (1)写出点A关于直线的对称点B的坐标． (2)写出点A关于原点的对称点C的坐标． (3)若D是点B关于原点的对称点，判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．已知点与点是关于原点的对称点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．四边形各顶点坐标分别为，，，，它们关于原点对称的点，，，的坐标正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，直线（m为常数）与x轴交于点A，将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点．若点与A关于原点O对称，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．6 4．已知，则点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A与点B关于原点成中心对称，且，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知关于原点的对称点在第一象限内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D．不存在 7．直角坐标平面内，若点M绕原点逆时针旋转到点．点M绕原点顺时针旋转到点Q，则点Q坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线交于原点O ， 平行x轴，点M的坐标是， 点F的坐标是， 则点N的坐标是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 10．若点与点关于原点对称，则是 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，点位于第一象限，则点关于原点的对称点的坐标是 ． 12．已知点与点关于原点对称，则的值等于 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别为，，．一个动点从原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，……这个动点照此规律跳下去，则点的坐标是 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点． (1)将向上平移6个单位长度得到，请在图中画出；（点A、B、C的对应点分别为点） (2)已知与关于原点成中心对称，请在图中画出．（点A、B、C的对应点分别为点） 15．已知点，． (1)、为何值时，点、关于轴对称？ (2)、为何值时，点、关于轴对称？ (3)、为何值时，点、关于原点对称？ 16．（1）解方程： （2）已知点与点关于原点对称，求a，b的值． 17．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位． (1)在图中画出将绕点O顺时针旋转得到的； (2)在图中画出关于原点O的中心对称图形； (3)已知点D是平面内一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，写出点D的坐标 ． 18．如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出与关于原点对称的； (2)将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的． (3)若在如图网格中以为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ． 19．知识迁移 课本页的阅读材料介绍了用方位角、距离描述物体的位置．如图，现作出规定：把这样的角称为方位角，绕点顺时针旋转则度数为正，逆时针旋转则度数为负，方位角度数的取值范围是：．可以这样描述王家庄的位置：王家庄在红星镇的方位角为，距离为的位置，记为；赵庄组在红星镇的方位角为，距离为的位置，记为． (1)在图正方形网格中标出点的位置：； (2)直接写出点关于点的对称点记为______； (3)如图，，过点作，垂足为，求． 20．定义：如果二次函数，（，、、是常数）与，、、是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．例如：求函数的“旋转函数”，由函数可知，，，．根据，，求出、、就能确定这个函数的“旋转函数”． 请思考并解决下面问题： (1)写出函数的“旋转函数”； (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值； (3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”． B 抓核心 三大题型提升练 C 促拓展 能力提升拓展练 达标检测 A 夯基础 五大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 23.2.3关于原点对称的点的坐标（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 在直角坐标系中关于原点对称的点的坐标的关系： 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P ′(-x，-y). 要点诠释： （1）P（x，y）关于原点O的对称点P’(-x，-y)。 第一象限内的点关于原点的对称点在第三象限， 第二象限内的点关于原点的对称点在第四象限， 坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上。 （2）关于坐标轴对称和关于原点对称的点的坐标的区别： 题型1关于原点对称的点的坐标 例1．一次函数图象经过，，且与直线：垂直，则B关于原点的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．平面直角坐标系中，与点关于原点中心对称的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标都变为原来的相反数是解此题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标都变为原来的相反数，即可得到答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：B． 【变式1-2】．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查点关于原点对称的坐标特点，根据点坐标的特点判定所在象限，理解并掌握点的对称性质是解题的关键． 根据点关于原点对称的点的横坐标、纵坐标均变为相反数，再根据点的坐标的符号即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， ∵，， ∴在第四象限， ∴点关于原点对称的点在第四象限， 故选：D． 【变式1-3】．已知抛物线，将抛物线P绕原点旋转得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为m，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、关于原点对称，正确求出抛物线的解析式是解题的关键．先求出抛物线的解析式为，再根据抛物线的对称轴的位置分三种情况讨论：①；②；③，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：抛物线， ∴抛物线P的顶点坐标为， ∵将抛物线P绕原点旋转得到抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为，开口方向与抛物线P相反， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线， ①若， 当时，则当时，有最大值， 由题意得，， 解得：， ∴； ②若，则当时，有最大值， 由题意得，， 解得：（舍去）； ③若，则当时，有最大值， 由题意得，， 解得：（舍去）， ∴综上所述，a的取值范围是． 故选：A． 题型2 由已知关于原点对称的坐标求参数 例2．已知点M与点N关于原点对称，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P关于原点O的对称点是，进而求出即可． 【详解】解：∵点M与点N关于原点对称， ∴，， 故． 故选：C． 【变式2-1】．在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向上平移6个单位长度后，与轴交于点，若点与关于原点对称，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据y轴上点的坐标特征求得A、的坐标，由题意可知，解得． 【详解】解：∵直线（为常数）与y轴交于点A， 当时，， ∴， 将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，得到， ∵将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，与y轴交于点， ∴， ∵点与A关于原点O对称， ∴， 解得， 故选：A． 【变式2-2】．直线与直线（，为常数，）关于坐标原点对称，若在直线上，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】一次函数与几何综合、已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标系中点的对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求得直线与坐标轴的交点为和，则其对称点和在直线，再用待定系数法求直线的表达式，把代入即可求解． 【详解】解：当，则， 直线与轴交于点， 当时，，解得， 直线与轴交于点， 直线与直线（，为常数，）关于坐标原点中心对称， 可得和关于原点对称的点和在直线上， 将和代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为， ∵在直线上， ∴有，解得， 故选：C． 【变式2-3】．已知点和点关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得，的值，进而可得答案． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，， ， 故选：B． 知识点2 关于原点对称的点的坐标的应用 在直角坐标系中作关于原点的中心对称图形的一般步骤 1）确定关键点(通常为图形顶点等特殊点)的坐标； 2）写出关键点关于原点对称的点坐标； 3）在直角坐标系中标出对称点的坐标； 4）顺次连接对称点，所作的图形为所求图形. 要点诠释： 关键在于掌握坐标变换规则，并通过描点、连线完成图形绘制，确保对称性。 题型3 已知两点坐标确定对称方式 例3．在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 【答案】C 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、判断两个点是否关于原点对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和中心对称，关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解；∵、， ∴点A和点B的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴，两点关于y轴对称， 故选：C． 【变式3-1】．直线经过点和，则直线（    ） A．平行于轴 B．平行于轴 C．经过原点 D．无法确定 【答案】C 【知识点】坐标与图形、根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断两个点是否关于原点对称 【分析】根据两坐标点的特征，得出两点的横纵坐标都互为相反数，得出两点关于原点对称，故直线经过原点． 【详解】解：直线上的点和的横纵坐标都互为相反数， 这两点关于原点对称， 则直线经过原点， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质的知识，观察两点得出两点关于原点对称，是解答本题的关键． 【变式3-2】．在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（      ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】判断两个点是否关于原点对称、按图形的变换要求画出另一个图形 【分析】利用关于原点对称点的性质，得出符合题意的图形． 【详解】解：把各点的横坐标、纵坐标都乘以， 所得到的图形与原图形关于原点对称， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确得出图形的位置关系是解题关键． 【变式3-3】．在平面直角坐标系中，有A（2，-1）、B（-1，-2）、C（2，1）、D（-2，1）四点．其中，关于原点对称的两点为（    ） A．点A和点B B．点B和点C C．点C和点D D．点D和点A 【答案】D 【知识点】判断两个点是否关于原点对称 【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数即可得出答案． 【详解】解：A（2，﹣1）与D（﹣2，1）关于原点对称. 故选D． 【考点】关于原点对称的点的坐标． 题型4 有关原点对称的作图 例4．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【答案】A 【知识点】平移(作图)、画轴对称图形、画旋转图形、按图形的变换要求画出另一个图形 【分析】本题考查了图形的变换：平移、旋转与轴对称；逐项作出变换后的图形即可作出判断． 【详解】解：①如图1，作关于x轴的轴对称图形，然后再向左平移4个单位即得到； ②如图2，以点O为中心顺时针旋转得到，向左平移2个单位不能得到； ③如图3，以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位不能得到； 故只有变换①能使变成； 故选：A． 【变式4-1】．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，. (1)将以点C为中心旋转180°，画出旋转后对应的； (2)平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的； (3)和是否关于某点对称？如是，还请写出这点坐标；如不是，只需作出判断即可． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)△A1B1C和△A2B2C2关于点P(－1，0)对称 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形、按图形的变换要求画出另一个图形 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点A1，B1即可； （2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点A2，B2，C2即可； （3）根据中心对称的定义结合图形即可求解． 【详解】（1）如图，△A1B1C即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）由图可知△A1B1C和△A2B2C2关于P（﹣1，0）对称． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． 【变式4-2】．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为．画出关于原点O成中心对称的． 【答案】见解析 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、按图形的变换要求画出另一个图形 【分析】根据中心对称的性质，再根据网格结构找出点关于原点对称的点，然后顺次连接即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【点睛】此题考查了作图-旋转变换，作中心对称图形，掌握中心对称的性质是解题的关键． 【变式4-3】．作出满足下列要求的图形 (1)如图①，画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1； (2)如图②，画出△ABC绕点O旋转180°后的△A1B1C1． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【知识点】画旋转图形、按图形的变换要求画出另一个图形 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1即可得到△A1B1C1； （2）利用网格特点和中心对称的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1即可得到△A1B1C1． 【详解】（1）解：如图①，△A1B1C1为所作； （2）解：如图②，△A1B1C1为所作． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 知识点3 图案设计 我们学习了的全等变换有平移、轴对称、旋转，生活中常用这三种图形变换进行图案设计，在上述变换过程中，形状、大小不变，位置发生了改变。 要点诠释： 轴对称设计要点 对称轴选择 ：确定水平、垂直或斜线对称轴，需清晰表达设计意图。 关键点处理 ：通过作对称点连线垂直平分线，确保对应线段相等、对应角相等。 图案构建 ：先设计半侧图案，沿对称轴镜像复制后完善细节，注意保持整体对称性。 中心对称设计要点 对称中心定位 ：通常选择几何中心或视觉焦点作为旋转中心。 180°旋转规则 ：对应点连线经过对称中心且被平分，对应线段平行或共线且相等。 动态平衡 ：通过中心对称创造视觉节奏感，常见于花卉或几何图形设计。 题型5 利用轴对称中心对称设计图案 例5．正方形绿化场地拟种植某种花卉，要求种植的花卉组成的场地图形能组成轴对称图形或中心对称图形．下面是三种不同的设计方案． (1)请补全图①②，使它们既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴． (2)把图③补成中心对称图形，并标上对称中心点P． 【答案】(1) 见解析 (2) 见解析 【知识点】画轴对称图形、中心对称图形的识别、 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义将图形补全即可． 本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，深刻理解轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 【小题1】解：（1）如图①②所示（答案不唯一）． 【小题2】解：如图③所示． 【变式5-1】．已知网格中每个小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成的． 图1                 图2 (1)图1中阴影部分的面积为______（结果保留π）． (2)请你以如图1所示的图案为基本图案，借助轴对称、平移或旋转在网格中设计一个完整的花边图案（要求至少有两种图形变换）． 【答案】(1) (2)如图（答案不唯一）． 【知识点】求其他不规则图形的面积、 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案 【分析】（1）如图所示，． ，据此即可求解； （2）借助轴对称、平移或旋转即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，阴影部分的面积为 ， 故答案为：． （2）所设计的方案如图所示： 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了计算组合图形的面积，运用平移、轴对称和旋转设计图案，解决本题的关键是弄清图中的扇形的半径与圆心，把不规则的图形的面积转化为几个规则图形的面积的和或差来求解． 【变式5-2】．按要求画图： (1)将图1中的图形向右平移至图2的方格中，将平移后的图形沿直线l翻折到图3的方格中． (2)将翻折后的图形绕点P旋转到图4的方格中（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)翻折后的图形如图2、图3． (2)旋转后的图形如图4． 【知识点】画轴对称图形、折叠问题、画旋转图形 【分析】本题考查图形的变换，熟知平移、翻折和旋转的性质是解题的关键. 根据平移、翻折和旋转的性质即可解决问题. 【详解】（1）平移后的图形如图2，沿直线l翻折后的图象如图3. （2）旋转后的图形如图4． 【变式5-3】．平移和旋转是生活中常见的运动和变化方式．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段，其中点都在格点上． (1)画出向上平移1个单位得到的线段； (2)将线段进行适当的运动变化，使它与线段重合，写出操作过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】平移(作图)、分析图案的形成过程 【分析】本题考查作图-平移变换，旋转的性质，熟练掌握平移与旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）结合平移的性质、旋转的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）由图可知，先将线段向左平移个单位长度，再以点为旋转中心，逆时针旋转与线段重合（答案不唯一）． 题型6关于原点对称与图形面积问题 例6．如图，在平面直角坐标系中． (1)画出关于原点对称的．并写出的顶点坐标． (2)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形、求关于原点对称的点的坐标、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了作图——中心对称图形，三角形的面积，解题的关键是掌握网格结构，准确找出对应点的位置． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征求出点、、关于原点对称的对应点、、的坐标，再依次连接即可； （2）利用割补法求的面积即可． 【详解】（1）解： 如图，即为所求； ，，； （2）． 【变式6-1】．如图1，抛物线：经过点和点，抛物线与关于原点O成中心对称． (1)求b，c的值； (2)求抛物线的解析式； (3)将抛物线向上平移2个单位长度得到，抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），如图2． ①求点P和Q的坐标； ②若点M，N分别为抛物线与上P，Q之间的点（点M，N均不与点P，Q重合），直接写出四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①点P的坐标为，点Q的坐标为；②16 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、已知两点关于原点对称求参数、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与面积问题． （1）将点和点代入即可求解； （2）设点是上任意一点，则点关于原点O成中心对称的点坐标为，即可得到抛物线的解析式为； （3）①通过联立方程组，求点P和Q的坐标； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点，先求出直线的解析式为，设，，则，，求出当时，有最大值4，当时，有最大值4，再根据，得到当最大时，四边形面积的最大，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得； （2）解：由（1）可得抛物线， 设点是上任意一点，则点关于原点O成中心对称的点坐标为， ∵抛物线与关于原点O成中心对称， ∴抛物线的解析式为， 整理得； （3）解：①将抛物线向上平移2个单位长度得到，则抛物线的解析式为， 联立，解得或， ∵抛物线与相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧）， ∴点P的坐标为，点Q的坐标为； ②过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∵点P的坐标为，点Q的坐标为， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， 则，， ∴，， ∵， ∴当时，有最大值4， 当时，有最大值4， ∵， ∴当最大时，四边形面积的最大值为． 【变式6-2】．如图，已知：点，，，的对角线交于坐标原点O． (1)求出的值； (2)求出的面积． 【答案】(1)，； (2)42． 【知识点】利用平行四边形的性质求解、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形的性质，平行四边形的性质． （1）根据中心对称的性质解决问题即可； （2）利用平行四边形的面积计算即可． 【详解】（1）解：由题意，A，C关于原点对称， ∵，， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴边上的高为， ∴的面积． 【变式6-3】．在平面直角坐标系中，，（每个小正方形的边长均为1）． (1)若点与点关于原点对称，则点的坐标为________． (2)线段的长为________． (3)请在图中表示出、、三点，顺次连接，并求出点、、所组成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3)见详解，19 【知识点】已知两点坐标求两点距离、求关于原点对称的点的坐标、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了坐标与图形、关于原点中心对称的点的坐标特征、勾股定理、求三角形面积等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征“将原坐标的横纵坐标都取相反数”，即可获得答案； （2）根据，，利用勾股定理求解即可； （3）首先在图中表示出、、三点，顺次连接，然后利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：点与点关于原点对称，则点的坐标为． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴． 故答案为：； （3）解：在图中表示出、、三点，顺次连接，如下图所示， 由图可知，． 题型7原点对称与线段最值问题 例7．在平面直角坐标系中，已知点．对于点P的变换线段给出如下定义：点P关于原点O的对称点为M，将点M向上、向右各平移一个单位长度得到点N，称线段为点P的变换线段． 已知线段是点P的变换线段． (1)若点，则点M的坐标为______，点N的坐标为______； (2)若点P到点的距离为1 ①的最大值为______； ②当点O到直线的距离最大时，点P的坐标为______． 【答案】(1)， (2)）①；②或 【知识点】坐标与图形、等腰三角形的性质和判定、由平移方式确定点的坐标、求关于原点对称的点的坐标 【分析】（1）根据中心对称及点的平移即可得出结果； （2）①根据题意作出相应图象，然后得出当点P，M，N三点共线时，取得最大值为，结合平移即可得出结果； ②令点，连接，点P在以点E为圆心，1为半径的圆上，作直线使得且直线与圆E相切，连接，，过点E作，根据等腰直角三角形的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵P关于原点O的对称点为M，， ∴点M的坐标为， 将点M向上、向右各平移一个单位长度得到点N， ∴点N的坐标为， 故答案为：，； （2）①∵点P到点的距离为1， ∴点P在如图所示的圆上， ∵，点P关于原点O的对称点为M，将点M向上、向右各平移一个单位长度得到点N， ∴当点P，M，N三点共线时，取得最大值为， 由图得：， 故答案为： ②令点，连接，点P在以点E为圆心，1为半径的圆上，作直线使得且直线与圆E相切，连接，，过点E作， ∴点O到直线的最大距离即为， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可得：， 综上可得：点P的坐标为或． 【点睛】题目主要考查中心对称及平移求点的坐标，点到直线的距离，勾股定理解三角形等，理解题意，利用树形结合思想求解是解题关键． 【变式7-1】．在如图平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在网格中画出以为旋转中心，顺时针旋转的； (2)①在网格中画出关于原点成中心对称的； ②已知点为中其中一边上任一点，若点在①中的边上的对应点为，则点的坐标是______（用字母、表示）． ③在轴上找一点，使最小，最小值为______，并在图中标出点． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析②③，见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、画轴对称图形、画旋转图形、求关于原点对称的点的坐标 【分析】（1）根据旋转的性质，确定各顶点绕原点顺时针旋转后的对应点坐标，再连接各点得到 ． （2）①依据中心对称的性质，求出各顶点关于原点成中心对称的点的坐标，然后连接得到 ．②利用关于原点对称的点的坐标特征，直接得出点关于原点对称的点的坐标 ．③利用轴对称 - 最短路径问题，作点关于轴的对称点，连接与轴交点即为，再用勾股定理计算的长度，即的最小值 ． 【详解】（1）解：如图：即为所求； （2）解：①如图：即为所求； ②关于原点成中心对称的点坐标为； ③如图，点即为所求． 作点关于轴的对称点； 连接，设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴； 令，则， ∴； 根据勾股定理，，即的最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转、中心对称、关于原点对称的点的坐标特征以及轴对称 - 最短路径问题，熟练掌握图形变换的性质和坐标特征，运用勾股定理计算线段长度是解题的关键． 【变式7-2】．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)画出关于原点对称的（A，B，C的对应点分别为，，）； (2)画出绕原点顺时针旋转后得到的（A，B，C的对应点分别为，，）； (3)绕某点旋转得到，直接写出该点的坐标为___________； (4)P为y轴上一动点，的最小值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【知识点】用勾股定理解三角形、画旋转图形、找旋转中心、旋转角、对应点、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】（1）根据对称的性质作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据题意找出旋转中心和旋转方向，以及旋转角，再按照旋转作图步骤作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； （3）连接，，作，的中垂线，中垂线的交点即为旋转中心，根据图形找出旋转中心坐标，即可解题； （4）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，结合轴对称性质，以及两点之间线段最短得到当、、三点共线时，有最小值，即有最小值，最后利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：所作如图所示： （2）解：所作如图所示： （3）解：连接，，作，的中垂线，中垂线的交点即为旋转中心， 由图知，绕点旋转得到． 故答案为：． （4）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 由对称的性质可知，， ， 当、、三点共线时，有最小值，即有最小值， 最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了原点对称作图，旋转作图，根据图形找出旋转中心，两点之间线段最短，勾股定理，以及利用轴对称取线段和的最小值，解题的关键在于正确掌握相关作图步骤． 【变式7-3】．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)若和关于原点成中心对称，画出． (2)将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的，并写出的坐标． (3)在轴上存在一点，满足点到点与点距离之和最小，请直接写出的最小值为 ． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解， (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、求绕原点旋转90度的点的坐标、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查平面直角系的特点，掌握中心对称图形的性质，旋转的性质，轴对称图形的性质，勾股定理等知识的综合是解题的关键． （1）根据中心对称图形的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，坐标与图形的知识即可求解； （3）根据轴对称的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， ∴即为所求图形； （2）解：如图所示， ∴即为所求图形，； （3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴， ∴， 故答案为：． 题型8关于原点对称的规律变化问题 例8．如图，在平面直角坐标系中，边长为3的等边三角形的边与x轴正半轴重合，将绕点O逆时针旋转，得到，再作，关于原点O的中心对称图形，得到，再将绕点O逆时针旋转，得到，再作关于原点O的中心对称图形，得到，…，按照此规律，先将三角形绕点O逆时针旋转，再作关于原点O的中心对称图形，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边三角形的性质、求绕原点旋转90度的点的坐标、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，图形的旋转与翻折，等边三角形的性质．利用题干中的操作顺序求得对应的点的坐标，利用计算结果找出规律是解题的关键．利用题干中的操作步骤，分别求得对应的点的坐标，观察计算结果，找出变化的规律即可求解． 【详解】解：如图，过点B作轴，过作轴，垂足分别为， 由题意得，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 如图，与关于原点对称， ，，，，，，， 观察可知点回到点B的位置后从点开始重复点到点的变换规律， 即由点到点为一个变换周期， ， 即点的坐标为， 故选：B． 【变式8-1】．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．一个机器人（看成点）从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；机器人照此规律跳下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了中心对称的性质与规律的综合，熟练掌握中心对称性以及找出点的循环数是解题的关键．根据中心对称的性质可得，，，，，坐标，即可找出6个点一循环，从而求出的坐标． 【详解】解：点，，的坐标分别为，，， 又与点关于点成中心对称， 点坐标为， 与点关于点成中心对称， 坐标为， 点与点关于点成中心对称， 坐标为， 点与点关于点成中心对称， 坐标为， 点与点关于点成中心对称， 坐标为， 点与点关于点成中心对称， 坐标为， 个点一循环， ， 点的坐标为， 故选：D． 【变式8-2】．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，若按此规律继续以、、为对称中心重复操作，依次得到，，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点坐标规律探索、坐标与图形变化——轴对称、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了坐标规律题，中心对称的性质，根据题意得到对称点坐标并发现一般规律是解题关键．根据中心对称的性质，分别写出对称点的坐标，进而发现坐标每6个循环一次，依次为、、、、、，即可求解． 【详解】解：点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， 点关于点的对称点为， …… 观察发现，坐标每6个循环一次，依次为、、、、、， ， 点的坐标为， 故选：C 【变式8-3】．在平面直角坐标系中，已知，作点A关于y轴的对称点，作点关于原点的对称点，作点关于x轴的对称点，作点关于y轴的对称点，……．按此规律，点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查的是点的坐标，熟知两个点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两个点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；两个点关于原点对称，则横坐标，纵坐标都是互为相反数是解答此题的关键. 根据各点坐标找出规律，进而可得出结论. 【详解】解：根据题意，得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，……．由此可知，每三次变换为一组循环．因为，所以点的坐标为． 故答案为：. 例9．如图，线段是线段经过某种变换得到的图形． (1)若点A与点C，点B与点D是对应点，第一象限内的点M的坐标为，在这种变换下，点M的对应点N的坐标为 （用含m、n的式子表示）； (2)若点A与点D、点B与点C是对应点，第一象限内的点M的坐标为，在这种变换下，点M的对应点N的坐标为 （用含m、n的式子表示）； (3)连接、，直接写出四边形的面积为 ． 【答案】(1) (2) (3)10 【知识点】利用平移的性质求解、求关于原点对称的点的坐标、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了平移的性质、关于原点对称的点的性质、利用网格求面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由图形可得点A向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度点C，再由平移的性质即可得解； （2）由图形可得点A与点D关于原点对称，由此即可得解； （3）利用分割法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：∵点A向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度到点C， ∴点M的对应点N的坐标为； （2）解：∵点A与点D关于原点对称， ∴点M的对应点N的坐标为； （3）解：如图所示： 四边形的面积． 【变式9-1】．如图，线段与关于坐标原点中心对称， ，两点坐标分别为，． (1)填空：点的坐标为_____，点的坐标为______； (2)求以为顶点经过点的抛物线解析式． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²的图象和性质、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解即可； （）抛物线的顶点在轴上， 设该函数解析式为， 然后把代入即可求解． 【详解】（1）解：∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴设该函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴该函数解析式为． 【变式9-2】．已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线上，且点的横坐标为 (1)直接写出该抛物线的顶点坐标______用含有的代数式表示 (2)当时，若， ①当时，求的取值范围； ②抛物线之间的最大值与最小值的差为，直接写出的取值范围______． (3)当点坐标为，点关于坐标原点的对称点为，以为对角线作矩形，且矩形的边平行于坐标轴．当抛物线与矩形的边有且只有两个公共点，且经过这两个公共点的直线将矩形分成面积比为的两部分时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 (3)1或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、求关于原点对称的点的坐标、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（）根据交点式可得：，配方后可得抛物线顶点的坐标； （）①先求出点的坐标，代入可得抛物线的解析式，根据图象即可得时，的取值范围是；②根据抛物线之间的最大值与最小值的差为，确定和时对应的的值，即可解答； （）先根据点坐标为可得，即得抛物线的解析式为，分三种情况，分别画出图形，根据中心对称图形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴交于，两点， ， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：①， ， ，， ， ， ∴， ， ， ，，， 当时，， 当时，即时，的取值范围是； ②，顶点的坐标为， 点的对称点是， 当时，， ， 解得， ∵抛物线之间的最大值与最小值的差为， 的取值范围是或； 故答案为：或； （3）解：把点坐标为代入中得，， ， ∴抛物线的解析式为：， ①如图，当点是抛物线的顶点时，， ， ∵四边形是矩形， ∴矩形的面积，的面积， 此时，满足条件， ； ②如图，∵点关于坐标原点的对称点为， ∴当与轴交于点时，直线将矩形分成面积比为的两部分， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为， 当时，， 解得（不合，舍去），； ③如图，点在边上，则点的横坐标为， ， ∴矩形的面积，的面积，满足条件，此时； 综上，的值是或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，矩形的性质，中心对称图形的性质，二次函数的几何应用等，掌握数形结合的思想，并灵活运用所学知识是解题的关键． 【变式9-3】．如图，已知直线和直线外一点． (1)写出点A关于直线的对称点B的坐标． (2)写出点A关于原点的对称点C的坐标． (3)若D是点B关于原点的对称点，判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 四边形ABCD是矩形．理由见解析 【知识点】证明四边形是矩形、坐标与图形变化——轴对称、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查了关于原点对称，关于直线对称的点的坐标特征以及矩形的判定，解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形． （1）依据关于直线的对称点的坐标特征得到B点坐标； （2）依据关于原点对称点的坐标特征得到C点坐标； （3）先依据对称和对称中心的性质，得到四边形是平行四边形，再依据，即可得出四边形ABCD是矩形． 【详解】（1）解：点A关于直线的对称点B的坐标为． （2）解：点A关于原点的对称点C的坐标为． （3）解：四边形ABCD是矩形．理由如下： 关于原点的对称点为， ．同理， ∴四边形ABCD是平行四边形， 点A关于直线的对称点为B，点A关于原点的对称点为C，点B关于原点的对称点为点D， ∴四边形ABCD是矩形． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．已知点与点是关于原点的对称点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的性质，解题关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号都是互为相反数．直接利用关于原点对称点的性质得出的值，进而得出答案． 【详解】解：根据题意，点与点是关于原点的对称点 ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 2．四边形各顶点坐标分别为，，，，它们关于原点对称的点，，，的坐标正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是．关键是掌握点的坐标的变化规律． 【详解】解：四边形各顶点坐标分别为，，，，它们关于原点对称的点，，，的坐标分别为：，，，． 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，直线（m为常数）与x轴交于点A，将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点．若点与A关于原点O对称，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【知识点】一次函数图象平移问题、已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征．根据平移的规律和关于原点对称的特点求得，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点，若点与A关于原点O对称， ∴ ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得， 故选：B． 4．已知，则点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了点的坐标，以及绝对值、算术平方根的非负性，先化简求出，的值，再结合关于原点对称这个条件，即可作答． 正确掌握“关于原点对称的点的坐标：它们的坐标符号相反”是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 则点， 则点关于原点对称的点的坐标为 故选：C． 5．七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A与点B关于原点成中心对称，且，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查了直角坐标系，根据点A与点B的坐标建立直角坐标系即可得出点C的坐标． 【详解】解：由题意得，如图，建立直角坐标系， 则点C的坐标为． 故选：A． 6．已知关于原点的对称点在第一象限内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数、已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查了点的坐标与轴对称，解一元一次不等式组，熟练掌握点的坐标与轴对称变换规律是解题关键．先判断出点在第三象限，再根据第三象限的点的横坐标小于0、纵坐标小于0建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：点关于原点的对称点在第一象限， 点在第三象限， ， 解得：， 故选：C． 7．直角坐标平面内，若点M绕原点逆时针旋转到点．点M绕原点顺时针旋转到点Q，则点Q坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查的是绕原点旋转或后点的坐标特点，由点M绕原点逆时针旋转到点，点M绕原点顺时针旋转到点Q，可得关于原点对称，从而可得答案． 【详解】解：如图， ∵点M绕原点逆时针旋转到点，点M绕原点顺时针旋转到点Q， ∴关于原点对称， ∴点Q坐标为. 故选：D 8．如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线交于原点O ， 平行x轴，点M的坐标是， 点F的坐标是， 则点N的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，中心对称的性质，根据平行四边形的性质得到点与点关于原点对称，点与点关于原点对称是解题的关键． 根据平行四边形是中心对称的特点可知，点与点关于原点对称，点与点关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵的两条对角线，交于原点， ∴点与点关于原点对称，点与点关于原点对称， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点的纵坐标是，点的横坐标是， ∵平行轴，即， ∴点的坐标是， 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查关于原点对称的点的特点，掌握相关知识是解决问题的关键．根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此解答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 10．若点与点关于原点对称，则是 ． 【答案】1 【知识点】有理数的乘方运算、已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，有理数的乘方，熟练掌握关于原点对称的点坐标的横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 由题意知，，，计算求出，的值，然后代值求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得，，， ， 故答案为：1． 11．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，点位于第一象限，则点关于原点的对称点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形和关于原点对称的点的坐标特征．根据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标是解题的关键．过点B作于点C，根据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标，然后结合“两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反”，即求得答案． 【详解】解：如图，过点B作于点C， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴点B关于原点的对称点的坐标是． 故答案是：． 12．已知点与点关于原点对称，则的值等于 ． 【答案】 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横，纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征列出关于a，b，k的方程组，进而求出的值． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴， 由，得， 将其代入，得， 整理得， ∴， 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别为，，．一个动点从原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，……这个动点照此规律跳下去，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了中心对称的性质与规律的综合，熟练掌握中心对称性质以及找出点的循环数是解题的关键． 根据中心对称的性质可得、、、、、的坐标，即可找出6个点一循环，从而求出的坐标． 【详解】解：的坐标分别为，，，点与点关于点A成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ……， 以此类推可知，每6个点为一个循环， ， 点的坐标是：， 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点． (1)将向上平移6个单位长度得到，请在图中画出；（点A、B、C的对应点分别为点） (2)已知与关于原点成中心对称，请在图中画出．（点A、B、C的对应点分别为点） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】平移(作图)、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查作图-旋转变换与平移变换，掌握旋转变换和平移变换的定义与性质并据此得到其变换后对应点是解题的关键． （1）将三个顶点分别向上平移6个单位得到其对应点，然后顺次连接即可； （2）根据中心对称图形的性质得到其对应点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为求． （2）如图，即为所求． 15．已知点，． (1)、为何值时，点、关于轴对称？ (2)、为何值时，点、关于轴对称？ (3)、为何值时，点、关于原点对称？ 【答案】(1)， (2)， (3)， 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求关于原点对称的点的坐标 【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称和关于原点对称的点的特征，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． （1）直接利用关于y轴对称的点的坐标特点得出关于m，n的等式求出答案； （2）直接利用关于x轴对称的点的坐标特点得出关于m，n的等式求出答案； （3）直接利用关于原点对称的点的坐标特点得出关于m，n的等式求出答案． 【详解】（1）解：∵点、关于轴对称， ∴，且， ∴，； （2）解：∵点、关于轴对称， ∴，且， ∴，； （3）解：∵点、关于原点对称， ∴，且， ∴，． 16．（1）解方程： （2）已知点与点关于原点对称，求a，b的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】构造二元一次方程组求解、因式分解法解一元二次方程、已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查的是解一元二次方程及关于原点对称的点的坐标特征、二元一次方程组的应用， （1）用因式分解法解出方程即可； （2）根据原点对称的点的坐标特征列方程组解决即可． 【详解】解：（1）， ， ， 或， ； （2）∵点与点关于原点对称， ， 解得：． 17．在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位． (1)在图中画出将绕点O顺时针旋转得到的； (2)在图中画出关于原点O的中心对称图形； (3)已知点D是平面内一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，写出点D的坐标 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】在网格中判断直角三角形、 求矩形在坐标系中的坐标、画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查作图—旋转变换、中心对称，平行四边形的判定以及勾股定理逆定理，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质得到点A，B，C的对应点，即可作图； （2）根据中心对称的性质得到点A，B，C的对应点，即可作图； （3）根据平行四边形的判定条件以及勾股定理逆定理找到点D的位置，即可写出点D的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，取格点，构造四边形， 理由：根据题意得：， ∴，， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 18．如图，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出与关于原点对称的； (2)将绕点A顺时针旋转，画出旋转后的． (3)若在如图网格中以为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【知识点】利用平行四边形的性质求解、画旋转图形、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点即可． （3）根据平行四边形的定义可得点D的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，满足条件的点D的坐标为，． 故答案为：，． 19．知识迁移 课本页的阅读材料介绍了用方位角、距离描述物体的位置．如图，现作出规定：把这样的角称为方位角，绕点顺时针旋转则度数为正，逆时针旋转则度数为负，方位角度数的取值范围是：．可以这样描述王家庄的位置：王家庄在红星镇的方位角为，距离为的位置，记为；赵庄组在红星镇的方位角为，距离为的位置，记为． (1)在图正方形网格中标出点的位置：； (2)直接写出点关于点的对称点记为______； (3)如图，，过点作，垂足为，求． 【答案】(1)作图见解析； (2)； (3)． 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置、用勾股定理解三角形、求关于原点对称的点的坐标 【分析】（）根据题意找到点即可； （）根据关于原点对称的点的坐标特征求解即可； （）连接，根据题意可得到，利用勾股定理可求得，再根据三角形的面积即可求出； 本题考查了方位角的表示，关于原点对称的点的坐标特征，勾股定理，解题的关键是要理解方位角的表示方法． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：∵点， ∴点关于点的对称点为， 故答案为：； （3）解：如图，连接， 由题意可得，，，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．定义：如果二次函数，（，、、是常数）与，、、是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．例如：求函数的“旋转函数”，由函数可知，，，．根据，，求出、、就能确定这个函数的“旋转函数”． 请思考并解决下面问题： (1)写出函数的“旋转函数”； (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值； (3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”． 【答案】(1)； (2)1； (3)见解析． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求关于原点对称的点的坐标 【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出另一个函数的、、的值，从而得出函数解析式； （2）根据定义得出和的二元一次方程组，从而得出答案； （3）首先求出、、三点的坐标，然后得出对称点的坐标，从而求出函数解析式，然后根据新定义进行判定． 【详解】（1）根据题意得， 解得 故解析式为：． （2）根据题意得 ∴ ∴． （3）根据题意得，， ∴，， 又 且经过点，，的二次函数为 ∵ ∴两个函数互为“旋转函数”． 【点睛】本题考查了二次函数，新定义型；涉及了待定系数法，关于原点对称的点的坐标等知识，正确理解题意，熟练运用相关知识是解题的关键． C 促拓展 能力提升拓展练 达标检测 B 抓核心 三大题型提升练 A 夯基础 五大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $