第24章《圆》提优验收卷（B卷）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第24章《圆》提优验收卷（B卷） （时间：90分钟 满分：120分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B D D D D B B 1． 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2023秋•宣化区期末）小明在半径为5的圆中测量弦AB的长度，下列测量结果中一定是错误的是（　　） A．4 B．5 C．10 D．11 【分析】根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】解：∵半径为5的圆，直径为10， ∴在半径为5的圆中测量弦AB的长度，AB的取值范围是：0＜AB≤10， ∴弦AB的长度可以是4，5，10，不可能为11． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，掌握弦与直径的定义是解题的关键．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径． 2．（2024•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O．过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是（　　） A．50° B．100° C．130° D．150° 【分析】根据BE∥AD，得出∠ADC＝∠BEC＝50°，再根据圆内接四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵BE∥AD， ∴∠ADC＝∠BEC＝50°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 3．（2023秋•长沙县期末）下列说法中，正确的是（　　） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 【分析】根据等圆，圆周角定理，垂径定理一一判断即可． 【详解】解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意． B、正确，本选项符合题意． C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意． D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，等圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．（2024•利川市模拟）如图，边长为4的正方形OABC的顶点B在⊙O上，顶点A，C在⊙O内，OA的延长线交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．4π﹣4 D． 【分析】连接OB，由四边形ABCO是正方形，得到∠DOB＝45°，根据勾股定理得到OBAB＝4，再根据图中阴影部分的面积＝S扇形OBD﹣S△AOB得到结论． 【详解】解：连接OB， ∵四边形ABCO是正方形， ∴∠DOB＝45°， ∴OBAB＝4， ∴图中阴影部分的面积＝S扇形OBD﹣S△AOB4×4＝4π﹣8， 故选：B． 【点睛】本题考查扇形的面积公式、正方形的性质等知识，解题的关键是把不规则图形转化为规则图形解决，学会利用角平分线添加辅助线，属于中考常考题型． 5．（2024•重庆模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC，BD，CD是⊙O的弦．若∠D＝30°，AB＝4，则弦AC的长度为（　　） A． B． C．3 D． 【分析】根据圆周角定理，得到∠ACB＝90°，进而利用勾股定理即可得解． 【详解】解：如图，连接BC， ∵AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦， ∴∠ACB＝90°， ∵∠A＝∠D＝30°， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理以及30度直角三角形的性质．熟练掌握直径所对的圆周角是90°，是解题的关键． 6．（2024•青阳县三模）如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热．如图2，它的截面图可以近似看作是由⊙O去掉两个弓形后与矩形ABCD组合而成的图形，其中BC∥MN，若⊙O的半径为25，AB＝36，BC＝14，MN＝30，则该平底烧瓶的高度为（　　） A．20 B．40 C．60 D．80 【分析】连接OB，OM，过点O作EF⊥BC，交BC于点E，交MN于点F，由垂径定理得出BE，MF的长，再根据勾股定理得出OE，OF的长，进而可得出结论． 【详解】解：连接OB，OM，过点O作EF⊥BC，交BC于点E，交MN于点F， ∵BC∥MN， ∴EF⊥MN， ∴EF平分BC，MN， ∵BC＝14，MN＝30， ∴BE＝7，MF＝15， ∵⊙O的半径为25，AB＝36， 在Rt△BEO和Rt△MOF中，OB＝OM＝25， 由勾股定理得，， ∴该烧瓶的高度为AB+OE+OF＝36+24+20＝80． 故选：D． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 7．（2024•韩城市二模）圆形螺母（如图1）是生活中常见的机械零件，某工人师傅把直尺、直角三角尺和圆形螺母按如图2所示的位置放置于桌面上，直尺的上边缘、直角三角尺的斜边分别与螺母的外圆相切于点D、E，直角三角尺的较短直角边BC与直尺的上边缘重合，∠ABC＝60°，经测量，BD＝4cm，则该圆形螺母外圆的直径是（　　） A．8cm B． C．12cm D． 【分析】圆形螺母的圆心为O，连接OD、OB，如图，根据切线的性质得到OD⊥BD，根据切线长定理得到OB平方∠DBE，所以∠ODB＝90°，∠OBD＝60°，接着根据含30度角的直角三角形三边的关系求出OB，然后利用勾股定理计算出OD，从而得到该圆形螺母外圆的直径． 【详解】解：圆形螺母的圆心为O，连接OD、OB，如图， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝120°， ∵BD、BE与⊙O都相切， ∴OD⊥BD，OB平分∠DBE， ∴∠ODB＝90°，∠OBD＝∠OBE∠DBE＝60°， 在Rt△OBD中，∵OB＝2BD＝8cm， ∴OD4（cm）， 即该圆形螺母外圆的半径为4cm， ∴该圆形螺母外圆的直径是8cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理． 8．（2024•河北二模）如图，正五边形ABCDE中，AB＝6，连接AC，点O在线段AC上，连接OB，OD，OE将五边形分成面积为S1，S2，S3，S4，S5的五部分，则下列式子不能确定大小的是（　　） A．S1+S2 B．S3+S5 C．S1+S2+S4 D．S2+S3 【分析】当三角形ABC面积一定时，判断A不符合题意；利用等高性质判断三角形ODE面积一定，判断出B不符合题意；综合A和B即可判断C的正确性；分析动点O的变化可判断出D符合题意． 【详解】解：由图得，S1+S2为△ABC的面积， ∵五边形ABCDE为正五边形， ∴AB＝BC＝6，∠ABC＝108°， ∴△ABC的面积是能确定的，故A不符合题意； 由图得，AC∥DE，即AC与DE之间的距离一定， ∵DE＝AB＝6， ∴S4可以确定， ∵梯形ACDE面积一定， ∴S3+S5可以确定，故B不符合题意； 当S1+S2和S4可以确定时，S1+S2+S4即可以确定，故C不符合题意； 由图得，当点P靠近点C时S2+S3面积变小， 当点P靠近点A时S2+S3面积变大， ∴S2+S3的面积不能确定大小，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了正多边形的性质，三角形的面加和梯形的面积的变化规律是本题的解题关键． 9．（2024•溧阳市模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，点P的位置（　　） A．随点C的运动而变化 B．不变 C．在使PA＝OA的劣弧上 D．无法确定 【分析】因为CP是∠OCD的平分线，所以∠DCP＝∠OCP，所以∠DCP＝∠OPC，则CD∥OP，所以弧AP等于弧BP，所以PA＝PB．从而可得出答案． 【详解】解：连接OP，∵CP是∠OCD的平分线， ∴∠DCP＝∠OCP， 又∵OC＝OP， ∴∠OCP＝∠OPC， ∴∠DCP＝∠OPC， ∴CD∥OP， 又∵CD⊥AB， ∴OP⊥AB， ∴， ∴PA＝PB． ∴点P是线段AB垂直平分线和圆的交点， ∴当C在⊙O上运动时，点P不动． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系，以及平行线的判定和性质，在同圆或等圆中，等弧对等弦． 10．（2025•德阳模拟）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 【分析】连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA＝90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO＝90°，过O作OF⊥AB，则∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，得四边形OCDF为矩形，设AD＝x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长． 【详解】解：连接OC，过O作OF⊥AB，垂足为F， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∵AC平分∠PAE， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴PB∥OC， ∵CD⊥PA， ∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°， ∴四边形DCOF为矩形， ∴OC＝FD，OF＝CD． ∵DC+DA＝12， 设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x， ∵⊙O的直径为20， ∴DF＝OC＝10， ∴AF＝10﹣x， 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2． 即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102， 解得x1＝4，x2＝18． ∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去， ∴x＝4， ∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6， ∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点， ∴AB＝2AF＝12． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握． 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2024•郴州模拟）如图，在⊙O中，，∠A＝40°，则∠B＝　70　 度． 【分析】先利用“在同圆中等弧所对的弦也相等”得到AB＝AC即△ABC是等腰三角形，则∠B可得． 【详解】解：∵， ∴AB＝AC， ∵∠A＝40°， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）÷2＝70°． 【点睛】本题利用了三角形的内角和定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 12．（2024•徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C＝20°，则∠CAD＝　35　 °． 【分析】连接OD，构造直角三角形，利用OA＝OD，可求得∠ODA＝35°，从而得出∠CAD的度数． 【详解】解：连接OD，则∠ODC＝90°，∠COD＝70°； ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠CAD∠COD＝35°， 故答案为：35 【点睛】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解． 13．（2024•镇江）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB＝1，∠D＝60°，则的长l＝ 　π　 （结果保留π）． 【分析】由平行四边形的性质推出∠B＝∠D＝60°，判定△ABE是等边三角形，得到∠BAE＝60°，由弧长公式即可求出的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝60°， 由题意得：AB＝AE， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠BAE＝60°， ∵AB＝1， ∴lπ． 故答案为：π． 【点睛】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定△ABE是等边三角形，得到∠BAE＝60°． 14．（2024秋•南岗区校级月考）在⊙O中，AB为直径，AB＝10，点M、点N均在⊙O上，MN⊥AB，将点B沿直线MN翻折，翻折后点B的对应点为点D，若AD＝2，则MD的长为 　2或2　 ． 【分析】连接OM，根据垂径定理PM＝PN，由折叠的性质得出DB＝8或12，进而求得OP＝1，由勾股定理求得PM，然后根据勾股定理即可求得MD的长． 【详解】解：如图所示，连接OM， ∵AB为直径，MN⊥AB， ∴PM＝PN， ∵AB＝10，AD＝2， ∴DB＝8或12， ∴PD＝PB＝4或6，DO＝3或7， ∴OP＝1， ∴PM2， ∴DM2， 或DM2． 故答案为：2或2． 【点睛】本题考查了垂径定理，对称的性质，以及勾股定理的应用，作出辅助线求得PM的长是解题的关键． 15．（2024秋•建邺区校级月考）若过平面直角坐标系中的三个点A（1，0）、B（0，2）、C（﹣1，m）能确定一个圆，则m≠　4　 ． 【分析】根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点C不在直线AB上，三个点确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：∵A（1，0）、B（0，2）， ∴设直线AB的解析式为：y＝kx+2，把A（1，0）代入，得：k＝﹣2， ∴y＝﹣2x+2， ∴当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）+2＝4， ∴当m≠4时，平面直角坐标系中的三个点A（1，0）、B（0，2）、C（﹣1，m）能确定一个圆， 故答案为：4． 【点睛】本题考查确定圆的条件，坐标与图形性质，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键． 16．（2023秋•溧阳市期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，则PM+PN的最小值为　4　 ． 【分析】作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，根据轴对称确定最短路线问题可得MN′与AB的交点即为PM+PN最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠MOB＝40°，然后求出∠BON＝20°，再根据对称性可得∠BON′＝∠BON＝20°，然后求出∠MON′＝60°，从而判断出△MON′是等边三角形，根据等边三角形的性质求出MN″，即为PM+PN的最小值． 【详解】解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′， 则MN′与AB的交点即为PM+PN的最小时的点，PM+PN的最小值＝MN′， ∵∠MAB＝20°， ∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°， ∵N是弧MB的中点， ∴∠BON∠MOB40°＝20°， 由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°， ∴∠MON′＝∠MOB+∠N′OB＝40°+20°＝60°， ∴△MON′是等边三角形， ∴MN′＝OM＝OBAB4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍的性质，作辅助线并得到△MON′是等边三角形是解题的关键． 三．解答题（本大题共6小题，共66分） 17．（8分）（2022秋•姑苏区校级期中）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证： （1）AD＝BC； （2）AE＝CE． 【分析】（1）由AB＝CD，推出弧AB＝弧CD，推出弧AD＝弧BC，即可得到AD＝BC； （2）证明△ADE≌△CBE可得结论． 【详解】证明：（1）∵AB＝CD， ∴弧AB＝弧CD， ∴弧AB﹣弧AC＝弧CD﹣弧AC， ∴弧AD＝弧BC， ∴AD＝BC； （2）∵AD＝BC，∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB， ∴△ADE≌△CBE（AAS）， ∴AE＝EC． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 18．（10分）（2024•合水县一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C， （1）求证：CB∥PD； （2）若BC＝3，∠C＝30°，求⊙O的直径． 【分析】（1）根据圆周角定理得∠P＝∠C，而∠1＝∠C，则∠1＝∠P，于是根据平行线的判定即可得到CB∥PB； （2）解：连接OC，如图，有（1）得∠1＝∠P＝30°，再根据垂径定理得到，则利用圆周角定理得∠BOC＝2∠P＝60°，于是可判断△BOC为等边三角形，所以OB＝BC＝3， 易得⊙O的直径为6． 【详解】（1）证明：∵∠P＝∠C， 而∠1＝∠C， ∴∠1＝∠P， ∴CB∥PD； （2）解：连接OC，如图， ∵∠1＝30°， ∴∠P＝30°， ∵CD⊥AB， ∴， ∴∠BOC＝2∠P＝60°， ∴△BOC为等边三角形， ∴OB＝BC＝3， ∴⊙O的直径为6． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 19．（10分）（2023秋•江阴市月考）如图，在平面直角坐标系中，有A（0，4），B（4，4），C（6，2）三点． （1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置； （2）圆心M的坐标为 　（2，0）　 ； （3）点D坐标为（8，﹣2），连接CD，判断直线CD与⊙M的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）利用网格画出线段AB和线段BC的垂直平分线，交点即为点M． （2）根据图形即可得出点M的坐标． （3）连接MC，MD，利用勾股定理判定∠MCD＝90°，则直线CD为⊙M的切线． 【详解】解：（1）如图，点M即为所求． （2）由图可知，点M的坐标为（2，0）． 故答案为：（2，0）． （3）直线CD与⊙M相切． 理由：连接MC，MD， 由勾股定理得，MC2＝42+22＝20，CD2＝22+42＝20，MD2＝22+62＝40， ∴MC2+CD2＝MD2， ∴∠MCD＝90°， ∵MC为⊙M的半径， ∴直线CD是⊙M的切线． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、直线与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 20．（12分）（2025•凤阳县一模）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上不同于A，B的一点，I是△ABC的内心，AI的延长线交半圆O于点D，连接BI，BD，IO． （1）求证：DI＝DB； （2）若BD＝2，IO⊥BI，求AI的长． 【分析】（1）根据I是△ABC的内心，以及圆周角定理可得∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，∠ABI＝∠CBI，从而得到∠BID＝∠IBD，即可求证； （2）过O作OH⊥AD于点H，根据垂径定理可得AH＝HD，根据三角形中位线定理可得OHBD＝1，再证明△BDI是等腰直角三角形，可得ID＝BD＝2．∠BID＝45°，从而得到△OH1是等腰直角三角形，进而得到OH＝H1＝1，即可求解． 【详解】（1）证明：∵I是△ABC的内心， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD．∠ABI＝∠CBI， ∴∠BID＝∠BAD+∠ABI＝∠CBD+∠CBI＝∠IBD． ∴DI＝DB； （2）解：过O作OH⊥AD于点H， ∴AH＝HD， ∵点O为AB的中点， ∴OHBD＝1， ∵AB为直径， ∴∠D＝90° ∵DI＝DB， ∴△BDI是等腰直角三角形， ∴ID＝BD＝2．∠BID＝45°， ∵IO⊥BI，即∠OIB＝90°， ∴∠OIH＝45°， ∴△OHI是等腰直角三角形， ∴OH＝HI＝1， ∴AH＝HD＝HI+DI＝HI+DB＝1+2＝3， ∴AL＝AH+HI＝4． 【点睛】本题主要查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内心问题，三角形中位线定理，熟练掌握以上知识是解题关键． 21．（12分）（2022秋•东宝区期末）如图，直角△ACB，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以AC为直径作⊙O，点G为AB的中点，连接CG交⊙O为E点； （1）求证：点E为CG的中点； （2）过E点作ED⊥AB，D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若CF＝2，求BC的长． 【分析】（1）连接OE，利用直角三角形斜边上的中线性质得到AG＝CG，则△ACG为等边三角形，再判断△OCE是等边三角形得到∠AGC＝∠OEC＝60°，所以OE∥AB，锐角利用O为AC中点得到E为CG的中点； （2）利用（1）中OE∥AG得到OE⊥ED，然后根据切线的判定定理得到结论； （3）作GM∥FD交BC于M，如图，先证明CM＝2CF，MC＝MG，再利用△MGB为30°角的直角三角形得到BM＝2MG＝2CM＝4CF，然后利用BC＝6CF进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接OE，∵G为Rt△ABC斜边的中点． ∴AG＝CG， 又∵∠A＝60°， ∴△ACG为等边三角形， ∴∠C＝∠AGC＝60°， 又∵CO＝OE， ∴△OCE是等边三角形， ∴∠AGC＝∠OEC＝60°． ∴OE∥AB， ∵O为AC中点， ∴E为CG的中点； （2）证明：由（1）得OE∥AG， ∵ED⊥AG， ∴OE⊥ED， ∴DE是⊙O的切线； （3）解：作GM∥FD交BC于M，如图， ∵E为CG的中点， ∴EF为△CMG的中位线， ∴EFMG， ∵CF、FE是⊙O的切线． ∴CF＝EF， ∴MC＝MG， ∵△MGB为30°角的直角三角形， ∴BM＝2MG＝2CM＝4CF， ∴BC＝6CF＝6×2＝12． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．也考查了直角三角形斜边上的中线性质． 22．（14分）（2024•南岗区校级开学）如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC、AD． （1）如图1，求证：∠ACD＝∠ADC； （2）如图2，连接BC，过点O作OK⊥AD于点K，求证：BC＝2OK； （3）如图3，在（2）的条件下，点F在弧AD上，，连接AF，AF＝6，CD＝8，求OK的长． 【分析】（1）根据垂径定理可得CE＝DE，∠AEC＝∠AED＝90°，由此可证△AEC≌△AED，根据全等三角形的性质即可求证； （2）连接BD，根据垂径定理可得点K是AD中点，由此可得OK是中位线，可得BD＝2OK，由（1）可得∠CAE＝∠DAE，根据弦、弧的关系，可得BC＝BD，由此即可求证； （3）根据题意，连接BD，DF，BF，OD，根据圆的基础知识，可证△BCD≌△DBF，可得CD＝BF＝8，运用勾股定理可得AB的值，在Rt△ODE中可求出OE的值，BE，BD的值，由（2）的结论可得OK的值． 【详解】（1）证明：∵AB是直径，弦CD⊥AB， ∴CE＝DE，∠AEC＝∠AED＝90°，且AE＝AE， ∴△AEC≌△AED（SAS）， ∴∠ACD＝∠ADC； （2）证明：如图2所示，连接BD， ∵AB是直径，OK⊥AD ∴∠ADB＝90°，∠AKO＝90°，AK＝DK， ∴OK∥BD，点K是AD的中点，且点O是AB的中点， ∴，即BD＝2OK， 由（1）可得，△AEC≌△AED， ∴∠CAE＝∠DAE， ∴， ∴BC＝BD， ∴BC＝2OK； （3）解：如图3，连接BD，DF，BF，OD， 由（1）可知，BC＝BD， ∵， ∴BC＝BD＝DF，∠BCD＝∠FBD， ∵， ∴， ∴∠BDC＝∠DFB， ∴△BCD≌△DBF（AAS）， ∴CD＝BF＝8， ∵AB是直径， ∴∠AFB＝90°， 在Rt△ABF中，， ∴， ∵CD⊥AB， ∴， 在Rt△ODE中，， ∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2， 在Rt△BDE中，， 由（2）可得，， ∴OK的长为． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握垂径定理，圆周角定理，直径所对圆周角为直角，三角形中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章《圆》提优验收卷（B卷） （时间：90分钟 满分：120分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1． 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2023秋•宣化区期末）小明在半径为5的圆中测量弦AB的长度，下列测量结果中一定是错误的是（　　） A．4 B．5 C．10 D．11 2．（2024•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O．过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是（　　） A．50° B．100° C．130° D．150° 3．（2023秋•长沙县期末）下列说法中，正确的是（　　） A．同心圆的周长相等 B．面积相等的圆是等圆 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弧的弦一定经过圆心 4．（2024•利川市模拟）如图，边长为4的正方形OABC的顶点B在⊙O上，顶点A，C在⊙O内，OA的延长线交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（　　） A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．4π﹣4 D． 5．（2024•重庆模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC，BD，CD是⊙O的弦．若∠D＝30°，AB＝4，则弦AC的长度为（　　） A． B． C．3 D． 6．（2024•青阳县三模）如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热．如图2，它的截面图可以近似看作是由⊙O去掉两个弓形后与矩形ABCD组合而成的图形，其中BC∥MN，若⊙O的半径为25，AB＝36，BC＝14，MN＝30，则该平底烧瓶的高度为（　　） A．20 B．40 C．60 D．80 7．（2024•韩城市二模）圆形螺母（如图1）是生活中常见的机械零件，某工人师傅把直尺、直角三角尺和圆形螺母按如图2所示的位置放置于桌面上，直尺的上边缘、直角三角尺的斜边分别与螺母的外圆相切于点D、E，直角三角尺的较短直角边BC与直尺的上边缘重合，∠ABC＝60°，经测量，BD＝4cm，则该圆形螺母外圆的直径是（　　） A．8cm B． C．12cm D． 8．（2024•河北二模）如图，正五边形ABCDE中，AB＝6，连接AC，点O在线段AC上，连接OB，OD，OE将五边形分成面积为S1，S2，S3，S4，S5的五部分，则下列式子不能确定大小的是（　　） A．S1+S2 B．S3+S5 C．S1+S2+S4 D．S2+S3 9．（2024•溧阳市模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交⊙O于P，则当C在⊙O上运动时，点P的位置（　　） A．随点C的运动而变化 B．不变 C．在使PA＝OA的劣弧上 D．无法确定 10．（2025•德阳模拟）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2024•郴州模拟）如图，在⊙O中，，∠A＝40°，则∠B＝　 　 度． 12．（2024•徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C＝20°，则∠CAD＝　 　 °． 13．（2024•镇江）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB＝1，∠D＝60°，则的长l＝ 　 （结果保留π）． 14．（2024秋•南岗区校级月考）在⊙O中，AB为直径，AB＝10，点M、点N均在⊙O上，MN⊥AB，将点B沿直线MN翻折，翻折后点B的对应点为点D，若AD＝2，则MD的长为 　 ． 15．（2024秋•建邺区校级月考）若过平面直角坐标系中的三个点A（1，0）、B（0，2）、C（﹣1，m）能确定一个圆，则m≠　 　 ． 16．（2023秋•溧阳市期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是的中点，P是直径AB上的一动点，则PM+PN的最小值为　 　 ． 三．解答题（本大题共6小题，共66分） 17．（8分）（2022秋•姑苏区校级期中）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证： （1）AD＝BC； （2）AE＝CE． 18．（10分）（2024•合水县一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C， （1）求证：CB∥PD； （2）若BC＝3，∠C＝30°，求⊙O的直径． 19．（10分）（2023秋•江阴市月考）如图，在平面直角坐标系中，有A（0，4），B（4，4），C（6，2）三点． （1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置； （2）圆心M的坐标为 　 　 ； （3）点D坐标为（8，﹣2），连接CD，判断直线CD与⊙M的位置关系，并说明理由． 20．（12分）（2025•凤阳县一模）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上不同于A，B的一点，I是△ABC的内心，AI的延长线交半圆O于点D，连接BI，BD，IO． （1）求证：DI＝DB； （2）若BD＝2，IO⊥BI，求AI的长． 21．（12分）（2022秋•东宝区期末）如图，直角△ACB，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以AC为直径作⊙O，点G为AB的中点，连接CG交⊙O为E点； （1）求证：点E为CG的中点； （2）过E点作ED⊥AB，D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若CF＝2，求BC的长． 22．（14分）（2024•南岗区校级开学）如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC、AD． （1）如图1，求证：∠ACD＝∠ADC； （2）如图2，连接BC，过点O作OK⊥AD于点K，求证：BC＝2OK； （3）如图3，在（2）的条件下，点F在弧AD上，，连接AF，AF＝6，CD＝8，求OK的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $