第24章《圆》基础巩固训练诊断卷 （A卷）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第24章《圆》基础巩固训练诊断卷 （A卷） （时间：90分钟 满分：120分） 1． 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2024•宜昌模拟）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（2024•湖南）如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为（　　） A．60° B．75° C．90° D．135° 3．（2023秋•准格尔旗期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠CBE＝70°，则∠ADC的度数为（　　） A．110° B．70° C．140° D．160° 4．（2023秋•邻水县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（　　） A．44 B．42 C．46 D．47 5．（2024•鹤山市一模）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝30°，OD＝4，则AC等于（　　） A．6 B．4 C． D．3 6．（2024•遵义二模）如图，已知点O是△ABC的外心，连接OA，OB，OC，若∠1＝40°，则∠BAC的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 7．（2023秋•金安区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣8，﹣4），则点N的坐标为（　　） A．（﹣5，﹣4） B．（﹣4，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣2，﹣4） 8．（2024•献县模拟）如图，点A，B，C，D，E，F是圆O的六等分点，若△OBD与△CBD的周长分别为a，b，则下列说法正确的是（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a，b的大小无法比较 9．（2023秋•重庆期中）如图，AB是⊙O的一条弦，过点O作OE⊥AB于点E，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．若∠AOB＝120°，⊙O的半径为6，则CD的长为（　　） A．9 B．9 C．39 D． 10．（2024•阳泉三模）如图，四边形OABC1是正方形，曲线C1C2，C2C3，C3C4，C4C5，⋯叫作“正方形的渐开线”，其中C1C2，C2C3，C3C4，C4C5，的圆心依次按O，A，B，C1循环，当OA＝1时，弧C2024C2025的长为（　　） A．1012π B．1022.5π C．2024π D．2025π 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2022秋•青山湖区期中）过圆O内一点P的最长的弦、最短弦的长度分别是10cm，8cm，则OP＝　　 cm． 12．（2024•罗湖区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝40°，则∠AOE＝　　 ． 13．（2025•前郭县模拟）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA＝1m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为　 m2． 14．（2024•常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD．若∠BCD＝20°，则∠ABD＝　 　 °． 15．（2024春•庐阳区校级月考）下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 　 cm． 16．（2024•石阡县模拟）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧10cm处．若⊙P以2cm/s的速度由A向B的方向移动，则 　 　 s后，⊙P与直线CD相切． 三．解答题（本大题共6小题，共66分） 17．（2023秋•廉江市期中）如图，AB为⊙O的直径，弦DA，BC的延长线相交于点P，且BC＝PC，求证：∠BAD＝2∠P． 18．（2023秋•斗门区期末）如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且OE＝OF． （1）求证：AE＝BF； （2）求证：． 19．（2023秋•西山区校级期中）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为10cm，点P在⊙O上（点P不与点A，B重合）． （1）直接写出∠APB的度数 　 ； （2）连接OA，OC，得到扇形OAC，将扇形OAC围成一个圆锥，求该圆锥的底面圆的半径． 20．探究题根据素材解决问题． 设计货船通过圆形拱桥的方案 素材1：有一座圆拱石桥，如图①是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m． 素材2：如图②，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3m，EH＝10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（m）与货船增加的载重量x（t）满足函数关系式yx． 问题解决 任务1：求圆形桥拱的半径长． 任务2：根据图②中的状态，货船能否通过圆形桥拱？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 21．（2024•剑河县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是弧AB的中点，CD与AB交于点E，CF是⊙O的切线，交AB的延长线于点F，连接BD． （1）写出图中一对相等的角：　 ； （2）求证：CF＝EF； （3）若CF＝4，BF＝2，求⊙O的半径． 22．（2024•淮北校级二模）如图1，圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E，∠BAC＝∠ADB． （1）求证：DB平分∠ADC； （2）如图2，过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若BD平分∠ABC，AC＝AD，求证：CF是圆的切线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章《圆》基础巩固训练诊断卷 （A卷） （时间：90分钟 满分：120分） 1． 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的选项中只有一个选项符合题意） 1．（2024•宜昌模拟）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【详解】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O内， ∴OP＜5． 故选：D． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r． 2．（2024•湖南）如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为（　　） A．60° B．75° C．90° D．135° 【分析】根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴∠A． 又∵∠A＝45°， ∴∠BOC＝2×45°＝90°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知圆周角定理是解题的关键． 3．（2023秋•准格尔旗期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠CBE＝70°，则∠ADC的度数为（　　） A．110° B．70° C．140° D．160° 【分析】利用圆内接四边形的性质即可．证明∠ADC＝∠CBE即可得到答案． 【详解】解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠ADC＝∠CBE＝70°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆的内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的性质即可 4．（2023秋•邻水县期末）如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为（　　） A．44 B．42 C．46 D．47 【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC，根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形， ∴AD+BC＝AB+CD＝22， ∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44， 故选：A． 【点睛】本题考查的是切线长定理，掌握圆外切四边形的对边之和相等是解题的关键． 5．（2024•鹤山市一模）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝30°，OD＝4，则AC等于（　　） A．6 B．4 C． D．3 【分析】连接OC，证明OC⊥DC，结合OD＝4，∠D＝30°，可得OC＝2，∠COD＝60°，，∠D＝∠A＝30°，据此可得答案． 【详解】解：如图，连接OC， ∵DC切⊙O于点C， ∴OC⊥DC， ∵OD＝4，∠D＝30°， ∴，∠DOC＝60°， ∴∠A＝∠OCA＝30°，， ∴∠D＝∠A＝30°， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是切线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（2024•遵义二模）如图，已知点O是△ABC的外心，连接OA，OB，OC，若∠1＝40°，则∠BAC的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【分析】根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结果． 【详解】解：∵点O为△ABC的外心， ∴OB＝OC， ∴∠OCB＝∠1＝40°， ∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BACBOC＝50°， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理，熟记圆周角定理是解决问题的关键． 7．（2023秋•金安区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M的坐标是（﹣8，﹣4），则点N的坐标为（　　） A．（﹣5，﹣4） B．（﹣4，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（﹣2，﹣4） 【分析】作AB⊥MN于B，连结AM，如图，设⊙A的半径为r，先根据切线的性质得OA＝r，则点A的坐标为（﹣r，0），得到B点坐标为（﹣r，﹣4），然后在Rt△ABM中，根据勾股定理求得r＝5，据此求解即可． 【详解】解：作AB⊥MN于B，连结AM，如图，设⊙A的半径为r． ∵⊙A与y轴相切于原点O， ∴OA＝r， ∴点A的坐标为（﹣r，0）． ∵AB⊥MN， ∴BM＝BN． ∵MN∥x轴，M（﹣8，﹣4）， ∴B点坐标为（﹣r，﹣4）． 在Rt△ABM中，AB＝4，AM＝r，BM＝8﹣r． ∵AB2+BM2＝AM2， ∴42+（8﹣r）2＝r2， 解得：r＝5， ∴BM＝3， ∴BN＝3， ∴N点坐标为（﹣2，﹣4）． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，掌握坐标与图形的性质，勾股定理，垂径定理是解题的关键． 8．（2024•献县模拟）如图，点A，B，C，D，E，F是圆O的六等分点，若△OBD与△CBD的周长分别为a，b，则下列说法正确的是（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a，b的大小无法比较 【分析】根据圆内接正六边形的性质以及正三角形的判定和性质进行计算即可． 【详解】解：如图，连接OC， ∵点A，B，C，D，E，F是圆O的六等分点， ∴∠BOC＝∠COD60°， 又∵OB＝OC＝OD， ∴△BOC、△COD是正三角形， ∴OB＝OC＝BC＝CD＝OD， ∴OB+OD+BD＝BC+CD+BD， 即△OBD的周长a与△CBD的周长b相等， ∴a＝b， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，正三角形的判定和性质是正确解答的关键． 9．（2023秋•重庆校级期中）如图，AB是⊙O的一条弦，过点O作OE⊥AB于点E，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．若∠AOB＝120°，⊙O的半径为6，则CD的长为（　　） A．9 B．9 C．39 D． 【分析】过D作DH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质得到∠AOE＝∠BOEAOB＝60°，求得∠OBE＝30°，根据勾股定理得到AE＝BE9，得到OC，根据勾股定理得到CE，根据切线的性质得到∠DBO＝90°，得到DB＝DE，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过D作DH⊥AB于H， ∵OA＝OB，OE⊥AB， ∴∠AOE＝∠BOEAOB＝60°， ∴∠OBE＝30°， ∵OA＝OB＝6， ∴OEOA＝3， ∴AE＝BE9， ∵EC⊥OA， ∴OC， ∴CE， ∵∠AOE＝60°， ∴∠OEC＝30°， ∴∠DEB＝60°， ∵BD是⊙O的切线， ∴∠DBO＝90°， ∴∠EBD＝60°， ∴DB＝DE， ∴EH， ∴DE＝2EH＝9， ∴CD＝CE+DE9， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 10．（2024•阳泉三模）如图，四边形OABC1是正方形，曲线C1C2，C2C3，C3C4，C4C5，⋯叫作“正方形的渐开线”，其中C1C2，C2C3，C3C4，C4C5，的圆心依次按O，A，B，C1循环，当OA＝1时，弧C2024C2025的长为（　　） A．1012π B．1022.5π C．2024π D．2025π 【分析】依次求出弧C1C2，C2C3，C3C4，⋯，的长度，发现规律即可解决问题． 【详解】解：因为四边形OBAC1是正方形，且AB＝1， 所以O为圆心的圆的半径为1， 则， 同理可得， ， ， …， 依次类推，（n为大于1的正整数）， ． 故选：A． 【点睛】本题考查弧长的计算．发现规律是解题的关键． 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（2022秋•青山湖区期中）过圆O内一点P的最长的弦、最短弦的长度分别是10cm，8cm，则OP＝　3　 cm． 【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长． 【详解】解：如图所示，CD⊥AB于点P． 根据题意，得 AB＝10cm，CD＝6cm． ∵CD⊥AB， ∴CPCD＝4cm． 根据勾股定理，得OP3（cm）． 故答案为：3． 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 12．（2024•罗湖区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝40°，则∠AOE＝　60°　 ． 【分析】由圆心角、弧、弦的关系推出∠BOC＝∠DOE＝∠COD＝40°，由平角定义即可求出∠AOE的度数． 【详解】解：∵，∠COD＝40°， ∴∠BOC＝∠DOE＝∠COD＝40°， ∴∠AOE＝180°﹣40°×3＝60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆心角、弧、弦的关系推出∠BOC＝∠DOE＝∠COD． 13．（2025•前郭县模拟）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA＝1m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为　　 m2． 【分析】由题知意，，，根据花窗的面积为S扇形OAB﹣S△OCD，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点C，D分别是OA，OB的中点， ∴， ∴， ∴花窗的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积．正确表示花窗的面积是解题的关键． 14．（2024•常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD．若∠BCD＝20°，则∠ABD＝　70　 °． 【分析】先利用圆周角定理得出∠BAD的度数，再根据AB为圆的直径，得出∠ADB的度数，据此可求出∠ABD的度数． 【详解】解：∵， ∴∠BAD＝∠BCD＝20°． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣20°＝70°． 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆周角定理是解题的关键． 15．（2024春•庐阳区校级月考）下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为 　　 cm． 【分析】由题意可知，OI2＝R2﹣2Rr，即可求得△ABC的外心与内心之间的距离． 【详解】解：由题意可知，OI2＝R2﹣2Rr＝52﹣2×5×2＝5（cm）， ∴△ABC的外心与内心之间的距离（cm）， 故答案为：． 【点睛】本题考三角形的内心与外心，理解题意是解决问题的关键． 16．（2024•石阡县模拟）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为2cm的⊙P的圆心在直线AB上，且位于点O左侧10cm处．若⊙P以2cm/s的速度由A向B的方向移动，则 　3或7　 s后，⊙P与直线CD相切． 【分析】当⊙P1在直线CD左侧时如图，由∠AOD＝30°，求得P1O，则有P1P即可求得时间；当⊙P2在直线CD右侧时，同理求得PP2即可求得时间． 【详解】解：当⊙P1在直线CD左侧时，过点P1作P1E⊥CD交CD于点E，如图， ∴P1E＝2cm，∠P1EO＝90°， ∵∠AOD＝30°， ∴P1O＝2P1E＝4cm， ∴PP1＝OP﹣OP1＝10﹣4＝6cm， 则⊙P向右移动了6cm，所用时间秒； 当⊙P2在直线CD右侧时，如图， 过点P2作P2F⊥CD交CD于点F，则P2F＝2cm，∠P2FO＝90°， ∵∠COB＝∠AOD＝30°， ∴P2O＝4cm， ∴PP2＝OP+OP2＝14cm， 则⊙P向右移动了14cm，所用时间秒． 故答案为：3或7． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握含30°角的直角三角形的性质，圆的切线性质是解题的关键． 三．解答题（本大题共6小题，共66分） 17．（2023秋•廉江市期中）如图，AB为⊙O的直径，弦DA，BC的延长线相交于点P，且BC＝PC，求证：∠BAD＝2∠P． 【分析】连接AC，根据AB为圆心O的直径可知∠ACB＝90°，即AC⊥BP．再根据BC＝PC可知AC为BP的垂直平分线得到AB＝AP，根据等腰三角形的性质得到∠P＝∠B，由三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】证明：连接AC， ∵AB为圆心O的直径， ∴∠ACB＝90°，即AC⊥BP． ∵BC＝PC， ∴AC为BP的垂直平分线， ∴AB＝AP， ∴∠P＝∠B， ∴∠BAD＝∠P+∠B＝2∠P． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键． 18．（2023秋•斗门区期末）如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且OE＝OF． （1）求证：AE＝BF； （2）求证：． 【分析】（1）过O作OM⊥AB于M，连接OA、OB，根据等腰三角形的性质求出AM＝BM，EM＝FM，再求出答案即可； （2）根据等腰三角形的性质求出∠AOM＝∠BOM，∠EOM＝∠FOM，求出∠AOC＝∠BOD，再求出答案即可． 【详解】证明：（1）过O作OM⊥AB于M，连接OA、OB， ∵OA＝OB，OE＝OF， ∴AM＝BM，EM＝FM， ∴AM﹣EM＝BM﹣FM， ∴AE＝BF； （2）∵OM⊥AB，OA＝OB，OE＝OF， ∴∠AOM＝∠BOM，∠EOM＝∠FOM， ∴∠AOM﹣∠EOM＝∠BOM﹣∠FOM， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记等腰三角形的性质（等腰三角形顶角的平分线，底边的中线，底边上的高互相重合）是解此题的关键． 19．（2023秋•西山区校级期中）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为10cm，点P在⊙O上（点P不与点A，B重合）． （1）直接写出∠APB的度数 　36°或144°　 ； （2）连接OA，OC，得到扇形OAC，将扇形OAC围成一个圆锥，求该圆锥的底面圆的半径． 【分析】（1）根据正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论； （2）根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：（1）如图，连接OA，OB， ∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆， ∴∠AOB， ∴∠APBAOB＝36°， ∴∠AP′B＝180°﹣∠APB＝144°， 故答案为：36°或144°； （2）∵∠AOB＝∠BOC＝72°， ∴的长度8π， ∴该圆锥的底面圆的半径为4（cm）， 答：圆锥的底面圆的半径为4cm． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，弧长的计算，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 20．探究题根据素材解决问题． 设计货船通过圆形拱桥的方案 素材1：有一座圆拱石桥，如图①是其圆形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16m，拱顶离水面的距离CD＝4m． 素材2：如图②，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3m，EH＝10m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y（m）与货船增加的载重量x（t）满足函数关系式yx． 问题解决 任务1：求圆形桥拱的半径长． 任务2：根据图②中的状态，货船能否通过圆形桥拱？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 【分析】任务1，设圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，设桥拱的半径为r m，则OD＝（r﹣4）m，由勾股定理，垂径定理，列出关于半径的方程，即可解决问题； 任务2，由勾股定理得到货船不能通过圆形桥拱，通过计算，即可得到需要增加的货物的吨数． 【详解】解：任务1，设圆心为点O，则点O在CD延长线上，延长CD，则CD经过点O，连结AO，如图， 设桥拱的半径为r m，则OD＝（r﹣4）m， ∵OC⊥AB， ∴AD＝BDAB＝8m， ∵OD2+AD2＝OA2， ∴（r﹣4）2+82＝r2， ∴r＝10， ∴圆形拱桥的半径为10m； 任务2，根据图3状态，货船通过圆形桥拱，至少要增加10吨的货物才能通过．理由： 当EH是⊙O的弦时，EH与OC的交点为M，连接OE，OH，如图， ∵四边形EFGH为矩形， ∴EH∥FG， ∵OC⊥AB， ∴OM⊥EH． ∴EMEH＝5m， ∴OM5m， ∵OD＝OC﹣CD＝6m， ∴DM＝（5）m＜3m， ∴根据图②状态，货船不能通过圆形桥拱， ∵货船的载重量每增加1吨，则船身下降0.01m． ∴船在水面部分可以下降的高度（3﹣56）÷0.01＝34（吨）， ∴至少要增加34吨的货物才能通过． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，垂径定理的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 21．（2024•剑河县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是弧AB的中点，CD与AB交于点E，CF是⊙O的切线，交AB的延长线于点F，连接BD． （1）写出图中一对相等的角：　∠CAB＝∠CDB（答案不唯一）　 ； （2）求证：CF＝EF； （3）若CF＝4，BF＝2，求⊙O的半径． 【分析】（1）利用圆周角定理可判断∠CAB＝∠CDB； （2）连接OC、OD，如图，先根据切线的性质得到∠OCF＝90°，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD＝∠BOD＝90°，再证明∠FCE＝∠DEO，然后利用∠DEO＝∠FEC得到∠FCE＝∠FEC，所以FC＝FE； （3）设⊙O的半径为r，在Rt△OCF中利用勾股定理得到r2+42＝（r+2）2，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵∠CAB与∠CDB都对， ∴∠CAB＝∠CDB； 故答案为：∠CAB＝∠CDB；（答案不唯一） （2）证明：连接OC、OD，如图， ∵CF是⊙O的切线， ∴OC⊥CF， ∴∠OCF＝90°， 即∠OCD+∠FCE＝90°， ∵点D是弧AB的中点，AB是⊙O的直径， ∴∠AOD＝∠BOD＝90°， ∴∠ODC+∠DEO＝90°， ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC， ∴∠FCE＝∠DEO， ∵∠DEO＝∠FEC， ∴∠FCE＝∠FEC， ∴FC＝FE； （3）解：设⊙O的半径为r，则OC＝OB＝r， 在Rt△OCF中，∵OC＝r，CF＝4，FO＝r+2， ∴r2+42＝（r+2）2， 解得r＝3， 即⊙O的半径为3． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理． 22．（2024•淮北校级二模）如图1，圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E，∠BAC＝∠ADB． （1）求证：DB平分∠ADC； （2）如图2，过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若BD平分∠ABC，AC＝AD，求证：CF是圆的切线． 【分析】（1）同弧所对的圆周角相等，得到∠BAC＝∠BDC，进而推出∠ADB＝∠BDC即可； （2）先证明△ABD≌△CBD，推出△ACD是正三角形，进而推出∠DAB＝90°，得到BD是圆的直径，取BD中点O，连接OC，易得△OBC是正三角形，推出∠OCF＝90°，即可得证． 【详解】证明：（1）∵弧BC＝弧BC， ∴∠BAC＝∠BDC． ∵∠BAC＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠BDC， ∴BD平分∠ADC． （2）∵BD平分∠ABC， ∴． ∵，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD． ∴AD＝CD． ∵AC＝AD ∴△ACD是正三角形． ∴∠ABD＝∠CAD＝60°． ∵ABCD为圆内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC＝180°． ∴∠ADB+∠DBA＝90°． ∴∠DAB＝90°． ∴BD是圆的直径． ∵CF∥AD， ∴∠F＝90° 取BD中点O，连接OC， ∵OB＝OC， ∴△OBC是正三角形． ∴∠BOC＝60°，则∠ABD＝∠BOC＝60°， ∴OC∥AF． ∴∠OCF＝90°． ∴OC⊥CF． ∴CF为⊙O的切线． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $