第24章《圆》的辅助线的10种作法专项练习-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第24章《圆》的辅助线的10种作法 类型一 添半径，得等腰 1．（2017秋•禹州市期末）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是　60°　 ． 2．（2024秋•黄石期末）如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数 　70°　 ． 类型二 构造直径所对的圆周角 3．（2024•久治县二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数是（　　） A．110° B．115° C．120° D．125° 4．（2024秋•永嘉县期末）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝25°，则的度数是（　　） A．50° B．65° C．100° D．130° 5．（2024•永春县模拟）如图，已知⊙O的直径为8，A、B、C三点在⊙O上，且∠ACB＝60°，则AB长为 　4　 ． 类型三 遇90°圆周角，构造直径 6．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（　　） A．4 B．8 C．4 D．4 7．（2023•邵阳县模拟）有位同学把一块圆形玻璃打碎，如图．他把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃的周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，他就知道圆玻璃的半径是 　5　 cm． 类型四 圆上多点，构造圆内接四边形 8．（2024•西安区模拟）如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，BE是直径，BE∥CD，∠E＝28°，则∠A的度数为（　　） A．28° B．56° C．62° D．68° 9．（2022秋•成武县期末）如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，，∠D＝128°，则∠B的度数为（　　） A．128° B．126° C．118° D．116° 10．（2024秋•邳州市期中）如图，在△AEC中，AE＝CE，⊙O经过△AEC顶点A、C，与AE、CE分别交于点B、D．求证：AB＝CD． 类型五 有弦的中点时，构造三角形中位线 11．（2024秋•临高县期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD的长度始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD＝6，AB＝I0，则EF的最大值为 　5　 ，此时CE的长度为 　4　 ． 12．（2024•富顺县模拟）如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC＝6时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由． 类型六 有切线，连圆心与切点，得垂直 13．（2024•滑县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D．若BE＝3，BD＝3，则半圆O的半径为 　6　 ． 14．（2024•丰台区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作⊙O的切线CE交AD的延长线于点E． （1）求证：CE⊥AE； （2）连接BD，若BC＝6，AC＝8，求BD的长． 类型七 连半径，证垂直，得切线 15．（2024秋•泉山区月考）如图：在△ABC中AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．求证：直线DE是⊙O的切线． 16．（2024•鄄城县三模）如图，以△ABC的边AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，已知，过点D作DF⊥AC于点F． 求证：DF是⊙O的切线； 类型八 作垂直，证半径，得切线 17．（2024秋•岑溪市期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝10，EB＝6． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 类型九 遇内心，作边的垂线，构造直角三角形 18．（2023•西湖区二模）如图，点O为△ABC的内心，∠B＝60°，BM≠BN，点M，N分别为AB，BC上的点，且OM＝ON．甲、乙两人有如下判断：甲：∠MON＝120°：乙：当MN⊥BC时，△MON的周长有最小值．则下列说法正确的是（　　） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 类型十 构造隐圆 19．（2025•丛台区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点M、N分别是△ABC的内心和外心，则MN＝　　 ． 20．（2023•合肥模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，P是矩形内部一动点，且满足∠BCP＝∠PDC，则线段BP的最小值是 　2　 ；当BP取最小值时，DP延长线交线段BC于E，则CE的长为 　3　 ． 21．（2024•武汉模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD＝BO，∠DBC＝15°，则∠BDC＝　35°　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章《圆》的辅助线的10种作法 类型一 添半径，得等腰 1．（2017秋•禹州市期末）如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是　60°　 ． 【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解． 【详解】解：连接OD， ∵CD＝OA＝OD，∠C＝20°， ∴∠ODE＝2∠C＝40°， ∵OD＝OE， ∴∠E＝∠EDO＝40°， ∴∠EOB＝∠C+∠E＝40°+20°＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质，难度不大，属于基础题． 2．（2024秋•黄石期末）如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数 　70°　 ． 【分析】连接OE，由弧CE的度数为40°，得到∠COE＝40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC＝∠OCE＝70°． 【详解】解：连接OE，如图， ∵弧CE的度数为40°， ∴∠COE＝40°， ∵OC＝OE， ∴∠OCE＝∠OEC， ∴∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°， ∵弦CE∥AB， ∴∠AOC＝∠OCE＝70°． 【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等，等腰三角形的性质和平行的性质以及三角形的内角和定理． 类型二 构造直径所对的圆周角 3．（2024•久治县二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数是（　　） A．110° B．115° C．120° D．125° 【分析】连接AC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠ACD＝20°，然后计算∠ACB+∠ACD计算． 【详解】解：连接AC，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACD＝∠AED＝20°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+20°＝110°． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．（2024秋•永嘉县期末）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝25°，则的度数是（　　） A．50° B．65° C．100° D．130° 【分析】根据圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系解答即可． 【详解】解：连接OC， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝25°， ∴∠CBA＝65°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝130°， ∴的度数是130°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键． 5．（2024•永春县模拟）如图，已知⊙O的直径为8，A、B、C三点在⊙O上，且∠ACB＝60°，则AB长为 　4　 ． 【分析】作直径AD，连接BD，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，∠D＝∠ACB＝60°，根据直角三角形的性质解答． 【详解】解：作直径AD，连接BD， ∴∠ABD＝90°， 由圆周角定理得，∠D＝∠ACB＝60°， ∴∠DAB＝30°， ∴DBAD＝4， ∴AB4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 类型三 遇90°圆周角，构造直径 6．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（　　） A．4 B．8 C．4 D．4 【思路引领】连接AB，可得△ABC是直角三角形，利用圆周角定理可得∠ABC＝∠ADC＝30°，在Rt△ABC中，AC＝4，利用三角函数可求出BC的长． 【解答】解：连接AB，如图所示， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°． ∵∠ADC＝30°， ∴∠ABC＝∠ADC＝30°． ∴在Rt△ABC中， tan∠ABC， ∴BC． ∵AC＝4， ∴BC4． 故选：A． 【总结提升】本题考查了圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角相等”是解题的关键． 7．（2023•邵阳县模拟）有位同学把一块圆形玻璃打碎，如图．他把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃的周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8cm，ON＝6cm，他就知道圆玻璃的半径是 　5　 cm． 【分析】根据圆周角定理可得MN是直径，再由勾股定理可求出MN，进而求出半径即可． 【详解】解：如图，连接MN， ∵∠MON＝90°， ∴MN是圆的直径， ∵OM＝8cm，ON＝6cm， ∴MN10（cm）， ∴半径为5cm， 故答案为：5． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，掌握“90°的圆周角所对的弦是直径”以及勾股定理是正确解答的关键． 类型四 圆上多点，构造圆内接四边形 8．（2024•西安区模拟）如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，BE是直径，BE∥CD，∠E＝28°，则∠A的度数为（　　） A．28° B．56° C．62° D．68° 【分析】连接BC，根据平行线的性质求出∠ECD，根据圆周角定理得到∠BCE＝90°，进而求出∠BCD，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接BC， ∵BE∥CD，∠E＝28°， ∴∠ECD＝∠E＝28°， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BCE＝90°， ∴∠BCD＝90°+28°＝118°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∴∠A＝180°﹣∠BCD＝62°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 9．（2022秋•成武县期末）如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点，，∠D＝128°，则∠B的度数为（　　） A．128° B．126° C．118° D．116° 【分析】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠CAE，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出∠ACE，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案． 【详解】解：连接AC、CE， ∵点A、C、D、E都是⊙O上的点， ∴∠CAE+∠D＝180°， ∴∠CAE＝180°﹣128°＝52°， ∵， ∴∠ACE＝∠AEC（180°﹣52°）＝64°， ∵点A、B、C、E都是⊙O上的点， ∴∠AEC+∠B＝180°， ∴∠B＝180°﹣64°＝116°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 10．（2024秋•邳州市期中）如图，在△AEC中，AE＝CE，⊙O经过△AEC顶点A、C，与AE、CE分别交于点B、D．求证：AB＝CD． 【分析】根据圆内接四边形的性质及等腰三角形的判定与性质即可得解． 【详解】证明：如图，连接BD， ∵AE＝CE， ∴∠A＝∠C， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠DBE＝∠C，∠BDE＝∠A， ∴∠DBE＝∠BDE， ∴ED＝EB， ∴AE﹣EB＝CE﹣ED， 即AB＝CD． 【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的性质是解题的关键． 类型五 有弦的中点时，构造三角形中位线 11．（2024秋•临高县期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD的长度始终保持不变，F是弦CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E．若CD＝6，AB＝I0，则EF的最大值为 　5　 ，此时CE的长度为 　4　 ． 【分析】如图，延长CE交⊙O于H，连接DH．由三角形的中位线定理可知DH＝2EF，推出DH是直径时，EF的值最大． 【详解】解：如图，延长CE交⊙O于H，连接DH． ∵AB⊥CH， ∴EC＝EH， ∵CF＝FD， ∴EFDH， ∴当DH在直径时，EF的值最大为5，此时∠DCH＝90°， ∴CH8， ∴CE＝4， ∴EF为最大5时，EC的长为4． 故答案为：5，4． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题． 12．（2024•富顺县模拟）如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC＝6时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）如图（1），根据垂径定理可得BDBC，然后只需运用勾股定理即可求出线段OD的长； （2）连接AB，如图（2），用勾股定理可求出AB的长，根据垂径定理可得D和E分别是线段BC和AC的中点，根据三角形中位线定理就可得到DEAB，DE保持不变； 【详解】解：（1）如图（1）， ∵OD⊥BC， ∴BDBC6＝3， ∵∠BDO＝90°，OB＝5，BD＝3， ∴OD4， 即线段OD的长为4． （2）存在，DE保持不变． 理由：连接AB，如图（2）， ∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5， ∴AB5， ∵OD⊥BC，OE⊥AC， ∴D和E分别是线段BC和AC的中点， ∴DEAB， ∴DE保持不变． 【点睛】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识，运用垂径定理及三角形中位线定理是解决第（2）小题的关键． 类型六 有切线，连圆心与切点，得垂直 13．（2024•滑县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D．若BE＝3，BD＝3，则半圆O的半径为 　6　 ． 【分析】连接OD，利用切线的性质得到OD⊥BC，设半圆O的半径为r，则OB＝3+r，OD＝r．结合勾股定理列得，求出r即可． 【详解】解：连接OD，如解图所示． ∵BC与半圆O相切于点D， ∴OD⊥BC． 设半圆O的半径为r，则OB＝3+r，OD＝r． 在Rt△BOD中，， 解得r＝6， ∴半圆O的半径为6． 【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，掌握切线的性质，勾股定理是解题的关键． 14．（2024•丰台区一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作⊙O的切线CE交AD的延长线于点E． （1）求证：CE⊥AE； （2）连接BD，若BC＝6，AC＝8，求BD的长． 【分析】（1）连接OC，由切线的性质推出OC⊥CE，由圆周角定理得到∠CAD＝∠BAC，由等腰三角形的性质推出∠ACO＝∠BAC，得到∠CAD＝∠ACO，推出CO∥AE，即可证明CE⊥AE； （2）由圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，由勾股定理求出AB10，得到OB＝5，令CH＝x，由勾股定理得到62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，求出x＝3.6，得到CH＝3.6，由勾股定理得到BH4.8，由垂径定理得到BD＝2BH＝9.6． 【详解】（1）证明：连接OC， ∵CE切圆于C， ∴OC⊥CE， ∵C是的中点， ∴∠CAD＝∠BAC， ∵OC＝OA， ∴∠ACO＝∠BAC， ∴∠CAD＝∠ACO， ∴CO∥AE， ∴CE⊥AE； （2）∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°， ∵BC＝6，AC＝8， ∴AB10， ∴OB＝5， ∵OC∥AE，BD⊥AD， ∴OC⊥BD， ∴BD＝2BH， 令CH＝x， ∵BH2＝BC2﹣CH2＝OB2﹣OH2， ∴62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2， ∴x＝3.6， ∴CH＝3.6， ∴BH4.8， ∴BD＝2BH＝9.6． 【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理，等腰三角形的性质推出CO∥AE，由勾股定理得到62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2． 类型七 连半径，证垂直，得切线 15．（2024秋•泉山区月考）如图：在△ABC中AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．求证：直线DE是⊙O的切线． 【分析】连接OD，如图，根据等腰三角形的性质，由BA＝BC得∠A＝∠C，由OA＝OD得∠A＝∠ODA，则∠ODA＝∠C，于是根据平行线的判定得到OD∥BC，加上DF⊥BC，所以DE⊥OD，然后根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：连接OD，如图， ∵BA＝BC， ∴∠A＝∠C， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA， ∴∠ODA＝∠C， ∴OD∥BC， ∵DF⊥BC， ∴DE⊥OD， ∴直线DE是⊙O的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线． 16．（2024•鄄城县三模）如图，以△ABC的边AB为直径的半圆O分别交BC，AC于点D，E，已知，过点D作DF⊥AC于点F． 求证：DF是⊙O的切线； 【分析】连接OC，由题意易得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后可得OC是△ABC的中位线，进而根据平行线的性质可进行求证； 【详解】证明：连接OD，如图所示： ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴∠B＝∠C， ∴AC＝AB， ∴DC＝DB， ∵OA＝OB， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴DF⊥OD， ∴DF是⊙O的切线； 【点睛】本题主要考查切线的性质与判定、圆周角的性质熟练掌握切线的性质与判定、圆周角的性质是解题的关键． 类型八 作垂直，证半径，得切线 17．（2024秋•岑溪市期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝10，EB＝6． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF（半径），即可得出AC是⊙D的切线． （2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC即可． 【详解】（1）证明：过点D作DF⊥AC于F；如图所示： ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B＝90° ∴AB⊥BC ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC ∴BD＝DF ∴AC是⊙D的切线； （2）解：在Rt△BDE和Rt△DCF中，， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴EB＝FC． ∵AB＝AF， ∴AB+EB＝AF+FC， 即AB+EB＝AC， ∴AC＝10+6＝16． 【点睛】本题考查的是切线的判定、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形全等得出EB＝FC是解决问题（2）的关键． 类型九 遇内心，作边的垂线，构造直角三角形 18．（2023•西湖区二模）如图，点O为△ABC的内心，∠B＝60°，BM≠BN，点M，N分别为AB，BC上的点，且OM＝ON．甲、乙两人有如下判断：甲：∠MON＝120°：乙：当MN⊥BC时，△MON的周长有最小值．则下列说法正确的是（　　） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误 【分析】连接OB，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，依据“HL”判定Rt△ODM和Rt△OEN全等，从而得出∠DOM＝∠EON，然后再根据四边形的内角和等于360°即可对甲的说法进行判断； 过点O作OF⊥MN于点F，则MN＝2NF，根据∠MON＝120°得∠NOF＝∠MOF＝60°，进而得，据此得△MON的周长为，只有当ON最小时，△MON的周长为最小，然后根据“垂线段最短”可对乙的说法进行判断． 【详解】解：连接OB，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E， ∵点O为△ABC的内心， ∴OB是∠ABC的平分线， 又OD⊥AB，OE⊥BC， ∴OD＝OE， 在Rt△ODM和Rt△OEN中， ， ∴Rt△ODM≌Rt△OEN（HL）， ∴∠DOM＝∠EON， 在四边形ODBE中，∠ODB＝∠OEB＝90°， ∴∠B+∠DOE＝180°， 又∠B＝60°， ∴∠DOE＝120°， 即：∠DON+∠EON＝120°， ∴∠DON+∠DOM＝120°， 即：∠MON＝120°， 故甲的说法正确； 过点O作OF⊥MN于点F， ∵OM＝ON，OF⊥MN ∴OF是∠MON的平分线，MF＝NF， ∴MN＝2NF， 又∵甲的说法正确； ∴∠MON＝120°， ∴∠NOF＝∠MOF＝60°， 在Rt△NOF中，， ∴， ∴， ∴△MON的周长为：， ∴当ON最小时，△MON的周长为最小， 根据“垂线段最短”可知：当ON⊥BC时，△MON的周长为最小， ∵MN⊥BC， ∴ON与BC一定不垂直， ∴ON不是最小， ∴△MON的周长不是最小， 故乙的说法不正确． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形的内心，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键正确的作出辅助线构造全等三角形，难点是在解答△MON的周长最小时，将三角形的各边都用ON表示，并根据垂线段最短来判断． 类型十 构造隐圆 19．（2025•丛台区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点M、N分别是△ABC的内心和外心，则MN＝　　 ． 【分析】连接MA、MB、MC，过点M作MD⊥AB于点D，作ME⊥AC于点E，作MF⊥BC于点F，根据勾股定理求得AB，根据三角形的外心性质求得BN，由三角形的内心性质得MD＝ME＝MF，再根据三角形的面积公式，由△ABC的边长求得DE，进而证明四边形MECF为正方形，求得CF，再证明 △BDM≌△BFM得BF＝BD，进而求得DN，最后由勾股定理求得MN． 【详解】解：连接MA、MB、MC，过点M作MD⊥AB于点D，作ME⊥AC于点E，作MF⊥BC于点F， ∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵N为Rt△ABC的外心， ∴AN＝BN＝5， ∵M为△ABCD的内心， ∴MD＝ME＝MN， ∵S△ABC＝S△MAB+S△MAC+S△MBC， ∴， ∴MD＝ME＝MF＝2， ∵∠MEC＝∠MCF＝∠MFC＝90°， ∴四边形MECF为正方形， ∴CF＝MF＝2， ∴BF＝6﹣2＝4， ∵MD＝MF，BM＝BM， ∴Rt△BDM≌Rt△BFM（HL）， ∴BD＝BF＝4， ∴DN＝BN﹣BD＝5﹣4＝1， ∴MN， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心与外心性质，三角形的面积公式，全等三角形的性质与判定，正方形的判定与性质，勾股定理，关键是作辅助线，利用三角形的内心与外心性质求得DM、DN． 20．（2023•合肥模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，P是矩形内部一动点，且满足∠BCP＝∠PDC，则线段BP的最小值是 　2　 ；当BP取最小值时，DP延长线交线段BC于E，则CE的长为 　3　 ． 【分析】通过辅助圆找到点P的位置，即可解决问题． 【详解】 解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∴∠BCP+∠DCP＝90°， ∵∠BCP＝∠PDC， ∴∠PDC+∠PCD＝90°， ∴∠CPD＝90°， 以CD为直径作⊙O，⊙O经过点P，连接OB，交⊙O于P，此时PB长最小． ∵OB2＝BC2+CO2＝42+32， ∴OB＝5， ∴PB＝OB﹣OP＝5﹣3＝2， （2）作OF∥BC交DE于F， ∵OC＝OD， ∴DF＝EF， ∴OFCE， ∵， ∴， ∴CE＝3． 故答案为：2；3． 【点睛】本题考查几何中的最值问题，关键是通过辅助圆得到PB最小时的点P． 21．（2024•武汉模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD＝BO，∠DBC＝15°，则∠BDC＝　35°　 ． 【分析】根据圆的定义判断点B、C、D在以A点为圆心，AB为半径的圆上，则根据圆周角定理得到∠BAC＝2∠BDC，∠CAD＝2∠DBC＝2×15°＝30°，设∠BDC＝x，则∠BAC＝2x，利用等腰三角形的性质得∠BOA＝2x，利用三角形外角性质得到∠ADO＝2x﹣30°，则通过计算出∠ADC＝∠ACD＝75°得到2x﹣30°+x＝75°，然后解方程即可． 【详解】解：∵AB＝AC＝AD＝BO， ∴点B、C、D在以A点为圆心，AB为半径的圆上， ∴∠BAC＝2∠BDC，∠CAD＝2∠DBC＝2×15°＝30°， 设∠BDC＝x，则∠BAC＝2x， ∵BO＝BA， ∴∠BOA＝2x， ∵∠BOA＝∠OAD+∠ADO， ∴∠ADO＝2x﹣30°， ∵AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD（180°﹣30°）＝75°， 即2x﹣30°+x＝75°，解得x＝35°， 即∠BDC＝35°． 故答案为35°． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质． 1 学科网（北京）股份有限公司 $