1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（1）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 1.空间中点、直线和平面的向量表示 学习目标 1.能用向量语言描述点、直线和平面.（重点） 2.理解并掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.（难点） 任务清单： 1.求直线的方向向量的方法？ 2.求平面的法向量的步骤？ 设 ， ，λ=_________________λ∈R， ， ， . 课前检测 a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 P1(x1, y1, z1)，P2(x2, y2, z2) 是空间中任意两点 所以 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素．因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面 新知学习 对任意两个空间向量a,b(b的充要条件是存在实数x,使 a=xb 如图,O是直线上一点,在直线l上取非零向量a，则对于直线上l任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数X， 使得=xa 我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量。这样,直线l上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 直线的方向向量求法：直线上任取两点组成向量。（找的点是可求坐标的点） 新知学习 求法向量的步骤 8 新知学习 垂直于同一平面的两条直线平行， 故当两条直线 l⊥α，m⊥α 时，直线 l 的方向向量 a 与直线 m 的方向向量 b 共线. m b 例 已知长方体ABCD-A′B′C′D′的棱长AB＝2，AD＝4，AA′＝3.以点D为原点，分别以DA，DC，DD′所在直线为x轴、y轴、z轴，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求直线AA′和BD′的一个方向向量： 解析：(1)由已知可得，长方体顶点A，B，A′，D′的坐标分别为A(4，0，0)，B(4，2，0)，A′(4，0，3)，D′(0，0，3)． 因为向量＝(0，0，3)，所以直线AA′的一个方向向量为vAA′＝(0，0，3)． (2)因为向量＝(－4，－2，3)，所以直线BD′的一个方向向量为vBD′＝(－4，－2，3)． (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一 10 A 练习（作业1） 例题 求平面的法向量，通常只需要求出平面的一个法向量．求直线的方向向量也是如此． 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2,以D为原点，以 为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面ACD1 的一个法向量． 练习（p29练习3）（作业2） 解：由题可得C（0，4，0），A（3，0，0）,D1(0,0,2) 则， 设平面ACD1的一个法向量为 则 令x=4,则y=3,z=6 则平面ACD1的一个法向量为（4，3，6） $