上册 第四章 6 利用相似三角形测高-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

口数学 九年级上册（北师大版） 利用相似三角形测高 自主导学Q典例精析 例题如图，某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D 和点F处分别竖立高2m的标杆CD和EF,两标杆相隔52m, 并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆 CD后退2m到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端 C在同一条直线上；从标杆FE后退4m到点H处，在H处测 例题图 得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高AB是多少米？ 【分析】根据题意可得出△CDG∽△ABG,△EFH∽△ABH,再根据相似三角形的对应 边成比例，结合比例的性质计算求出建筑物的高AB. 【解答】.AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH,∴.∠ABG=∠CDG=∠EFH=90°.又.∠AGB= ∠CGD,∠AHB=∠EHF,.△CDG△ABG,△EFH△ABH..CD=DG, EF AB DG+BD'AB FH 2 2 4 2 HDBDCD=DG-EF-2.DE-52.H=4.2D:AR44524RD24D +D解得m-522解得A6=54答：建筑物的高AB是54m 4 【点拨】本题考查综合利用相似三角形的判定及性质解决实际问题，求解此题的第一步 是找到并判定三角形相似，第二步是结合相似三角形对应边成比例的性质计算.列比例式时， 要利用图形中共有的边进行转化计算，问题便会解决 基础巩固)达标闯关 P多多 1.某同学的身高为1.6m,某一时刻他在阳光下的影长为1.2m,与他相邻的一棵树的 影长为3.6m,则这棵树的高度为 m. 2.如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙脚1.6m,梯上点D距墙1.4m, BD长0.55m,则梯子的长为 m. D E 第2题图 第3题图 3.如图，小李在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离 EB=20m,镜子与小李的距离ED=2m时，小李刚好从镜子中看到铁塔顶点A.已知小李的 96 图形的相似 第四章 眼睛距地面的高度CD=1.5m,则铁塔AB的高度是」 m. 4.如图，设在小孔口前24cm处有一支长21cm的蜡烛AB,AB经小孔O形成的像 A'B'恰好落在距小孔后面16cm处的屏幕上，则像A'B的长是 cm 24 cm 16 cm +22m 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，为了测量学校旗杆的高度，小李用长为3.2m的竹竿做测量工具，移动竹竿， 使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m,与旗杆相 距22m,则旗杆的高为() A.10m B.11m C.12m D.13m 6.如图，数学兴趣小组的小张想测量教学楼前一棵树的高度，下午课外活动时她测得一 根长为1m的竹竿的影长是0.8m,但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面 上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），她先测得留在墙壁上的影高为1.2m,又测 得地面的影长为2.6m,请你帮她算一下，树高是（） A.3.25m B.4.25m C.4.45m D.4.75m 7.为了估算河的宽度，我们可在河的对岸选定一个目标作为A点，再在河的这一边选 点B和点C,使AB⊥BC,如图，然后再选点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点 D,此时若测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求两岸间的大致距离. 第7题图 ⑦ 口数学 九年级上册（北师大版） 能力提升螂综合拓展 -多每B 8.如图，阳光通过窗口AB照射到室内（太阳光线是平行光线），在地面上留下2.7m宽 的亮区ED,已知亮区到窗口下墙脚的距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地 面的高BC. s m 2.7m 第8题图 9.周末，小张和小李想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河 对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸 垂直，并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点 C,A共线.已知CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图 所示.请根据相关测量信息求河宽AB. 第9题图 10.阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到 达，顶部不易到达)，他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜.请你在 他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案 (1)所需的测量工具是 (2)请在下图中画出测量示意图. (3)设树高AB的长度为x,请用所测数据（用小写字母表示）求出x. 第10题图 98 图形的相似 第四章 中考链接©真题演练 11.(2024·自贡)为测量水平操场上旗杆的高度，九(2)班各学习小组运用了多种测 量方法 (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE.此 时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m,据此可得旗杆的高度为 m. (2)如图2，小李站在操场上点E处，前面水平放置镜面C,并通过镜面观测到旗杆顶 部A.小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m,小李到镜面距离EC=2m,镜面到旗 杆的距离CB=16m.求旗杆的高度. (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大.在更新测量工具、优化测量方 法后，测量精度明显提高.研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑 的高度.方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M,N两 点始终处于同一水平线上 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q,标高线PQ始终垂直于水平地面， 如图6，在江姐故里广场上点E处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线 的D,G两点，并标记观测视线DA与标高线的交点C,测得标高CG=1.8m,DG=1.5m.将 观测点D后移24m到D'处.采用同样方法，测得C'G'=1.2m,D'G'=2m.求雕塑高度（结 果精确到1m)· 0 图1（利用影子） 图2（利用镜子） 图3（利用标杆） B 图4（找水平线） 图5（找定标高线） 图6（测雕塑高） 第11题图 9]数学九年级上册（北师大版） DF-DC.BBADEF.(2)BG-10. 6利用相似三角形测高 1.4.82.4.43.154.145.C6.C7.100m 8.解：AE∥BD,.∠AEC=∠BDC.又∠C=∠C,.△AEC∽△BDC:18+BC=BC 8787-2.7BC-=4m 9.解：：CD⊥AD,ED⊥AD,.∠ABC=∠ADE=90°，∠BAC=∠DAE,.△ABC△ADE..BC=Ag.BC DE AD AD=DE·AB,即AB+8.5=1.5xAB...AB=17.答：河宽AB的长为17m. 10.解：(1)皮尺、标杆(2)如图所示.(3)如图，测得标杆DE=,树和标杆的 影长分别为ACb,aDE△C,器赛，兰合色 11.解：(1)11.3(2)由反射定律可知，∠DCE=LACB.又∠DEC=90°=LABC, :△D8C~△4BC提-器，即普-兰解得AB=2度杆的高度为12m 1.52 第10题答图 (3)∠CDG=∠ADB,∠ABD=∠CGD=90°，△DCG∽△DAB..CG=DS.设AB=m,BD=ym,则1.8- AB DB 与.每名同莲可得形-器，即CG80=4BG.1224)-2,即1224名）-2解得 6 6 28.8...AB≈29m.答：雕塑高度AB约为29m. 7相似三角形的性质（第1课时） 1.2:12.63号cm4号53或号6D7.D 8.解：(I)在Rt△ABC中，AB=VAC+CB=V9+I2=l5.CM是斜边AB的中线，CM=号AB=75cm R△1BCR△DE,瓷-器号号SDF5cmy为斜边DF上的中线，EN-号DF-25cm (②)祭碧子，相似比为品号子，兴的值与相似比相等，结论：相似三角形对拉中线的比等于相似比 9.解：(I)△ASR与△ABC相似.理由：四边形SRQP是正方形，SR∥BC..△ASR∽△ABC.(2)SR∥ BC,AD1C,E1RA1SR△4BC,瓷-长设正方形Rs的边长为xcm,则高解得48 1O.解：如图，延长BF交CD于点H,连接EH.:四边形ABCD是正方形，AB∥CD, D H ∠D=∠DAB=90°，AD=CD=AB=1.AC=VAD+CD=VI+1P=V2.由轴对称性质，得AE= EF,∠EAB=∠EFB=90°，∠AEB=∠FEB.点E是AD的中点，∴AE=DE=EF:LD=∠EFH= 90°，EH=EH,.Rt△EHD≌Rt△EHF(HL).∴.∠DEH=∠FEH.'∠DEF+∠AEF=-18O°， .2∠DEH+2∠AEB=180°..∠DEH+∠AEB=90°...∠HEB=90°..·∠AEB+∠ABE=90°， ∠DEI=∠ABE2D=∠DB-0△EM△BE02-分DM=分CM: 第10题答图 4 ~Cm/AB,∠c6=∠BAG,∠CG=∠AB△Ci6△4BG晋-90氵Cc-号4G-3Y 7 11.412.c 5 13.(1)解：△ABC,△CDE是两个等腰直角三角形，∴EC=DC,∴.∠ACB=∠ABC= H 45°，∠CED=∠CDE=45°，∠ECD=90°..∠CFE=180°-∠ACB-∠CED=90°.又EC=DC, EF=DF∴BC是DE的垂直平分线.∴BE=BD.BH=DH,EH⊥BD,∴.EH是BD的垂直平 分线..BE=DE..BE=BD=DE.∴∠BED=6O°. (2)证明：由(1)知，∠CFE=90°，.·.∠EFG=∠BFD=∠CFE=90°.·.'∠DBF+∠BDF= 90°，∠BDF+∠DEG=90°，∴.∠DBF=∠FEG.∴.△EFG∽△BFD. (3)证明：如图，作BQ∥AC,交EH的延长线于点Q,∴∠Q=∠CEG.∠QGB= 第13题答图 ∠cE,△B0G一△cEc器-瓷8器瓷由（I知，C是DE的垂直平分线.BE-BD.∠EBF ∠DBF.∴.∠AEB=∠ACB+∠EBF,∠CEO=∠CED+∠FEG.由(1)∠ACB=∠CED=45°，∠DBF=∠FEG..∠AEB= 230