上册 第四章 5 相似三角形判定定理的证明-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

图形的相似 第四章 相似三角形判定定理的证明 自主导学Q典例精析 例题已知△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E 位于BC的中点处， (I)如图1，设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证：△BEM∽△CNE. DO 图1 图2 例题图 (2)如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于 点N.求证：△ECW∽△MEN. 【分析】(1)首先由等腰直角三角形的性质，得∠B=∠C=∠3=45°，再结合△BME中内 角和的性质、平角定义得∠2=∠4，根据两个三角形的两个对应角相等，即可证得△BEM∽ △CNE. 2)由（仙）中相似得到怨-0、又已知BE=C,所以长-影.然后由∠5CN ∠MEN=45°，根据两个三角形的两条对应边成比例且夹角相等，证得△ECN∽△MEN. 【解答】(1).△ABC是等腰直角三角形，∴.∠B=∠C=45°..∠1+∠2=135°.又.△DEF 是等腰直角三角形，∴.∠3=45°.∴.∠1+∠4=135°..∠2=∠4.∴.△BEM∽△CNE. 2》冉知△EM△CE,然0又aR=-C,≤-错战-恶.又 ·CN=NE·EM-NE ∠ECN=∠MEN=45°，.∴，.△ECN∽△MEN. 【点拨】此题结合等腰直角三角形的性质考查了相似三角形的判定.解此类题时，要抓住 图形中的特殊角度和三角形角的性质得出三角形相似的条件；更要仔细观察图形，发现图形 中有关线段的特殊关系，找到并转化，灵活运用判定三角形相似的方法， 基础巩固U达标闯关 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AC上一点，DE⊥AB于点E, 若AC=8,BC=6,DE=3,则AD的长为 2.△ABC的三边长分别为V5,V10,V15,△A'BC的两边长分别为 D 1和V2,则当△A'B'C的第三边长为 第1题图 时，△ABC与△A'B'C'相似. 93 口数学 九年级上册（北师大版） 3.在△ABC中，AB=8,AC=6,点D在AC上，且AD=2,若要在AB上找一点E,使 △ADE与原三角形相似，那么AE= 4.△ABC和△A'B'C符合下列条件，其中不能使△ABC和△A'B'C相似的是() A.∠A=∠A'=45°，∠B=26°，∠B'=109° B.AB=1,AC=1.5,BC=2,A'B'=4,A'C'=2,B'C=3 C.∠A=∠B',AB=2,AC=2.4,A'B=3.6,B'C'=3 D.AB=3,AC=5,BC=7,A'B'=V3,A'C'=V5,B'C'=V7 5.如图，在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE,交AC于点F,则AF:CF() A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.2:5 第5题图 第6题图 6.如图，在等边三角形ABC中，点D为BC边上一点，点E为AC边上一点，且 ∠ADE=60°，BD=3,CE=2,则△ABC的边长为() A.9 B.12 C.15 D.18 7.如图，下面每组图中的两个三角形是否相似？为什么？ 4 3.6 5」 1.8 10 图1 图2 第7题图 8.如图，点D,E在BC上，且FD∥AB,FE∥AC.求证：△ABC∽△FDE. B D E 第8题图 函 图形的相似 第四章 能力提升坤综合拓展 :=多s 9.如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,且AB=2,BD=4,BC=8,试判断 △ABD与△DBC是否相似，并说明理由. D 第9题图 10.如图，已知AB=AC=BC,求证：AB-EC=ACBD. AD AE DE 第10题图 11.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边AD,CD上的点，AE=ED,DF=DC, 连接EF并延长交BC的延长线于点G (1)求证：△ABE∽△DEF: (2)若正方形的边长为4，求BG的长. 第11题图 95参考答案与提示 .·FH=V2FG (2)FH=FG.证明：如图2，连接AH,CE,AF,:△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°， ∠AED=∠ADE=∠ACB=∠B=30点R,H分别是DE,BC的中点，AH LBG,AFLDE,∠CAH=∠E1F× 120-60∠H=∠EAC提-品分△MhF△MCE思是-号G5-H点KG分别是DE, DC的中点，.CE=2FG.FH=FG. 4探索三角形相似的条件（第3课时） 1.相似三边对应成比例的两个三角形相似2.∠E3.8,104.C5.D6.C7.A8.相似.理由略. 9.两种截法是10cm,25cm,30cm或12cm,30cm,36cm. 10.△DE∽△ABC.提示：利用三角形中位线可推出三条边对应成比例. IL解：AB-BG=AG,△ABC∽△ADE.∴LBMC=LDAE,LE=LC.LBAD=LCAE.∠AFE=∠BFC ∴.∠BAD=∠CBE. 12.解：(1)2V52V10(2)BC=V4+2=2V5.又由(1)知，AC=2V5,AB=2V10,∴AC+ BC=AB=40.∴.∠ACB=90°.(3)△CAB和△DEF相似.理由：DE=DF=V+22=V5,EF=VI+32=V10.则 AC=BC=AB-2..△CAB∽△DEF DE DE EF 13.解：(1)相似，理由略.(2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意两个均可：△DPP,△PPF, △DPP4,△PPD,△PPP,△FDP. 4解：)品品 ∠A=∠A'(2)△ABC∽△A'B'C.如图，过点D,D'分别作DE∥BC, DE∥B'C',DE交AC于点E,D'E交A'C于点E. :DE/∥BC,LADE=LB,∠AED=LACB,△ADE∽△ABC..AD-DE=AE AB BCAC 同理，得4D-DE=A'E.AD-A'D.DE-DE.DEBC AB-BC-ACAB-ABTBC-BCDE-BC 同理，得瓷器，12，即尧瓷器长 D A AC A'CE'C A'C 第14题答图 品长-器.品器瓷ADCEACE.CD--LCEm.eB∥C,∠GEDm∠AC18r 同理，∠CED∠ACB-180,∠AcB-∠4GD%营，△ABCAABC. 4探索三角形相似的条件（第4课时）】 1.黄金分割2.5(V5-1)cm3.3-V54.V+15.S=S,6.A7.D8.略9.6V5-12, 2 10.解：(1)略(2)提示：证明△ABC∽△BDC,得AD=AC.DC. 11解：(1)略(2)是.提示：先证明四边形EBCF是矩形.然后设CD=a,AD=b,则么=V5-L, 2 CF=a-b=V-⊥.矩形EBCF是黄金矩形.(3)归纳：在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到 EF 6 2 的另外一个四边形是矩形，而且是黄金矩形 12.(V5-1)13.D14.A "5相似三角形判定定理的证明 .52.V33号或子4D5A6A7相似，理由略。8略9相似理由：“部肥3， 2 BDBC2· ∠ABD=∠DBC,..△ABD∽△DBC. 10证明：折报能，△4BC△ADE∠BD=∠CR∠AC-∠D1R报报，△ABG △MDa4880MBEc-Ac-AD 1.()证明：因边形ABCD为正方形，AD=AB-0C-BC,∠A=∠D-0.ME-D,小6-分 229 ]数学九年级上册（北师大版） DF-DC.BBADEF.(2)BG-10. 6利用相似三角形测高 1.4.82.4.43.154.145.C6.C7.100m 8.解：AE∥BD,.∠AEC=∠BDC.又∠C=∠C,.△AEC∽△BDC:18+BC=BC 8787-2.7BC-=4m 9.解：：CD⊥AD,ED⊥AD,.∠ABC=∠ADE=90°，∠BAC=∠DAE,.△ABC△ADE..BC=Ag.BC DE AD AD=DE·AB,即AB+8.5=1.5xAB...AB=17.答：河宽AB的长为17m. 10.解：(1)皮尺、标杆(2)如图所示.(3)如图，测得标杆DE=,树和标杆的 影长分别为ACb,aDE△C,器赛，兰合色 11.解：(1)11.3(2)由反射定律可知，∠DCE=LACB.又∠DEC=90°=LABC, :△D8C~△4BC提-器，即普-兰解得AB=2度杆的高度为12m 1.52 第10题答图 (3)∠CDG=∠ADB,∠ABD=∠CGD=90°，△DCG∽△DAB..CG=DS.设AB=m,BD=ym,则1.8- AB DB 与.每名同莲可得形-器，即CG80=4BG.1224)-2,即1224名）-2解得 6 6 28.8...AB≈29m.答：雕塑高度AB约为29m. 7相似三角形的性质（第1课时） 1.2:12.63号cm4号53或号6D7.D 8.解：(I)在Rt△ABC中，AB=VAC+CB=V9+I2=l5.CM是斜边AB的中线，CM=号AB=75cm R△1BCR△DE,瓷-器号号SDF5cmy为斜边DF上的中线，EN-号DF-25cm (②)祭碧子，相似比为品号子，兴的值与相似比相等，结论：相似三角形对拉中线的比等于相似比 9.解：(I)△ASR与△ABC相似.理由：四边形SRQP是正方形，SR∥BC..△ASR∽△ABC.(2)SR∥ BC,AD1C,E1RA1SR△4BC,瓷-长设正方形Rs的边长为xcm,则高解得48 1O.解：如图，延长BF交CD于点H,连接EH.:四边形ABCD是正方形，AB∥CD, D H ∠D=∠DAB=90°，AD=CD=AB=1.AC=VAD+CD=VI+1P=V2.由轴对称性质，得AE= EF,∠EAB=∠EFB=90°，∠AEB=∠FEB.点E是AD的中点，∴AE=DE=EF:LD=∠EFH= 90°，EH=EH,.Rt△EHD≌Rt△EHF(HL).∴.∠DEH=∠FEH.'∠DEF+∠AEF=-18O°， .2∠DEH+2∠AEB=180°..∠DEH+∠AEB=90°...∠HEB=90°..·∠AEB+∠ABE=90°， ∠DEI=∠ABE2D=∠DB-0△EM△BE02-分DM=分CM: 第10题答图 4 ~Cm/AB,∠c6=∠BAG,∠CG=∠AB△Ci6△4BG晋-90氵Cc-号4G-3Y 7 11.412.c 5 13.(1)解：△ABC,△CDE是两个等腰直角三角形，∴EC=DC,∴.∠ACB=∠ABC= H 45°，∠CED=∠CDE=45°，∠ECD=90°..∠CFE=180°-∠ACB-∠CED=90°.又EC=DC, EF=DF∴BC是DE的垂直平分线.∴BE=BD.BH=DH,EH⊥BD,∴.EH是BD的垂直平 分线..BE=DE..BE=BD=DE.∴∠BED=6O°. (2)证明：由(1)知，∠CFE=90°，.·.∠EFG=∠BFD=∠CFE=90°.·.'∠DBF+∠BDF= 90°，∠BDF+∠DEG=90°，∴.∠DBF=∠FEG.∴.△EFG∽△BFD. (3)证明：如图，作BQ∥AC,交EH的延长线于点Q,∴∠Q=∠CEG.∠QGB= 第13题答图 ∠cE,△B0G一△cEc器-瓷8器瓷由（I知，C是DE的垂直平分线.BE-BD.∠EBF ∠DBF.∴.∠AEB=∠ACB+∠EBF,∠CEO=∠CED+∠FEG.由(1)∠ACB=∠CED=45°，∠DBF=∠FEG..∠AEB= 230