上册 第四章 3 相似多边形-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

图形的相似 第四章 相似多边形 自主导学Q典例精析 例题如图，依次连接正方形ABCD各边的中点E,F,G,H所得的 四边形与正方形ABCD相似吗？若相似，求出相似比， 【分析】先证明四边形EFGH是正方形，再根据相似多边形的定义判定 四边形EFGH与正方形ABCD相似，进而求出相似比， 【解答】E,F,G,H是正方形ABCD各边的中点， 例题图 .∴AE=EB=BF=FC=CG=GD=DH=HA,∠A=∠B=∠C=∠D=90° .·△AEH≌△BEF≌△CFG兰△DGH,∠AEH=∠BEF=45°. .EH=HG=GF=FE,∠HEF=90°..四边形EFGH是正方形 /A=∠B-∠C/D=LHE-LBG=∠RGH-LBIG-90,g-%-品正方 形EFGH∽正方形ABCD.设AE=x,则AB=2x,EH=V2x.∴.正方形EFGH与正方形ABCD 的相似比为V② 2 【点拨】证明两个多边形相似，既要证明所有对应角相等，又要证明所有对应边成比例， 两者缺一不可. 基础巩固飞达标闯关 1.在矩形ABCD和矩形EFGH中，AB=4,BC=2,EF=2,FG=1,则矩形ABCD与矩形 EFGH (填“一定”或“不一定”)相似. 2.已知正五边形ABCDE∽正五边形A'B'CDE,且相似比为4：3，AB=8cm,则A'B= 3.如果多边形ABCDEF∽多边形A'B'CD'E'F,且∠A=68°，则∠A'等于 4.两个相似多边形的最长边分别是10cm和30cm,如果较小的多边形的最短边为 6cm,则另一个多边形的最短边为 5.下列图形相似的有() ①放大镜下的图片与原来的图片②幻灯的底片与投影在屏幕上的图像③天空中两朵 白云的照片④卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片 A.4组 B.3组 C.2组 D.1组 6.下列各种图形相似的是(） 77 口数学 九年级上册（北师大版） ③ 第6题图 A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 7.下列说法不一定正确的是() A.所有的等边三角形都相似 B.有一个角是100°的等腰三角形相似 C.所有的正方形都相似 D.所有的矩形都相似 8.若如图所示的两个四边形相似，则∠的度数是() 138 A.60° B.75 60 15°d 609 C.87° D.120° 第8题图 9.如图，图1是一个正六边形ABCDEF,使线段BC,FE的长增加相等的数，得图2； 若将图1中的点A,D分别向两边拉长相等的量，得图3.那么图1与图2相似吗？图1与图 3相似吗？图2与图3呢？为什么？ 图1 图2 图3 第9题图 能力提升坤综合拓展 10.如图，在□ABCD中，AB=12,AD=8,点E,F在AB,DC上，且EF∥AD.若 □ABCD∽□ADFE,求AE的长. D E 第10题图 11.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4. (1)求AD的长 (2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比. 第11题图 8 图形的相似 第四章 *12.如图，矩形ABCD的长AB=30,宽BC=20. (1)如图1，若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A'B'CD'相似吗？请说明理由. (2)如图2，x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A'B'CD'相似？ 产中 图1 图2 第12题图 13.如图，在矩形ABCD中，AD=2,CD=1,连接AC,以对角线AC为边，按逆时针方 向作矩形ABCD的相似矩形AB,C,C,再连接AC,以对角线AC为边作矩形ABC,C的相似 矩形ABC2C1,…,按此规律继续下去，求矩形AB.C.C1的周长和面积. 第13题图 中考链接©真题演练 卡多 14.(2024盐城)两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 15.(2024·连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、 乙、丙、丁，其中是相似图形的为() 甲 丙 第15题图 A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁 79参考答案与提示 &解：DE/BC,EF/AB四边形DBFE是平行四边形，BFBD,DE-BR、瓷-品-瓷瓷-沿 -能AE=2CR,光号-g-gBF-6,A=4BD=4B-An=2四边形BDEF的周长-2〔Bn+DE-2x2+ 6)=16. 9解：D/AM,北，瓷器WR=c,治-长 10号提示：过点D作DG/BC交AB于点C11.多2A13D 3相似多边形 1.一定2.6cm3.68°4.18cm5.C6.A7.D8.C9.都不相似.理由略. 0解：aA0 DCADFE,÷0-8小0-是DAE9 1.解：()：矩形ABCD一矩形DMC,MD=-NC=号AD,MN=DC=AB=4,号-识. 4-AD 4D4 ,AD=4V2.(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为DM=2 AB 2 12解：（)不相似.1B=30,AB'-28,BC-20,BC=18,器≠8矩形ABCD与矩形A"B'CD不相 似。2)若矩形ABCD与AgGD相似，则0当招-C时，即00-262解得15；②当设-6 BC AB 时，即0-2，解得9.当15或x9时，矩形A8CD与矩形A'BC0相似 20 13.解：四边形ABCD是矩形，ADLDC.AC=VAD+CD=V2+下-V5. 矩形ABCD∽矩形AB,C,C∽矩形AB,C,C,∽矩形AB.C.C, 46-4验-48.品瓷%2 AC 4C=V5,4C=5V5,AC=5.V5卫，，4C=.V5□ 2 2 22 D c-,cce.5,cc-.2…,cc-. 第13题答图 2 22 2 2- 矩形AB.C.Cn的周长-2(4Cn+CnC)=3x(V5Y 2- 矩形AB.CC的面积=ACCC=V5.5尸.V5.(V5=-V5产= 2 22 2 2 22-1 22- 14.1:215.D 4探索三角形相似的条件（第1课时）】 124cm230334.2:15号或46C7A8A 9.解：在Rt△ABC中，AB=20,AC=12,.BC=16.DE垂直平分AB,∴AD=BD=10.∠C=∠BDE,∠B=∠B, ABGAEBE0.是-8断品-8bE-空 1O.证明：(1)：四边形ABCD是正方形，△EDF是等腰直角三角形，：AD=CD,DE=DF,∠ADC=∠EDF= 90°，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF.∴.∠ADE=∠CDF,∴.△ADE≌△CDF(SAS).(2)由(I)知∠E=∠DFC= 45°，又.'∠EFD=45°，∴.∠EFC=90°..'∠B=90°，∴.∠B=∠EFC..∠AGB=∠CGF,.∴.△ABG∽△CFG. 1.解：《(I)DB平分∠ADC,∠ADB=∠CDR又∠ABD=∠BCD-90P,AABD△BCD品-0 BD=ADCD.(2)BM∥CD,.∠MBD=∠BDC..∠ADB=∠MBD,且∠ABD=90°..BM=MD,∠MAB=∠MBA. ∴BM=MD=AM=4.BD2=AD.CD,CD=6,AD=8,∴BD=48..∴BC=BD-CD=12.∴MC=MB2+BC=28.∴.MC=2V7. 2LWm-∠C.∠BW=2cm.:△WW-ACN器-岩-子，即n-号小2V”号 .MN—=2 22