上册 第四章 2 平行线分线段成比例-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

口数学 九年级上册（北师大版） 平行线分线段成比例 自主导学Q典例精析 例题 对于平行线，我们有这样的结论：如图1，AB∥CD,AD,BC交于点O,则 0=B0.请利用该结论解答下面的问题：如图2，在△ABC中，点D在线段BC上， D0=C0 ∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2,BD=2DC,求AC的长 图2 例题图 【分析】首先通过观察发现图2中没有与图1的类似形状，所以通过已知条件来构造类 似形状，过点C作E∥AB交AD的延长线于点E,根据题中的结论可得到肥品，将已 知代入求出DE和AE的长，再结合已知边角关系证得AC=AE. 【解答】如图，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E, 则肥品，义m-2C,An-2.n-1 .CE∥AB,∴.∠E=∠BAD=75°.又∠CAD=30°， .∠ACE=75°，∴.AC=AE=AD+DE=3. 【点拨】利用线段的比例关系，求解线段长的问题，通常使用的 例题答图 辅助线是过一点作已知线段的平行线： 基础巩固达标闯关 1.如图，直线l∥l2∥l,已知AG=1.2cm,BG=2.4cm,EF=3cm,则KF= 2.如图，直线CD/EK,若0C=3,CE-4,则的值是 3.如图，在△ABC与△AED中，DE∥BC,若AE:EC=1:3,DB-AD=3,则AD= 第1题图 第2题图 第3题图 74 图形的相似 第四章 4.如图，在口ABCD中，E为BC上一点，BF:FD=2:3,AE交BD于点F,则AF:FE= 5.如图，已知直线a∥b∥c,直线m,n与直线a,b,c分别交于点A,C,E和点B, D,F,AC=4,CE=6,BD=3,BF=( A.7 B.7.5 C.8 D.8.5 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=5,BD=10,AE=3,则CE的值为() A.9 B.6 C.3 D.4 7.如图，在口ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于点G,FG=2cm, EG=4cm,AG=3cm,则AC的长为(） A.9 cm B.14 cm C.15 cm D.18 cm 能力提升螂综合拓展 8.如图，在△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,AE=2CE,AB=6,BC=9.求四边形BDEF的周长 第8题图 9.如图，在△ABC中，AM是BC边上的中线，直线DN∥AM,交AB于点D,交CA的 延长线于点E,交C于点龙试说明：A8能 第9题图 内 口数学 九年级上册（北师大版） *10.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点，射线CF交AB于点 么，且话石试求裙的值 D 第10题图 中考链接©真题演练 11.(2023·北京)如图，直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD,若AO=2,OF=1,FD= 2,则器的值为 12.(2024·哈尔滨)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E在AB上，EF∥AD交 CD于点F,若AE:BE=1:2,DF=3,则FC的长为() A.6 B.3 C.5 D.9 第11题图 第12题图 13.(2023.常州)小李按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 (1)以A为端点画一条射线； (2)用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC,CD,DE, 连接BE; (3)过点C,D分别画BE的平行线，交线段AB于点M,N, M,N就是线段AB的三等分点. 这一画图过程体现的数学依据是(） A.两直线平行，同位角相等 B.两条平行线之间的距离处处相等 C.垂直于同一条直线的两条直线平行 D.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 76)数学 九年级上册（北师大版） 2用频率估计概率 1.0.5频率概率2.0.93.A4.D 5.解：(1)0.680.740.680.690.7050.701(2)当n很大时，频率将会接近0.7.(3)获得铅笔 的概率约是或07.。(4表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是252 6.解：)专 (2)用表格列出甲、乙两人摸出的球的数字和的可能性结果如下： 和 欧 3 3 7 8 3+x 4 7 4+x 5 8 9 5+x 3+x 4+x 5+x 由表格知，共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同.若3+=8，则x=5,此时甲、乙两人摸 出的球的数字和为8的结果有4种，P(和为8)告了若4+：=8，则x=4,此时甲、乙两人摸出的球的数字和 为8的结果有4种，：P(和为8)-竞了：若5+8，则3，此时甲、乙两人摸出的球的数字和为8的结果有4 种，代和为8)告背x的值可能为3或4或5. 7.解：（山不公平.代阴)号-号，即甲同学获鞋的概率为；.乙同学获胜的概率为号音>号游 戏对双方不公平.(2)方法正确.设不规则图形的面积为S,掷人不规则图形内的频率=卫≈P(掷入不规则图形 内)产，“不规则的图形面积S=产当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率（或频率与概率的关系）》 8.129.0.910.A 11.解：(1)参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为5000=0.25.(2)由(1)估计从纸箱中随机摸 60000 出一个球是红球的度*为子设纸箱巾白球的数址为，从纸箱中随机摸出一个球是红球的感率为品。由品。 4 12+x =},解得x=36,经检验x36是分式方程的解且符合实际，估计纸箱中白球的数量接近36， 第四章图形的相似 1成比例线段（第1课时）】 1.③⑤①②④⑥2.5：33.94.45.5：26.D7.B8.B9.(1)4:1(2)1:3(3)3:4 10.V3:211.直角三角形.12.BD=2.1cm,DC=3.5cm.13.114.215.A 1成比例线段（第2课时） 1号2分32或-14号5B6A7D8B9-子 10解：0品-瓷，104品-瓷小0-%24 BD EC 1.解：品批1C-04C1C-4-能 BC ME ME 12.解：由题意，得AB=(1.2+c+d)m,AD=(0.8+a+b)m,又：a=b,c=d,c=2a,.AB=(1.2+c+d)m=(1.2+4a)m, AD=(0.8+a+b)m=(0.8+2a)m.AB与AD的比是16：10，.(1.2+4a):(0.8+2a)=16:10..a=0.1.b=0.1,c=d=0.2. 答：上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m,0.1m,0.2m,0.2m. 2平行线分线段成比例 1.2cm2.33.1.54.3:25.B6.B7.D 7 参考答案与提示 &解：DE/BC,EF/AB四边形DBFE是平行四边形，BFBD,DE-BR、瓷-品-瓷瓷-沿 -能AE=2CR,光号-g-gBF-6,A=4BD=4B-An=2四边形BDEF的周长-2〔Bn+DE-2x2+ 6)=16. 9解：D/AM,北，瓷器WR=c,治-长 10号提示：过点D作DG/BC交AB于点C11.多2A13D 3相似多边形 1.一定2.6cm3.68°4.18cm5.C6.A7.D8.C9.都不相似.理由略. 0解：aA0 DCADFE,÷0-8小0-是DAE9 1.解：()：矩形ABCD一矩形DMC,MD=-NC=号AD,MN=DC=AB=4,号-识. 4-AD 4D4 ,AD=4V2.(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为DM=2 AB 2 12解：（)不相似.1B=30,AB'-28,BC-20,BC=18,器≠8矩形ABCD与矩形A"B'CD不相 似。2)若矩形ABCD与AgGD相似，则0当招-C时，即00-262解得15；②当设-6 BC AB 时，即0-2，解得9.当15或x9时，矩形A8CD与矩形A'BC0相似 20 13.解：四边形ABCD是矩形，ADLDC.AC=VAD+CD=V2+下-V5. 矩形ABCD∽矩形AB,C,C∽矩形AB,C,C,∽矩形AB.C.C, 46-4验-48.品瓷%2 AC 4C=V5,4C=5V5,AC=5.V5卫，，4C=.V5□ 2 2 22 D c-,cce.5,cc-.2…,cc-. 第13题答图 2 22 2 2- 矩形AB.C.Cn的周长-2(4Cn+CnC)=3x(V5Y 2- 矩形AB.CC的面积=ACCC=V5.5尸.V5.(V5=-V5产= 2 22 2 2 22-1 22- 14.1:215.D 4探索三角形相似的条件（第1课时）】 124cm230334.2:15号或46C7A8A 9.解：在Rt△ABC中，AB=20,AC=12,.BC=16.DE垂直平分AB,∴AD=BD=10.∠C=∠BDE,∠B=∠B, ABGAEBE0.是-8断品-8bE-空 1O.证明：(1)：四边形ABCD是正方形，△EDF是等腰直角三角形，：AD=CD,DE=DF,∠ADC=∠EDF= 90°，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF.∴.∠ADE=∠CDF,∴.△ADE≌△CDF(SAS).(2)由(I)知∠E=∠DFC= 45°，又.'∠EFD=45°，∴.∠EFC=90°..'∠B=90°，∴.∠B=∠EFC..∠AGB=∠CGF,.∴.△ABG∽△CFG. 1.解：《(I)DB平分∠ADC,∠ADB=∠CDR又∠ABD=∠BCD-90P,AABD△BCD品-0 BD=ADCD.(2)BM∥CD,.∠MBD=∠BDC..∠ADB=∠MBD,且∠ABD=90°..BM=MD,∠MAB=∠MBA. ∴BM=MD=AM=4.BD2=AD.CD,CD=6,AD=8,∴BD=48..∴BC=BD-CD=12.∴MC=MB2+BC=28.∴.MC=2V7. 2LWm-∠C.∠BW=2cm.:△WW-ACN器-岩-子，即n-号小2V”号 .MN—=2 22