上册 第二章 6 应用一元二次方程-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

一元二次方程 第二章 6应用一元二次方程（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路 珍 相交于点0处.甲沿着喀什路以4s的速度由西向东走，乙沿着北 路 东 z 京路以3ms的速度由南向北走.当乙走到0点以北50m处时，甲 喀什路 恰好到点0处.若两人继续向前行走，求两人相距85m时各自的 位置 例题图 【分析】要确定两人的位置，就要计算两人的路程，由速度已知，要先求时间.因两人相 距85m时，恰好两人的位置与O点构成直角三角形，故可利用勾股定理建立方程求出时间. 【解答】设经过xs时两人相距85m,根据题意得(4x)2+(50+3x)2=852 整理方程，得x2+12x-189=0. 解得x=9,2=-21(不符合实际情况，舍去). 当x=9时，4x=36,50+3x=77. ∴.当两人相距85m时，甲在0点以东36m处，乙在0点以北77m处 【点拨】本题综合考查了方向角、一元二次方程的应用和勾股定理.解题的关键是掌握方 向角的相关知识，知道南北方向和东西方向是垂直的 基础巩固飞达标闯关 1.我国数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》一书提出一个问题：直田积八百六十四 步（平方步），只云长阔共六十步.意思是矩形田地的面积为864平方步，其中长、宽之和是 60步，问阔（宽）及长各几步. 口数学 九年级上册（北师大版） 2.要对一块长60m、宽40m的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化.设计方案如图所示， 矩形P,Q为两块绿地，其余为硬化路面，P,Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两 块绿地面积的和为矩形ABCD面积的}，求P,Q两块绿地周围的硬化路面的宽。 第2题图 3.教室改造采光窗户，窗户上半部分是两个正方形组成的矩形，下半部分是两个长方形 组成的矩形.建立模型如图所示，不考虑边框的宽度，将窗户抽象成几何图形，图中所有线 段总长为10.5m.设AE的长为xm. (1)用含x的式子表示出矩形窗户AEFD和矩形窗户BCFE的透光面积. (2)当窗户的总面积为2.5m时，求BE的长. 第3题图 能力提升蜂综合拓展 4.如图，一个机器人在点A(4,4),发现一个小球自点B(17,0)沿x轴向原点0方向 滚过来，已知小球滚动的直线速度为机器人直线行走速度的2倍，机器人从点A直线前进， 最快可在何处截住小球？ 2 17x 第4题图 48 一元二次方程 第二章 5.某军舰以20 n mile/h的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30 n mile/h的速度由 南向北航行，它能侦察周围50 n mile(含50 n mile)范围内的目标.如图，当该军舰行至A 处时，电子侦察船正位于A处正南方向的B处，且AB=90 n mile.若军舰和侦察船仍按原速 度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰？如果能，最早何时能侦察 到？如果不能，请说明理由. 东 B 第5题图 6.如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在墙AC上. (1)这时梯足B到墙底端C的距离为0.7m,如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4m,那 么梯足将外移多少米？ (2)当梯子顶端A与梯足B到墙底端C的距离相等，即△ABC为等腰直角三角形时， 猜想梯子顶端沿墙垂直下滑的距离x与梯足外移的距离y的关系，并说明理由。 (3)如果梯足B到墙底端C的距离为0.7m,有没有可能梯子顶端沿墙垂直下滑的距离 与梯足外移的距离恰好相等？如果有，那么梯子下滑的距离是多少？如果没有，请说明 理由 (4)梯足距墙多少米时，梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4m,梯足也恰好外移0.4m? 7777777777777777 第6题图 49 数学 九年级上册（北师大版） 7.你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x+ 5x-14=0,即x(x+5)=14为例加以说明.数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的 方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是(x+x+5)2,其中它又等于四个矩形的 面积加上中间小正方形的面积，即4x14+52,则(x+x+5)2=81,据此易得x=2. (1)下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够 说明方程x2-4x-12=0的正确构图是 (只填序号). (2)方程x2-4x-12=0的正确构图中大正方形的面积是多少（用含该方程的未知数x的代 数式表示)？该大正方形面积还可以等于什么？ (3)由(1)和(2)可得出方程中未知数x的值是多少？ 父+5 x+5 ① 第7题图 中考链接©真题演练 -上s 8.(2024·青岛)如图，某小区要在长为16m、宽为12m的矩形空地上建造一个花坛， 使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 m 16m 0 12m 花坛 第8题图 第9题图 9.(2024·通辽)如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 5.5m)的矩形鸭舍，其面积为15m2,在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其他材料 制成)，则BC长为() A.5m或6mB.2.5m或3m C.5m D.3m 50 一元二次方程 第二章 应用一元二次方程（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题现代互联网技术的广泛应用催生了快递行业的高度发展，据调查，某家小型 “大学生自主创业”的快递公司，今年八月份与十月份完成投递的快递总件数分别为10万件 和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同. (1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率， (2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名投递业务员能否 完成今年六月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员. 【分析】(1)根据八月份到十月份完成投递的快递总件数之间的增长关系，建立方程即 可求解.(2)首先求出今年十一月份的快递投递任务，再求出21名投递业务员能完成的快 递投递任务，比较得出该公司不能完成今年十一月份的快递投递任务，进而求出至少需要增 加业务员的人数， 【解答】(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x,根据题意，得10(1+x)2= 12.1.解得x=0.1,x2=-2.2(不合题意，舍去).答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为 10%. (2)今年十一月份的快递投递任务是12.1×(1+10%)=13.31（万件). .平均每人每月最多可投递0.6万件，21名投递业务员能完成的快递投递任务是0.6× 21=12.6<13.31,∴.该公司现有的21名投递业务员不能完成今年十一月份的快递投递任务， 需要增加业务员(13.31-12.6)0.6=1儿≈2（人）.答：该公司现有的21名投递业务员不能 60 完成今年十一月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员. 【点拨】本题是应用一元二次方程解增长率的问题，解题关键是要正确理解题意，找到 起始量a和增长后的量b,列出形如a(1+x)2=b的方程. 基础巩固LU达标闯关 1.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投人，2023年投入3000万元，2025年 投入5000万元.设教育经费的年平均增长率为x,则根据题意可列出的方程为 2.某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量 提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为 3.某服装原价为200元，连续两次涨价a%后，售价为338元，则α的值为() A.30 B.25 C.20 D.15 51 口数学 九年级上册（北师大版） 4.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份 平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是() A.50(1+x)2=182 B.50+50(1+x)+50(1+x)2=182 C.50(1+2x)=182 D.50+50(1+x)+50(1+2x)=182 5.某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、 列数相同，求增加了多少行和列 6.某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一 个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月 平均增长率相同. (1)求进馆人次的月平均增长率. (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长 率不变的条件下，问校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由 能力提升坤综合拓展 -: 7.某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200kg,出油率为50%.现在种植新品种 花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg,其中花生出油率的增长率是亩产量的增长 率的，求新品种花生亩产量的增长率. 电 一元二次方程 第二章 8.列方程解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的 销售量将增加120千克. 根据他们的对话，解决所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾 客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元. 9.某商家对一款成本价为40元的小商品进行线上销售，如果按每件60元销售，每天可 卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件 (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ (2)线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线 下销售，商家决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品 至少需打几折销售？ 中考链接©真题演练 -卡多多B 10.(2024·绵阳)超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元.因销量持续攀升，商家 在三月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在三月份售价的基础上，四、五月 份按照相同的降价率r连续降价.已知五月份礼盒的售价为486元，则= 11.(2024云南)两年前生产1kg甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现 在生产1kg甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意所列方 程正确的是() A.80(1-x2)=60 B.80(1-x)2=60 C.80(1-x)=60 D.80(1-2x)=60 53 口数学 九年级上册（北师大版） 12.(2024·辽宁)某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件售 价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价x/元 45 55 65 … 日销售量y件 55 45 35 … (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）· (2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由. 13.(2024·西藏)某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动. 四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同. (1)求该商场投入资金的月平均增长率. (2)按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 14.(2024·淄博)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越 高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人 (1)求该市参加健身运动人数的年平均增长率. (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规 定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降 低40元，但最低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的 这种健身器材的套数. 函参考答案与提示 和6. 12.解：依题意，(1-30%)(1-m%)2=143.3%,整理得(1-m%)2-0.81,m=10,m2=190(不合题意，舍去). .m=10. 13.B 14.解：(1)）利用公式法：2+2x-1-0.a=1,b=2,c=-1,4=2-4x1x-1)=4+4=8.x=-2生Y8=-2±2V2 2 2 =-1±V2.∴x=-1+V2,2=-1-V2.(2)利用因式分解法：x2-3x=0..x(x-3)=0.∴x=0,x2=3.(3)利用配 方法：2-4=4.两边都加上4，得x2-4x+4=8.∴.(x-2)2=8.∵x-2=±2V2.∴x=2+2V2,2=2-2V2.(4)利用 因式分解法：x2-4=0..(x+2)(x-2)=0.x1=-2,x=2. 5一元二次方程的根与系数的关系 1-12.号-73D4C5.3w-10-06-37)-6V22)-4 8解：由根与系数的关系，得+。-，=4-3，由题意，知4-3-解这个方程，得-1，k子 原方程有两个实数根，4--44-3=12-15当=-1时，42-15-3<0：当=号时，42-15诏> 0,= 9.(1)证明：4=[-(2m+1)]2-4(m2+m)=4m2+4m+1-4m2-4m=1>0,∴.无论m取何值时，方程都有两个不相等 的实数根.(2)解：该方程的两个实数根为a,b,∴.a+b=2m+1,ab=m2+m.(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2= 2(d2+2ab+b2)+ab=2(a+b)2+ab,.2(a+b)2+ab=20,.2(2m+1)2+m2+m=20.整理得m2+m-2-0,解得m1=-2,m2=1,∴m 的值为-2或1. 6应用一元二次方程（第1课时） 1.解：设阔（宽）为x步，则长为(60-x)步，则x(60-x)=864.x=24,x=36.则阔（宽）为24步，长为36步. 2.解：设P,Q两块绿地周周的硬化路面的宽都为xm,根据题意，得(60-3)x(40-2x)-60x40x},解得x= 10,2=30.经检验，2=30不符合题意，舍去.∴.两块绿地周围的硬化路面的宽都为10m. 3.解：(1)由题意，矩形窗户AEFD的长EF=2x,宽AE=x,.矩形窗户AEFD的面积为22.又所有线段 总长为10.5m,矩形窗户AEm边框的周长为7x,矩形窗户BCE的边BC长为2，BE=号(105-9x)-35-3x, .矩形窗户BCFE的面积为2x(3.5-3x)=7x-62.(2)由题意，得22+7x-6x2=2.5,x=0.5,2=1.25.当x=125时， BE=3.5-3x=-0.25,不符合题意，舍去；当x=0.5时，BE=3.5-3x=2..BE的长为2m. 4解：设机器人在(，0)处与小球相遇.由题意，得4科(x-4片[2(17-x),整理得3+2x-1610.解得 =7,号（不合题意，含去），机器人最快在点(，0)处截住小球 5.解：如图，设侦察船需th能侦察到军舰.在Rt△AA'B'中，AB2+AA2=BA2, 北 即(20P4(90-30)50整理得1354+560.解得2，答，放能债察到军银. A -A 且最早要经过2h. 东 6.解：(1)在Rt△ABC中，AC=V2.5-0.7严=2.4.设梯子的顶端沿墙垂直下滑 B 0.4m后，梯子的位置为AB,梯足外移xm,则AC=2.4-0.4=2.在Rt△AB,C中， B (0.7+xP+22=2.5子.化简方程，得x2+1.4-1.76=0.解得x1=-2.2（舍去)，=0.8.(2)y< x理由如下：由题意知AC-c,∠Ac90,AB25,4C-6C-5Y至YZ-月： 第5题答图 ，4 |5Yy-29,则45Y2-0x0.0.则40.y<0.即yx (3)有，梯子下滑的距 离为1.7.理由如下：设AA=BB=x,则AC=2.4-x,BC=0.7+x,则2.5=(2.4-x)2+(0.7+x)2,化简，得2x2-3.4x=0.解 得x=1.7,2=0（舍去)，∴x=1.7.(4)设AA=BB=0.4,AC=x,BC=y,则2.52=y2+(x+0.4)2,2.52=(y+0.4)2+x2. 则x=y.在Rt△ABC中，2.52=y2+(y+0.4)2,即2y240.8y-6.09=0,则y≈1.6. 数学 九年级上册（北师大版） 7.解：(1)②(2)由图②可知大正方形的面积为(x+x-4)2,其中它又等于四个矩形的面积加上中间小 正方形的面积，即4×12+42.(3)由(1)(2)可得方程(+-4)2=4×12+42，整理得(2-4)2=64，解得x=6,x2= -2(不符合题意，舍去)，.=6. 8.29.C 6应用一元二次方程（第2课时） 1.3000(1+x)2=50002.10%3.A4.B 5.解：设增加了x行，则增加的列数为x.根据题意，得(6+x)(8+x)-6x8=51.整理，得x2+14x-51=0.解得x= 3,2=-17(舍去).答：增加了3行3列. 6.解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x,则由题意，得128+128(1+x)+128(1+x)2=608.整理方程，得 4x2+12x-7=0.∴解得x=0.5=50%,=-3.5（舍去).答：进馆人次的月平均增长率为50%.(2)进馆人次的月平均 增长率为50%，第四个月的进馆人次为128(14509%八128x双-432<50.答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次 7.解：设新品种花生亩产量的增长率为x,则200(1+x)50%(1+0.5x)=132.整理得x2+3x-0.64=0.解得x=0.2, x2=-3.2(舍去)..·.新品种花生亩产量的增长率为20%. 8.解：设每千克售价降低x元，超市每天可获得销售利润3640元.由题意，得(38--2)160+号×120日 3640.整理，得x2-12x+27=0.解得=3，x2=9.要尽可能让顾客得到实惠，∴=9.∴.售价为38-9=29（元/千克). 答：水果的销售价为每千克29元时，超市每天可获得销售利润3640元. 9.解：(1)设售价应定为x元，则每件的利润为(x-40)元，日销售量为20410(60-)-=(140-2x)件.依题 5 意，得(x-40)(140-2x)=(60-40)×20.整理，得x2-110x+3000=0.解得x=50,2=60（舍去).答：售价应定为50 元.(2)该商品需要打a折销售，由题意，得625·品≤50.解得a≤8.答：该商品至少看打八折销售. 10.10%11.B 2解：山少）设一次函数的关系式为x山，由题意，得，解得心所求一次的数关系式 为y=-x+100.(2)不能.理由如下：由题意，销售额为x(-x+100)=-x2+100x.当销售额为2600元时，即2600= -x24100x,x2-100x+2600=0.∴.△=(-100)2-4×2600=10000-10400=-400<0，∴.所列一元二次方程没有实数解.答： 该商品日销售额不能达到2600元. 13.解：(1)设商场投入资金的月平均增长率为x.依题意，得20(1+x)P=24.2.解得x=0.1=10%,2=-2.1(不 符合题意，舍去).答：商场投人资金的月平均增长率为10%.(2)由题意，得24.2×(1+10%)=26.62（万元）· 答：预计该商场七月份投人资金将达到26.62万元. 14.解：(1)设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x.由题意，得32(1+x)2=50.解得x=0.25,x2=-2.25 (不符合题意，舍去)·答：该市参加健身运动人数的年平均增长率为25%.(2)设购买的这种健身器材的套数 为m套.240000÷1600=150（套），m>100.由题意，得m1600-m-0×40=240000.整理，得m2-500m+ 10 60000=0.解得m,=200,m=30.当m=200时，1600-m-100x40=1600-400=1200>1000,符合题意；当m=300 10 时，1600-m-10x40=1600-800=800<1000,不符合题意，舍去.答：购买的这种健身器材的套数为200套 10 第三章概率的进一步认识 1用树状图或表格求概率（第1课时）】 1.解：(1)用表格列出所有可能出现的结果如下： 上衣 长裤 白色 黑色 蓝色 白色 (白色，白色) (白色，黑色) (白色，蓝色) 蓝色 (蓝色，白色) (蓝色，黑色) (蓝色，蓝色) 由表格知，总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，而正好是蓝色上衣和蓝色长裤的结果有 1种：（蓝色，蓝色），正好是蓝色上衣和蓝色长裤的概率为1. 6. (2)由表格可知，蓝白颜色搭配的结果有 20