第1课时 用一元二次方程解决几何应用问题-【提优精练】2024-2025学年九年级上册数学（北师大版）

第●章 一元二次方程 6 应用一元二次方程 第1课时 用一元二次方程解决几何应用问题 基础培优题 挖强教材，高于教材 计).若该无盖盒子的底面积为900cm,则盒 子的容积是 一题两用（理解知识·激活思维） 1.某学校为美化校园，准备在长35m、宽20m 的长方形场地上修建若干条宽度相同的 道路，余下部分作草坪，并请全校学生参 与方案设计.现有3名同学各设计了一种 A.3600cm 方案，图纸分别如图①、图②和图③所示 B.4000cm (阴影部分为草坪).设道路的宽度为xm C.4500cm D.9000cm 3.(易错题)如图（示意图），一农户要建一个矩形 20m 20m1 20m 羊圈，羊圈的一边利用长为15m的住房墙，另 35m 35m 35m 外三边用27m长的篱笆围成为方便进出，在垂 图① 图② 图③ 直于住房墙的一边留一个1m宽的门（未用到 基础设问 篱笆)，则所围矩形羊圈的长为 、宽 (1)甲同学的设计图纸如图①，设计草坪的 为 时，羊圈的面积为96m2. 总面积为600m,可列方程为 住房墙 (2)乙同学的设计图纸如图②，设计草坪的 总面积为600m,可列方程为 (3)丙同学的设计图纸如图③，设计草坪的 总面积为540m,可列方程为 延展设问 知识点二三。用一元二次方程解决图形中的动 (4)如果采用丙同学的设计方案，学校计 点问题 划在三条宽度相同的道路上铺设大理石 4.(教材53T2变式)如图，△ABCA 路面，预计每平方米的费用是180元，请 中，∠C=90°，AC=8cm,BC 你计算学校铺设完路面的费用， 4cm,一动点P从点A出发沿着 AC方向以2cm/s的速度运动，另 一动点Q从点C出发沿着CB边 O B 以1cm/s的速度运动，P,Q两点同时出发， 运动 s时，△PCQ的面积是△ABC 面积的子 知识点一一用一元二次方程解决儿何图形问题 5.(教材P54T1变式)如图所示，在△ABC中， ∠ACB=90°，AB=50cm,AC=40cm,点P 2.如图，将边长为40cm的正方形硬纸板的四 从点C出发沿CA边向点A以4cm/s的速度 个角各剪掉一个同样大小的正方形，剩余部 运动，同时另一点Q从点C出发以3cm/s的 分折成一个无盖的盒子（纸板的厚度忽略不 37 智学酷提优精练数学九年级上册(BS) 速度沿CB边向点B运动.几秒后，PQ的长 片素养创新题 线战创新，素养发展 度是15cm? 8.(新定义题)阅读探索：任意给 定一个矩形A,是否存在另一 个矩形B,它的周长和面积分别 是已知矩形周长和面积的一 半？假设存在，那么这个矩形叫做给定矩形 的“减半”矩形.如图，矩形A1BCD,就是矩 形ABCD的“减半”矩形. 长：12 宽：2 片能力提升题 综合应用，提升能力 D 长：4 C 宽：3 6.如图，在矩形ABCD中， B AB=10cm,AD=8cm,点 (1)当已知矩形A的两边长分别为6和1时， P从点A出发沿AB边以 小亮同学是这样研究的： 2cm/s的速度向点B运动， P-+B 设所求矩形B的两边长分别是x和y. 同时点Q从点B出发沿BC边以1cm/s的 1 速度向点C运动，点P到达终点后，P,Q两 由题意，得 点同时停止运动，则 s时，△BPQ xy=3, 的面积是6cm2. 消去y整理可得2x2一7x+6=0. 7.如图，已知在梯形ABCD中， 因为b2一4ac=49-48>0, AD∥BC,∠B=90°，AD=24cm, 所以x1= C2= AB=8cm,BC=26cm,动点P 所以满足要求的矩形B存在（完成填空） 从点A出发沿AD边以1cm/s 请你继续解决下列问题： 的速度向点D运动，动点Q从点C出发沿 (2)当矩形的长和宽分别为7和1时，它是否 CB边以3cm/s的速度向点B运动，P,Q分 存在“碱半”矩形？请作出判断，并说明理由 别从A,C同时出发，当其中一点到达端点 时，另一点也随之停止运动.设运动时间为 ts,当t为何值时，PQ=CD? 中数数字技 38得x十r-4.xx-k-1. (2)(35-r)(20-r)-600 因为矩形的对角线长为v10. (3)(35-2r)(20-r)-540 所以xr+r-(v10). (4)解:学校铺设完路面的费用是28800元 所以(xr+x)-2xx:-10. 2.C 3.12m 8m 4.2 即4-2(-1)-10. 5.解:3s后PQ的长度是15cm. 解得-4,满足<5. 6.2或3 解析:设运动时间为/s. 则PB-(10-2t)cm,BQ-1cm 所以的值为4 14.(1)1士③ (2)解:设该方程的另一个根为1,则根据根与 整理,得1-51十6-0. 系数的关系,得2+/3+1=-b.(2+3)=c. 解得1-2.1-3. 因为为有理数, 所以2s或3s时,△BPQ的面积是6cm^{} 所以设:一一3(p为有理数). 7.解:如图,过点D作DE1BC于点E,过点P 因为c为有理数, 作PF]BC于点F 所以:与2+/③为有理化因式. 所以/-2-/3. 所以6--4.c-1. FC (3)解:根据根与系数的关系,得x.x:--1. 由题意,得AP-t cm,CQ=3t cm. 因为在梯形ABCD中,AD/BC,B-90{; 因为x.=m+nv2,所以x.=m-nv2. 所以四边形ABED、四边形ABFP都是矩形 所以十x:-2n. 因为AD-24 cm,AB-8cm,BC=26cm. x1r:-(m+nv2)(n-nv2)-1. 所以 BE-AD=24 cm,PF-DE-AB-8cm. 即n-2n-1. 所以CE-BC-BE=2cm. 所以n-1+2n. 所以CD-CE+DE*-68. 所以r}+r+x(2n+v2m)-n-6n 因为FQ=BC-CQ-BF=BC-CO-AP =(x.+x)-2xx+(m-nv2)(2n+ 26-31-1-(26-47)cm. 所以PQ-PF+FQ-64+(26-4) ②m)-m{-6n{ 所以当64+(26-4)*-68时,PQ=CD.解 -4n-2×1+②(m-n②)(n+n②)- 得1-6或/-7. m-6n{} 所以当运动时间为6s或7s时,PQ一CD -3m-2+/2×1-6n* 8.(1)2 ”l: -3(1+2n)-2+/②-6n} (2)解:存在,理由如下: -3+6n-2+v2-6n*} -12. 设所求矩形的两边长分别是:和y [r+y-4. 6 应用一元二次方程 由题意,得 1xy-- 第1课时 用一元二次方程解决几何应用问题 1.(1)(35-2c)(20-2x)-600 消去y整理可得2r-8x+7-0 数数字科 *31。 因为b-4ac-64-56-80. 所以9月的注册用户能达到85万人. 11.解:(1)设从年初到现在该品牌篮球售价平 均每次降价的百分率为工. 所以满足要求的矩形B存在 依题意,得150(1-x)-96. 第2课时 用一元二次方程解决实际应用问题 解得x.=0.2-20%,x:=1.8(不符合题意 1.(1)40+x r十10 )600-10.x 舍去). (2)解:玩具销售单价定为50元或80元时 答:从年初到现在该品牌篮球售价平均每次 可获得10000元的销售利润 降价的百分率为20%. (3)解:不可能,理由如下; (2)因为乙店买十送一 (r+10)(600-10.*)-13000. 所以只需在乙店购买137个篮球 化简,得x-50x十700-0. 【关键】明确买十送一的意思,得到在乙店胸 $-4ac-(-50)-4$1$700--3000 买篮球的个数是解题的关键 方程没有实数根 在甲店购买所需费用为96×0.9×150 所以商场不可能获得13000元的销售利润 12960(元). 2.(52-40+x)(180-10x)-2000 在乙店购买所需费用为96×137= 3.(1100-x-750)(30+x-50X10)=12000 13152(元). (y-750)(30+1100-x10)=12000 因为12960 13152. 0 所以去甲店购买更加合算 4.D 5.C 6.D 7.B #_(n1一1) 8.D 解析:设每轮传染中每人传染工人 12.(1)190 依题意,得3+3x十x(3+3x)-300. 解析:20×(20-1)-2-190(次). 整理,得r+2x-99-0. 若本班人数为”(n一2,且n为正整数),则 解得x:-9,x:--11(不合题意,舍去). 所以3+3r-3+3×9-30. 即第一轮传染后患流感的人数为30. 9.C 解析:设参加酒会的人数为x,根据题意, 整理,得n-n-2450-0. 解得n-50,n。=-49(不符合题意,舍去). 解得x,-11,x=-10(不合题意,含去). 答:该班同学的人数为50. 所以参加酒会的人数为11. (3)解:因为线段AB上共有n个点(不含端 10.解:(1)依题意,得50(1十x)②-72. 点A,B),所以该线段上共有(m+2)个点 解得x.=0.2-20%,x:=-2.2(不合题意 (含端点A,B). 舍去). 所以线段总数为-(m+2)(m+1)条. 1 答:月平均增长率x的值为20%. (2)9月的注册用户能达到85万人.理由如下; 【技巧】利用类推的方法直接得到线段的 总数。 72×(1+20%)-86.4(万人). 因为86.4>85. 中数数字 中数数字科 *32善