上册 第二章 5 一元二次方程的根与系数的关系-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

一元二次方程 第二章 一元二次方程的根与系数的关系 自主导学Q典例精析 例题 已知关于x的方程x2-6x+h=0的两根分别是1,2，且满足1+1=3，求k的值. XI X2 【分析】找出一元二次方程的系数a,b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与 两根之积，然后将已知的等式变形为含有(x1+x2)与x2的式子，将求出的两根之和与两根 之积代入，即可求出所求式子的值. 【解答】，x2-6x+k=0的两个解分别为x1,2, t=6,xx=k.↓+1=t2=6=3. 解得k=2. 【点拨】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是 解题的关键。 基础巩固飞达标闯关 1.已知关于x的一元二次方程x2-4x-m=0的两实数根为2+V3和2-V3,则m的值为 2.已知关于x的一元二次方程5x+kx-6=0的一个根是2，则它的另一个根为 k的值为 3.已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x=1,x2=-2,则b与c的值分别 为() A.b=-1,c=2 B.b=1,c=-2 C.b=1,c=2 D.b=-1,c=-2 4.已知x1和x2是方程x2-x-1=0的两个根，则+x号的值是（) A.V3 B.-3 C.3 D.-1 能力提升坤综合拓展 -卡多多多 5.若一个一元二次方程的两个根为-2和子，则这个一元二次方程为 (写出方 程的一般形式)： 6.设x,为是方程244=3的两个根，则L+1= (x1+1)(x2+1)= X1 X2 45 口数学 九年级上册（北师大版） 7.设：1，物是方程x2-2V2x-3=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值. (1）3x7x2+x1xi; (2)+1 8.若关于x的一元二次方程x2+kx+42-3=0的两个实数根分别是x1,x2,且满足x+x2=x1· x2,求k的值. 9.已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根 (2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a+b)(a+2b)=20,求m的值. 46参考答案与提示 和6. 12.解：依题意，(1-30%)(1-m%)2=143.3%,整理得(1-m%)2-0.81,m=10,m2=190(不合题意，舍去). .m=10. 13.B 14.解：(1)）利用公式法：2+2x-1-0.a=1,b=2,c=-1,4=2-4x1x-1)=4+4=8.x=-2生Y8=-2±2V2 2 2 =-1±V2.∴x=-1+V2,2=-1-V2.(2)利用因式分解法：x2-3x=0..x(x-3)=0.∴x=0,x2=3.(3)利用配 方法：2-4=4.两边都加上4，得x2-4x+4=8.∴.(x-2)2=8.∵x-2=±2V2.∴x=2+2V2,2=2-2V2.(4)利用 因式分解法：x2-4=0..(x+2)(x-2)=0.x1=-2,x=2. 5一元二次方程的根与系数的关系 1-12.号-73D4C5.3w-10-06-37)-6V22)-4 8解：由根与系数的关系，得+。-，=4-3，由题意，知4-3-解这个方程，得-1，k子 原方程有两个实数根，4--44-3=12-15当=-1时，42-15-3<0：当=号时，42-15诏> 0,= 9.(1)证明：4=[-(2m+1)]2-4(m2+m)=4m2+4m+1-4m2-4m=1>0,∴.无论m取何值时，方程都有两个不相等 的实数根.(2)解：该方程的两个实数根为a,b,∴.a+b=2m+1,ab=m2+m.(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2= 2(d2+2ab+b2)+ab=2(a+b)2+ab,.2(a+b)2+ab=20,.2(2m+1)2+m2+m=20.整理得m2+m-2-0,解得m1=-2,m2=1,∴m 的值为-2或1. 6应用一元二次方程（第1课时） 1.解：设阔（宽）为x步，则长为(60-x)步，则x(60-x)=864.x=24,x=36.则阔（宽）为24步，长为36步. 2.解：设P,Q两块绿地周周的硬化路面的宽都为xm,根据题意，得(60-3)x(40-2x)-60x40x},解得x= 10,2=30.经检验，2=30不符合题意，舍去.∴.两块绿地周围的硬化路面的宽都为10m. 3.解：(1)由题意，矩形窗户AEFD的长EF=2x,宽AE=x,.矩形窗户AEFD的面积为22.又所有线段 总长为10.5m,矩形窗户AEm边框的周长为7x,矩形窗户BCE的边BC长为2，BE=号(105-9x)-35-3x, .矩形窗户BCFE的面积为2x(3.5-3x)=7x-62.(2)由题意，得22+7x-6x2=2.5,x=0.5,2=1.25.当x=125时， BE=3.5-3x=-0.25,不符合题意，舍去；当x=0.5时，BE=3.5-3x=2..BE的长为2m. 4解：设机器人在(，0)处与小球相遇.由题意，得4科(x-4片[2(17-x),整理得3+2x-1610.解得 =7,号（不合题意，含去），机器人最快在点(，0)处截住小球 5.解：如图，设侦察船需th能侦察到军舰.在Rt△AA'B'中，AB2+AA2=BA2, 北 即(20P4(90-30)50整理得1354+560.解得2，答，放能债察到军银. A -A 且最早要经过2h. 东 6.解：(1)在Rt△ABC中，AC=V2.5-0.7严=2.4.设梯子的顶端沿墙垂直下滑 B 0.4m后，梯子的位置为AB,梯足外移xm,则AC=2.4-0.4=2.在Rt△AB,C中， B (0.7+xP+22=2.5子.化简方程，得x2+1.4-1.76=0.解得x1=-2.2（舍去)，=0.8.(2)y< x理由如下：由题意知AC-c,∠Ac90,AB25,4C-6C-5Y至YZ-月： 第5题答图 ，4 |5Yy-29,则45Y2-0x0.0.则40.y<0.即yx (3)有，梯子下滑的距 离为1.7.理由如下：设AA=BB=x,则AC=2.4-x,BC=0.7+x,则2.5=(2.4-x)2+(0.7+x)2,化简，得2x2-3.4x=0.解 得x=1.7,2=0（舍去)，∴x=1.7.(4)设AA=BB=0.4,AC=x,BC=y,则2.52=y2+(x+0.4)2,2.52=(y+0.4)2+x2. 则x=y.在Rt△ABC中，2.52=y2+(y+0.4)2,即2y240.8y-6.09=0,则y≈1.6.