专题10 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系综合训练（共60道）-2024-2025学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（北师大版）

专题10 一元二次方程根的判别式根与系数的关系综合训练 （共60道） 一、单选题 1．已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了方程有实数根，一元二次方程的定义及根的判别式，分类讨论是解本题的关键．根据方程有实数根，分为一元一次方程、一元二次方程两种情况讨论，当为一元二次方程时，根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出整数a的最大值． 【详解】解：①若，则方程为一元一次方程，有实数根，符合题意，即； ②若，则，解得； 综上所述：整数a的最大值为． 故选：A． 2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分和两种情况进行解答． 本题考查的是根的判别式，解题的关键是要注意分和两种情况进行讨论． 【详解】解：①当时，该方程为，是一元一次方程，此时方程有一个实数根； ②当时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， 综上，的取值范围是． 故选：B． 3．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．0 B．8 C． D．0或8 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程有两个相等的实数根，则，据此得出关于m的方程，求解即可得出答案． 【详解】方程有两个相等的实数根， ， 解得，， 故选：D． 4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．牢记“当方程有两个不相等的实数根时，”是解题的关键． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：C． 5．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【详解】题考查一元二次方程的解的情况，分为时，是一元一次方程有解，时，方程为一元二次方程，要求，根据两种情况解题即可． 【分析】本解：当时，即，这时方程为，解得； 当时，方程为一元二次方程，则， 解得且， 综上所述，m的取值范围是， 故选：A． 6．若方程没有实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握当“”时，该方程无实数根． 直接利用根的判别式进行判断，求出的取值范围即可． 【详解】由题意得： 故选：D． 7．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A． B．9 C． D．36 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题根据求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故选：A． 8．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（    ） A．4 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况． 根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，从而列出关于 a 的方程，解方程即可． 【详解】解：关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， ， ． 故选：A． 9．关于x的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，因为关于x的一元二次方程有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实根， ，并且， ∴且． 故选：C． 10．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当时，方程化为，解得：，满足题意； 当时，方程为一元二次方程，则：， ∴； 故选B． 11．若关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 设另一个根为，由关于x的一元二次方程的一个根为2，可得，计算求解即可． 【详解】解：设另一个根为， ∵关于x的一元二次方程的一个根为2， ∴， 解得，， 故选：B． 12．若方程 的两根为，，则 的值为：（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，根据方程 的两根为，得，，根据进行计算即可得；掌握一元二次方程根与系数的关系，代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵方程 的两根为， ∴， ∴， 故选：B． 13．关于x的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，根据一元二次方程的根与系数的关系求出两根及m值，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵的两根为， ∴．， ∵， ∴，， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 14．已知，则的值是（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，求代数式的值，根据题意得到可以看作方程的两个实数根，则，把代数式变形后整体代入即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴可以看作方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C 15．设一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后代入求值即可． 【详解】解：， 故选：A． 16．已知，是方程的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得，，然后再整体代入即可解答． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选D． 17．已知，是方程的两个根，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟记相关结论即可．若一元二次方程的两个根为，则，． 【详解】解：∵a，b是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：B． 18．已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，根据两根之和等于，两根之积等于，求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴，， ∴， 故选：． 19．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或 D．或4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，先由根与系数的关系得到，，再由已知条件得到，解方程得到m的值，再利用判别式求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 20．已知、是一元二次方程的两根，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，． 先把通分后化为，根据根与系数的关系得代入进行计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ， ， 故选：A． 二、填空题 21．关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的判别式，明确一元二次方程二次项的系数不为． 根据题意计算，求解即可； 【详解】 解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且 22．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先把方程化为一般式，再根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解方程和不等式得到m的值． 【详解】解：方程化为一般式为， 根据题意得且， 解得m， 即m的值为． 故答案为：． 23．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程没有实数根的条件是是解题的关键． 根据一元二次方程没有实数根的条件是，代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴，即， 解得． 故答案为：． 24．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 25．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的值；，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得即可求解；掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 方程有两个不相等的实数根，， ，， 即： 解得：， 且． 故答案为：且． 26．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据判别式的意义得到，然后解不等式求出的取值即可．本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴， 解得， ∴实数的取值范围是． 故答案为：． 27．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的最大整数值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程 的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键． 令根的判别式大于0列不等式求解即可． 【详解】解： 由题意得， 解得， ∴实数m的最大整数值为2． 故答案为：2． 28．已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式可得，解不等式即可求解，掌握一元二次方程的定义及根的判别式与根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，且， ∴且． 29．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 30．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及定义，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据一元二次方程根的情况，可知一元二次方程根的判别式，再根据一元二次方程根的定义得到，即可解题． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 31．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：3 32．已知、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“，是一元二次方程的两根时，，”是解题的关键．利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，，，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：、是方程的两个实数根， ，，， ． 故答案为：4． 33．设a、b是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 先利用根与系数的关系得到，，再计算，然后利用整体代入的方法计算即可求解． 【详解】解：、b是方程的实数根， ，， ． 故答案为：． 34．已知a，b是一元二次方程的两实数根，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，代数式求值，完全平方公式的变形，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 先根据根与系数关系得出，再把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：12． 35．已知方程的两根为，则 ． 【答案】38 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即． 根据一元二次方程根与系数的关系可以得到，将代数式变形，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵方程的两根为， ， 又 ， 故答案为：38． 36．若、分别为方程的两根，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查根与系数的关系，根据题意，得到，整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：3． 37．若实数a，b是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系，可得出，将其代入中，计算即可． 本题考查了根与系数的关系，牢记，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． 【详解】 解：实数a，b是一元二次方程的两根， ∴， ∴ 故答案为：5 38．若α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】将代入原方程，再结合根与系数的关系即可解决问题．本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 则， 故答案为：． 39．已知，是方程的两个实数根，则的值为 ； 【答案】9 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据题意可得，，根据计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， 且， ， ， 故原式， 故答案为：． 40．已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．直接根据一元二次方程根与系数的关系得到，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 41．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． （2）解：是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴， 解得． 42．已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程． （1）将代入，利用配方法求解方程即可； （2）利用一元二次方程根的判别式，结合，得到，根据，即可证明； （3）根据题意原方程为，由一元二次方程根与系数的关系的到，再根据完全平方公式变形得到，从而得到，根据根的判别式得到即可证明结论． 【详解】（1）解： ， 原方程为， 解得：； （2）证明：中， ， ， ， ， ， 此方程至少有一个实数根； （3）证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为， ， ， ， 即， ． 43．已知关于x的一元二次方程． (1)试说明不论实数m取何值，方程总有实数根； (2)如果当时，α、β为方程的两个根，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）计算其判别式，判断出其符号即可； （2）当时，其方程为，利用方程根的定义可求得，，代入求值即可． 【详解】（1）， ， 不论实数m取何值，方程总有实数根； （2）当时，其方程为， α、β为方程的两个根， ，， ． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，掌握方程根的情况和根的判别式的关系是解题的关键． 44．关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值； (3)若方程的两个实数根为，且，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，解不等式即可得出答案； （2）求出的值为6，解方程求出，代入方程求出的值即可； （3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合题意求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，     解得； （2）解：∵是符合条件的最大整数， ∴的值为6， ∴方程变形为， 解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴， ∴的值为． （3）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵； ∴的值为． 45．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个根为，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及其判别式的相关知识，将待求式根据完全平方公式适当的变形是解答本题的关键． （1）根据一元二次方程有两个根，可以知道其判别式大于或等于0，据此作答即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系，有，，再将转化为，再代入计算即可． 【详解】（1）解：原方程可化为：， 一元二次方程有两个实数根， 且， 即且， 解得：； （2）根据根与系数的关系得：，， ， ， 解得，（舍去）， 经检验是方程的解， 的值为． 46．已知关于的一元次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)设的两个实数根为，，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根据一元二次方程根的个数求参数、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式变形、解一元二次方程等知识点． （1）由方程有实数根即可得出，解之即可得出的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再由（1）中的取值范围即可确定的值． 【详解】（1）解：该方程有两个实数根， ， ， ； （2）解：，， ， ， 即， ， ，， ， ． 47．设，是方程的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用根与系数的关系求出与的值，各式变形后代入计算即可求出值； （）利用根与系数的关系求出与的值，各式变形后代入计算即可求出值； 此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式是解本题的关键． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， 原式； （2）∵，是方程的两个实数根， ∴，， 原式． 48．已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个根是，求方程的另一个根； (2)若该一元二次方程的两个根分别为，，当时，求的值． 【答案】(1)方程的另一个根为； (2)． 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系以及解一元二次方程． （1）将代入中，得，再解方程即可； （2）先根据判别式求得m的取值范围，再根据根与系数的关系代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的一个根是， ∴将代入中，得，解得， ∴解一元二次方程，得或， ∴方程的另一个根为； （2）解：由题意知， ∴， ∵， ∴且； ∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴，，， ∴，可化为， 解得或（舍去）， ∴． 49．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系． （1）用m表示出根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）证明：由题知， ∵， ∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：因为方程的两个实数根为a，b， 所以，， 所以 ． 50．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根与系数的关系： （1）根据根与系数的关系，得到，整体代入法进行计算即可； （2）利用根与系数的关系结合整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ； （2）∵， ∴ ． 51．若，是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解∶ ∵， ∴． 52．关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根与系数的关系和根的判别式是解题的关键． （1）根据题意可知，解出不等式即可得到答案； （2）根据根与系数的关系得出，，代入，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根和 解得：． 则实数的取值范围是． （2）解：根据题意，， ，即 ，即 解得：或1 舍去 ． 53．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个不相等的实数根． (2)若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查根的判别式和根与系数关系．掌握的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键；熟记根与系数关系是解题关键． （1）判断即可证明； （2）设方程的另一个根为x，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根． 【详解】（1）解：∵， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为x，则 ， 解得， 故该方程的另一个根为3． 54．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两根，满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解一元二次方程，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得到，，再根据得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：有实数根，即有实数根， ， 解得：； （2）解： 有两根，， ，， ，满足， ， 将，代入得： ， 解得：，， ， ． 55．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据根的判别式得出，据此可得答案； （2）根据根与系数的关系得出，，代入得出关于的方程，解之可得答案． 本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握，是方程的两根时，，． 【详解】（1）证明： ， ∵ 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系，得，， 由，得， 解得． 56．已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，以及根与系数的关系： （1）把代入方程求出的值即可； （2）根据方程有两个实数根，得到，求解即可； （3）根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程得： 解得：或； （2）由题意，得：， 解得：； （3）由题意，得：， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去） ∴． 57．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：m取任意实数、该方程总有两个实数根； (2)设该方程的两根分别为、，且满足，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式： （1）求出即可证明结论； （2）利用根与系数的关系得到，进而得到，解之即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∴m取任意实数、该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两根分别为、， ∴， ∵， ∴， ∴． 58．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程一定有两个不相等的实数根． (2)若是方程两个不相等的根，且，求k的值？ 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）计算出判别式，再配方即可判断； （2）利用根与系数关系得，把配方为，便于利用根与系数的关系，解一元二次方程即可． 【详解】（1）证明：由题意得：关于 x 的一元二次方程， ， 故该方程一定有两个不相等的实数根． （2）解：由题意得：， ， ∴， 即， 解得， 综上或． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，配方法的应用，正确运用配方法是解题的关键． 59．已知：关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根分别为． (1)若是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值； (2)是否存在k，满足？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)2 (2)或1或 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程根与系数的关系等知识，解题的关键是： （1）利用根与系数的关系得出，，利用勾股定理列出关于k的方程，即可求解； （2）利用平方差公式得出，然后分两种情况讨论，由根与系数关系求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴无论k取何值，方程总有实数根， ∴，， ∵是斜边长为的直角三角形的两直角边， ∴， ∴， ∴， 解得(经检验，此时两根之积为负数，故舍去)，， ∴k的值为2 （2）解：假设存在， 当时，则，解得， 当时，， ∴， ∴， ∴ 解得，， 综上，当k的值为或1或时，． 60．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， ∴ 解得：． （2）解：原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去）， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 一元二次方程根的判别式根与系数的关系综合训练 （共60道） 一、单选题 1．已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 3．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．0 B．8 C． D．0或8 4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 6．若方程没有实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 7．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（    ） A． B．9 C． D．36 8．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（    ） A．4 B． C．16 D． 9．关于x的一元二次方程有实根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 10．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 11．若关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根为（    ） A． B． C． D．2 12．若方程 的两根为，，则 的值为：（   ） A．2 B． C． D． 13．关于x的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 14．已知，则的值是（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 15．设一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．1 C． D．5 16．已知，是方程的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 17．已知，是方程的两个根，则等于（    ） A．2 B． C．1 D． 18．已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．2或 D．或4 20．已知、是一元二次方程的两根，则的值等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 21．关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 22．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 23．若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是 ． 24．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 25．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 26．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 27．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的最大整数值为 ． 28．已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是 ． 29．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 30．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 31．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 32．已知、是方程的两个实数根，则的值为 ． 33．设a、b是方程的两个实数根，则的值为 ． 34．已知a，b是一元二次方程的两实数根，则的值为 ． 35．已知方程的两根为，则 ． 36．若、分别为方程的两根，则 ． 37．若实数a，b是一元二次方程的两根，则 ． 38．若α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 39．已知，是方程的两个实数根，则的值为 ； 40．已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为 ． 三、解答题 41．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值． 42．已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 43．已知关于x的一元二次方程． (1)试说明不论实数m取何值，方程总有实数根； (2)如果当时，α、β为方程的两个根，求的值． 44．关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值； (3)若方程的两个实数根为，且，求此时的值． 45．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个根为，且，求的值． 46．已知关于的一元次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)设的两个实数根为，，若，求的值． 47．设，是方程的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值． (1)； (2)． 48．已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个根是，求方程的另一个根； (2)若该一元二次方程的两个根分别为，，当时，求的值． 49．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，求的值． 50．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 51．若，是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数k的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求k的值． 52．关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值． 53．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个不相等的实数根． (2)若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根． 54．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两根，满足，求k的值． 55．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，且，求m的值． 56．已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值． 57．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：m取任意实数、该方程总有两个实数根； (2)设该方程的两根分别为、，且满足，求m的值． 58．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：一元二次方程一定有两个不相等的实数根． (2)若是方程两个不相等的根，且，求k的值？ 59．已知：关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根分别为． (1)若是斜边长为的直角三角形的两直角边，求k的值； (2)是否存在k，满足？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 60．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$