上册 第一章 3 正方形的性质与判定-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（北师大版）

)数学 九年级上册（北师大版） BECP是平行四边形.∠A=30,∠AB0=90,0B=201=0E.:0E=0P,0B=0R∠0EB=∠0BE,∠0FB= ∠OBF∴.∠EBF=∠OBE+∠OBF=90°.∴.四边形BECF是矩形. 2矩形的性质与判定（第3课时） 1.V而2号3B4D5B 6.解：(1)四边形AEDF是矩形.理由：DF∥AC,DE∥AB,∴.四边形AEDF是平行四边形.：∠BAC=90°， ∴.四边形AEDF是矩形.(2)AD=EF理由：四边形AEDF是矩形，AD=EF 7.解：如图，连接CE.四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，A0=C0=AC,AD= BC,AB=CD.又OE⊥AC,.AE=CE.在Rt△ABC中，AB=V2,BC=2,.AC=VAB+BC= V(V2)2+2=V6.在Rt△CDE中，CE=CD+DE,设AE=CE=x,则x2=(V2)2+(2-x)只. 解得=}，即AE=在R△10E中，ABEA00E,0E=VAE10-√号-Y 第7题答图 =Y3.:AE和OB的长分别为？和Y3 8.(1)证明：四边形ABCD是菱形，BD⊥AC,AB=AD..∠A0D=90°，∠DAO=∠BAO.E是AD的中点， 0E=AD=AE.∠EA0=∠A0E∠A0E=∠BA0:0E/PG.OG/E,四边形0EPG是平行四边形.EFL AB,∴.∠EFG=90°..四边形OEFG是矩形.(2)解：四边形ABCD是菱形，BD⊥AC,AB=AD=10.∴.∠AOD= 90.E是AD的中点，0E=AE=号AD=5.由(1)知，四边形0EFG是矩形，FG=0E=5.AE=5,EF=4,AF 2 VAE2-EF2=3...BG=AB-AF-FG=10-3-5=2. 9.解：如图，连接AM,AC.点B和点M关于AP对称，AM=AB=3.四边形ABCD 是矩形，.∠ABC=90°.在Rt△ABC中，AB=3,BC=4,AC=VAB+BC=V3+4=5.AC AM<MC<AC+AM,∴.当点M在AC上时，CM有最小值，此时CM=5-3=2. 10.(1)证明：DH⊥BC,FG⊥BC,EH∥FG,∠FGH=90°.由题意知BF=2tcm,EH= B P tcm.:四边形ABCD是菱形，∴BC=CD,AB∥CD,BD⊥AC..∠CBD=∠BDC,∠ABC+ 第9题答图 ∠BCD=I80P.LABC=60,∠BCD=120P.∴ZCBD=∠BDC=30.:FG=号Bf1cmEH=FG=1cm四边形EFGH 是平行四边形.又：∠FGH=90°，∴.四边形EFGH是矩形.(2)解：△BFC与△DCE能够全等.理由：：四边形 ABCD是菱形，AB=2V3cm,∴.BC=CD=AB=2V3cm,AB∥CD.∴.∠DCH=∠ABC=60°.DH⊥BC,.∠CHD= 90°..∠CDH=90°-∠DCH=30°.由(1)得∠CBD=30°，∠CDE=∠CBF故只可能有△BFC≌△DEC..BF=DE.在 Rt△CDH中，LCHD-90,∠CDH=30,CH-)CD-V3.由勾股定理，得DH-VCD-CF-V(2V3P-(V3P= 3.BF=2tcm,EH=tcm.∴DE=(3-t)cm..当BF=DE时，即2t=3-t..t=l.∴.当t=1时，△BFC≌△DCE. 11.(1)证明：：AB=AC,D是BC的中点，∴AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°.CE∥AD,.∠ECD=∠ADB= 90°.AE⊥AD,∠EAD=90°.∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°.∴.四边形ADCE是矩形.(2)解：AB=AC,D是 BC的中点，BC-4,BD-CDBC=2由()知，四边形ADCE是矩形，4E=CD=2,∠ABC=90.在Rt△AEC 中，AE-2,CE=3.由勾股定理，得AC-VAFICE-V23-V下.EF1AC、Sm=4C~EF=号4E~CE .EF-AE.CE=2x3_6V13 AC V13 13 3正方形的性质与判定（第1课时）】 1.8cm2.Y343.V24.B5.A 6.证明：.四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠ABC=∠C=90°..BE=CF,.△ABE≌△BCF.AE=BF.∠BAE= ∠CBF..'∠BAE+∠BEA=90°，.∴.∠CBF+∠BEA=90°..∴.∠BGE=90°..AE⊥BF 7.解：(1)答案不唯一，选①或选②或选③.(2)选①的证明过程如下：四边形ABCD是正方形， 214 参考答案与提示 ∴AB=CD,∠A=∠C=90°.又AE=CF,∴.△ABE≌△CFD.∴BE=DF选②的证明过程如下：·四边形ABCD是正方 形，∴AD∥BC.又：BE∥DF,.四边形EBFD是平行四边形.∴BE=DF选③的证明过程如下：：四边形ABCD是 正方形，AB=CD,∠A=∠C=90°.又∠1=∠2，∴.△AEB≌△CFD.∴.BE=DF 8.解：如图，延长EB到点G,使BG=DF,连接AG.四边形ABCD是正方形，AD=AB, ∠D=∠ABG=90P.∴.△ADF≌△ABG.∴.∠BAG=∠DAF,AF=AG.∴∠GAF=90°.△ECF的周长 等于正方形ABCD周长的一半，EF=BE+DF=BE+BG.∴EF=EG.又AE=AE,∴△AEF≌ △AEG.LEAG=∠EAF号∠GAF2×90P=459 G'- B E 9.(1)证明：四边形ABCD是正方形，.∠BAD=90°，AC1BD,OD=OA. 第8题答图 ∠DOF=∠AOE=90°.DM⊥AE,∴.∠FAE+∠MFA-=90°.又：∠MFA=∠DFO,∠DFO+ ∠MD0=90°，∴.∠MD0=∠FAE.△FOD≌△EOA..OE=OF(2)解：OE=0F.如图， :AE⊥DF,∴.∠ADF=90°-∠MAD.又：∠BAE=180°-90°-∠MAD=90°-∠MAD,.∠ADF= ∠BAE.由(1)知OA=OD,∴∠FOD=∠E0A=90°，∴.∠ODA=∠OAB=45°.∴.∠FD0= ∠ADF+∠ODA,∠EAO=∠BAE+∠OAB..∠FDO=∠EAO.又·.OD=OA,△DOF≌ △AOE...OE=OF. 10.(1)证明：如图，连接DF,:四边形ABCD是正方形，AB=AD=CD,∠A= 第9题答图 ∠ADC=∠C=90°.又：点A关于直线DE的对称点为F,∴.△ADE≌△FDE.AD=DF, ∠DFE=LA=90°.DF=CD,∠DFG=90°.又DG=DG,Rt△DFG≌Rt△DCG(HL)..GF= D 24 GC.(2)BH=V2AE.证明：如图，在线段AD上截取AM,使AM=AE.:AD=AB, 12 .DM=BE.由(1)知，∠1=∠2，∠3=∠4.∠ADC=90°，.∠1+∠2+∠3+∠4=90°..2∠2+M 2∠3=90°.∴.∠2+∠3=45°，即∠EDH=45°.EH⊥DE,.∠DEH=90°..DE=EH.∠AED+ ∠BEH=90°，∠AED+∠1=90°，∴.∠1=∠BEH.又：DM=BE,DE=HE,∴.△DME≌△EBH. E B EM=BH.在△AEM中，∠A=90°，AM=AE,∴.EM=V2AE.∴.BH=V2AE. 第10题答图 172(-2,-1)13.D 14.证明：(1)四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.∴.∠ADB=∠ABE=∠CBE=45°.在 △EAB和△ECB中，AB=CB,∠ABE=∠CBE,BE=BE,'.△EAB≌△ECB(SAS)·(2)四边形ABCD为正方 形，÷∠ADC=90.∠BDC=LADB=45.△EAB≌△ECB,∠AEC=45°，∠CED=∠AED=号∠AEC=22.5.: 2 ∠BDC=∠CED+∠DCE=45°，∴.∠DCE=45°-22.5°=22.5°..∠CED=∠DCE..DC=DE. 3正方形的性质与判定（第2课时） 1.AC=BD(或∠BAD=90°或∠ADC=90°或∠ABC=90°或∠BCD=90°) 2.有一组邻边相等的矩形是正方形 3.D4.C 5.证明：BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD.又BA=BC,BD=BD,∴.△ABD≌△CBD(SAS).∴.∠ADB= ∠CDB.又·.PM⊥AD,PN⊥CD,.∠PMD=∠PND=90°，PM=PN.又.∠ADC=90°，·.四边形MPND是正方形 6.证明：四边形ABCD是矩形，.∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°..∠BAD,∠ABC,∠BCD,∠ADC 的外角都等于90°.AE,BF分别是∠BAD,∠ABC的外角平分线，∴∠BAE=∠CBF=45°.∴.∠ABE=45°..AE=BE, ∠E=90°.同理∠F=∠G=∠H=90°.∴.四边形EFGH是矩形.AD=BC,∠HAD=∠CBF=45°，∴.△AHD≌△BFC (AAS).AH=BFHE=EF∴.四边形EFGH是正方形. 7.解：(1)四边形EFGH是正方形.证明：四边形ABCD是正方形，.∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC= CD=AD.HA=EB=FC=GD,.AE=BF=CG=DH..△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS).∴.EF=FG=GH=EH. ∴.四边形EFGH是菱形.由△AEH≌△DHG知，∠DHG=∠AEH.·∠AEH+∠AHE=90°，∴.∠DHG+∠AHE=90°.. ∠GHE=90..四边形EFGH是正方形.(2)1V10 8.(1)证明：连接CD,如图，AC=BC,∠ACB=90°，点D是AB的中点，.CD= AD,∠ADC=90°..∠A=∠DCF=∠ACD=45°.又AE=CF,.△ADE≌△CDF(SAS). DE=DF,∠ADE=∠CDF∠ADE+∠EDC=90°，∴.∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°.∴.△EDE 为等腰直角三角形.：点O为EF的中点，GO=OD,.GD⊥EF,且GD=2OD=EF∴.四边 D 形EDFG是正方形.(2)解：过点D作DE'⊥AC于点E,如图所示.由(1)知AD= 第8题答图 215 数学 九年级上册（北师大版） CD,∠ADC=90°，AE'=CE.∠ACB=90,AC=BC=4,D是AB的中点，DE'=号BC=2,AB=4V2,2≤ DE<2V2(点E与点E'重合时取等号).4≤S边形m=DEP<8.∴.当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的 面积最小，该最小值为4. 9.AC=BD(答案不唯一）10.A I山.B提示：在AB的延长线上裁取H=BC,连接FH,DH,则G=H,OM=号DR 由勾股定理，得DH=0OM+PG-号(DF4FG).由三角形三边关系，得DH≤DP.FH.-DF+ H的最小值为10.OM+号FG的最小值为5. 12.解：(1)四边形BPC0为平行四边形.理由：四边形ABCD为平行四边形， 0C-01=2AC,0B=0D=BD:以点B,C为圆心，号AC,号BD长为半径面孤， 2 两弧交于点P,.OB=CP,BP=OC..四边形BPC0为平行四边形.(2)当AC⊥BD, (Q AC=BD时，四边形BPC0为正方形.AC=BD,0B=D,0C=号AC0B=0C AC⊥BD,∴∠BOC=90°.四边形BPCO为平行四边形..四边形BPCO为正方形. 13.解：(1)如图1，延长FG,交AC于点H,:四边形ABCD和四边形BEFG 图2 是正方形，BC=CD=AD,FG=BG,CD∥AE,FG∥AE,∠CGH=∠BGF=∠DCB=90°. ∠ACD=45°，CD∥FG.∴.∠CHG=∠ACD=∠ACB=45°，∠CDP=∠HFP.CG=GH.∴.CG+ BG=GH+FG,即BC=FH..CD=FH..'.△CDP≌△HFP(ASA)..DP=FP.(2)△APE 是等腰直角三角形.理由：如图2，延长EG,交AD的延长线于点M,设DF和EG交 于点Q.四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠ABC=∠BAD=∠GBE=∠BEF= 90°，AD=AB=BC,BG=BE=EF,AD∥BC∥EF,∠M=∠BEG=45°..AM=AE.:AM- AD=AE-AB.DM=BE=EFAD∥EF,.∠M=∠GEF,∠MDQ=∠EFQ.∴.△DQM≌ △FQE(ASA)..DQ=FQ..点Q和点P重合，即EG与DF的交点P恰好也是DF的 中点.∠ABC=90°，AB=BC,∴.∠BAC=45°.∠BEG=45°，∴∠APE=90°，AP-EP∴ △APE是等腰直角三角形.(3)△APE仍然是等腰直角三角形.理由：如图3，延长 EP至点Q,使PQ=PE,连接DQ,延长DA和FE,交于点N,DP=PF,∠DPQ= ∠EPF,PQ=PE,.△PDQ≌△PFE(SAS)..DQ=EF,∠PQD=∠PEF.QD∥NF. ∠N+∠ADQ=180°.四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴.∠BAN=∠DAB=90°， ∠BEN=∠BEF=90°，AB=AD,BE=EF∴.∠N+∠ABE=36O°-∠BAN-∠BEN=180°，DQ= BE..∠ABE=∠ADQ..△ADQ≌△ABE(SAS).∴AE=AQ,∠DAQ=∠BAE..∠BAE+ 图3 第13题答图 ∠BMQ=∠DAQ+∠BAQ=∠B1D=0,即∠Q1E=0.AP1E0,AP=PE=2E0. △APE是等腰直角三角形. 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程（第1课时） 1.3x2-5x-6=03x2-5x-62.x+2x(+2)=2283.k≠-24.C5.D6.C7.2x2+3.x-5=023-5; 4x2-6=-040-6;x2-5x+10=01-510 8.解：若方程是一元二次方程，则二次项系数(k+3)(k-1)≠0，即k≠-3，k≠1，·.当k≠-3，飞≠1时，方程 是一元二次方程. 9.解：设三边长分别为x,x+1,x+2,则x2+(x+1)2=(x+2)2,x2-2x-3=0. 10.解：设四周未铺地毯的留空宽度为xm,则(20-2x)(15-2x)-×20x15,整理得22-35+75=-0. 11.解：设每个标准间涨价为x元，则宾馆每晚出租(50-0.2x)个标准间，可列出(50-0.2x)(120+x)=6600. 整理得x2-130x+3000=0.特殊平行四边形 第一章 正方形的性质与判定（第1课时) 自主导学Q典例精析 例题如图，点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8， CE=3,求线段BE的长， 【分析】根据正方形的性质得出AD=BC=CD=AB,根据面积求出AB边上 的高，得出BC=4,再根据勾股定理求出BE即可 例题图 【解答】过点E作EM⊥AB于点M,·:四边形ABCD是正方形， ∴.AD=BC=CD=AB,四边形ADEM为矩形..EM=AD,AM=DE.∴.BM=CE. △ABE的面积为8，AB-EM=8解得EM-=4.MD=DC=BC=AB=4. 例题答图 在Rt△BCE中，CE=3,BE=VBC+CE,.BE=V42+32=5. 【点拨】本题考查正方形的性质、勾股定理的应用，解此题的关键是作辅助线EM,利用 △ABE的面积求出BC的长. 基础巩固飞U达标闯关 -上多 1.若正方形的两条对角线长的和为8cm,则它的面积为 2.如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E,F分别在AD,DC上，AE=DF=2,BE与 AF相交于点G,点H为BF的中点，连接GH,则GH的长为 H 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD上的动点，M,N分别是 EF,AF的中点，则MN的最大值为 4.如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在BC, CD的延长线上，且CE=2,DF=1,G为EF的中点，连接OE,交CD于点H,连接GH,则 GH的长为 5.如图，延长正方形ABCD的一边BC至点E,使CE=AC,连接 AE交CD于点F,则∠AFC的度数为() A.112.5 B.120° C.122.5° D.125° 第5题图 19 口数学 九年级上册（北师大版） 6.如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，且BE=CF求证：AE=BF且 AE⊥BF. G 第6题图 7.如图，在正方形ABCD中，E,F分别是AD,BC上的点.在①AE=CF,②BE∥ DF,③∠1=∠2中，选择其中一个条件，求证：BE=DF (1)你选择的条件是 (只需填写序号). (2)请写出证明过程. B 第7题图 能力提升坤综合拓展 -卡多多 8.如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，若△ECF的周长等于正方形周 长的一半，求∠EAF的度数. 第8题图 9.如图，已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在BD上，连接AE并 延长交BC于点N,过点D作AE的垂线分别交AC,AB于点F,M (1)求证：OE=0F. (2)当点E移动到DB的延长线上时，过点D作AE的垂线分别交EA,CA的延长线于 点M,F,请画出图形.如果其他条件不变，OE与OF是否仍然相等？如果相等，请证明； 如果不相等，请说明理由， 第9题图 西 特殊平行四边形 第一章 *10.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A,B重合），连接DE, 点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥ DE交DG的延长线于点H,连接BH (1)求证：GF=GC (2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明. E 第10题图 中考链接©真题演练 卡多多 11.(2024·吉林)如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OA的中 点，点F是0D上一点，连接EF若∠FE0=45°，则EE的值为 E 第11题图 第12题图 第13题图 12.(2024.常州)如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC,BD相 交于原点O.若点A的坐标是(2,1)，则点C的坐标是 13.(2024·重庆)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD 延长线上一点，连接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长度为 () A.2 B.V5 C.V6 D.12 14.(2024·徐州)如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA,EC. (1)求证：△EAB≌△ECB. (2)若∠AEC=45°，求证：DC=DE B 第14题图 西 口数学 九年级上册（北师大版） 正方形的性质与判定（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥ AB,D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足 为点F,连接CD,BE. (1)求证：CE=AD. 例题图 (2)当点D在AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由. (3)若点D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？ 请说明你的理由。 【分析】(1)先证四边形ADEC是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可证出. (2)先证四边形BECD是平行四边形，再证CD=BD,根据菱形的判定定理即可证出.(3)求 出∠CDB=90°，再根据正方形的判定定理即可证出. 【解答】(1)DE⊥BC,∠DFB=90°.∠ACB=90°，∠ACB=∠DFB,.AC∥DE. ,MN∥AB,即CE∥AD,.四边形ADEC是平行四边形，.CE=AD (2)四边形BECD是菱形.理由：点D为AB的中点，∴.AD=BD..CE=AD,.BD=CE. BD∥CE,.四边形BECD是平行四边形.：∠ACB=90°，点D为AB的中点，.CD=BD, .平行四边形BECD是菱形 (3)当∠A=45°时，四边形BECD是正方形.理由：∠ACB=90°，∠A=45°，∴.∠ABC= ∠A=45°，.AC=BC.:点D为BA的中点，∴.CD⊥AB,∴∠CDB=90°.四边形BECD是菱 形，∴.菱形BECD是正方形，即当∠A=45时，四边形BECD是正方形 【点拨】本题考查综合运用正方形的判定、平行四边形的性质和判定、菱形的判定、直 角三角形的性质进行推理的能力， 基础巩固达标闯关 1.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA,对角线AC与BD相 交于点O,若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则 还需增加的一个条件是 2.如图，只要把矩形纸片ABCD的一个角沿折痕AE翻折上去，使 B 第1题图 AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个正方形.判断的根据 是 3.下列判断正确的是() B'------ A.四边相等的四边形是正方形 第2题图 22 特殊平行四边形 第一章 B.四角相等的四边形是正方形 C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 4.如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开.如果要剪 出一个正方形，那么剪口线与折痕所成的锐角为() A.22.5° B.30° C.45° D.60° 第4题图 5.如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上 一点，过点P作PM⊥AD,PW⊥CD,垂足分别为点M,N.求证：四边形MPVD是正方形 第5题图 6.如图，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的.求证：四边形EFGH是正 方形 A 第6题图 能力提升坤综合拓展 7.如图1，在正方形ABCD中，点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA上的点， HA=EB=FC=GD,连接EG,FH,交点为O. (1)如图2，连接EF,FG,GH,HE,试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论. (2)将图1的正方形ABCD沿线段EG,HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式 拼接成一个新的正方形.若正方形ABCD的边长为3cm,HA=EB=FC=GD=1cm,则图3中阴 影部分的面积为 cm,拼出的正方形的边长为 cm. 图1 图2 图3 第7题图 因 口数学 九年级上册（北师大版） *8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点D是AB的中点，点E,F分别是 AC,BC上的点（点E不与端点A,C重合），且AE=CF,连接EF并取EF的中点O,连接 DO并延长至点G,使GO=OD,连接DE,DF,GE,GF (1)求证：四边形EDFG是正方形 (2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？求四边形EDFG面积的最小值. 第8题图 中考链接©真题演练 9.(2024黑龙江)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条 件： ,使得菱形ABCD为正方形. B 第9题图 第10题图 第11题图 10.(2024内蒙古)如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E 是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE,EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则 △BEF的周长是() A.2V2 B.2+V2 C.4-2V2 D.V2 11.(2024·泸州)如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC上 的动点，且满足AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG= 2GB,则OM+2FG的最小值是() A.4 B.5 C.8 D.10 ④ 特殊平行四边形 第一章 12.(2023·十堰)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别以点B,C为圆心， AC,D长为半径画弧，两弧交于点P,连接BP,CR (1)试判断四边形BP℃O的形状，并说明理由， (2)请说明当口ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形. 第12题图 13.(2023·湘潭) 【问题情境】小李同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形 ABCD的边BC上任意取一点G,以BG为边长向外作正方形BEFG,将正方形BEFG绕点B 顺时针旋转 【特例感知】(1)如图1，当BG在BC上时，连接DF,AC相交于点P,小李发现点P 恰为DF的中点，针对小李发现的结论，请给出证明， (2)如图2，小李继续连接EG,并延长与DF相交于点P,发现交点P恰好也是DF的 中点，请证明小李发现的结论，并判断△APE的形状. 【规律探究】 (3)如图3，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转角，连接DF,点P是DF的中点，连 接AP,EP,AE,△APE的形状是否发生改变？请说明理由. ☒ 图1 图2 图3 第13题图 25