第五章 2 一元一次方程的解法-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步练习（北师大版2024）

数学 七年级上册（北师大版） 8,NP号Br-2,MN-AP-P-6。（2)MN的长不会 发生改变。理由：设点P表示的有理数是a(a心-6且 a≠3)。当-6<a<3时（如图1），AP--(-6)=a+6,BP 3-a。:M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段 BP靠近点B的三等分点，Wn号AP号(a+6),NP 号Br号(3-a）,MN=P4MP=6。当a>3时（如图 2),AP=a+6,BP=a-3。M是线段AP靠近点A的三 等分点，V是线段BP靠近点B的三等分点，MP= 号Ar号a6),P号Bn号a-3)。N=P-p 6。综上所述，点P在射线AB上运动（不与点A,B 重合)的过程中，MN的长为定值6.13.414.解： (1)点A,B,C所对应的数依次为-4,2,32，A, B,C三点所对应的数的和为-4+2+32=30。AB=2- (-4)=6,AC=32-(-4)=36,.线段AB与AC的比值为 6:36=1:6。(2)由数轴得，DF=12-0=12,当点A 与点D上下对齐时，点B,C恰好分别与点E,F上下 对齐，DE与DF的比值等于AB与AC的比值，DE= 6DF2。x2. 2角（第1课时) 1.2307243202.18045901353.B 4.B5.A6.D7.解：(1)以点B为顶点的角 有∠ABC,∠ABD,∠DBC,共3个。(2)以射线BA 为边的角有∠ABE,∠ABC。(3)以D为顶点、DC 为一边的角共2个，分别是∠BDC,∠EDC。(4)不 是同一个角，因为这两个角的顶点不同，∠ABC的顶 点是B,∠ACB的顶点是C。组成角的两条射线也不 同，∠ABC的两边为射线BA,BC,∠ACB的两边为 射线CB,CA。8.解：(1)由题意得∠BON=76°， ∠C0N=46°，.∠B0C=∠B0W+∠C0N=122°。 ∠A0B=32°，∴∠A0C=∠B0C-∠A0B=90°。(2) ∠A0N=∠A0C-∠C0W=90°-46°=44°，∴.射线0A在北 偏东44°。9.解：(1)图1中有2条射线，则角的 个数为2x2-1山=1（个）：图2中有3条射线，则角的 2 个数为3x(3-山=3（个）：图3中有4条射线，则角的 2 个数为4×(41D=6(个)。(2)由前三问类推，角内 2 有n条射线时，则共有(n+2)条射线，则角的个数为 m+n+2个。10.9011.C12.A 2角（第2课时）】 1.252.50°3.1354.10°或130°5.B6.C 7.A8.A9.解：∠AOD=∠A0B+∠BOC+ ∠C0D,∠A0B=35°，∠B0C=50°，∠C0D=21°， ∠A0D=35°+50°+21°=106°。0E平分∠A0D,. ∠A0E=∠D0E=3∠A0D=53.10.解：∠1+∠2= 90°，∠2=44°，.∠1=46°。又∠A0E=180°， ∠B0D=180°-（∠1+∠2）=180°-90°=90°。又0C平分 ∠B0D,∠B0C=7∠B0D=45°。六LA0GC=∠1+ ∠B0G=91P。11.解：()45°(2)2a(3) 1 45°(4)∠AOC=∠A0B+∠B0C,∠AOB=,∠B0C= B,.∠A0C=a+B。OM是∠A0C的平分线， ∠A0M=∠COM=7(&+B)。∴LM0B=∠AOB-∠AOM a-a+=E。:0N平分LB0C,.LBON=号∠BOC= 2 2 8.∠M0N-∠N0B+∠B0N=8+学-a。(5) ∠M0N的度数始终是∠AOB度数的一半。12.20° 13.C 2角（第3课时） 1.∠+∠B或∠a-∠B2.B3.D4.解：如图 所示，∠y就是要作的角。 第4题答图 3多边形和圆的初步认识 1.多边形同一线段封闭平面2.无数一 条弧和经过这条弧的端点的两条半径3.D4.D5. 67.5°，112.5°。6.5个。四边形可分割成2个三角形， 即(4-2)个三角形，五边形可分割成3个三角形，即 (5-2)个三角形，六边形可分割成4个三角形，即 (6-2)个三角形，图4中的七边形可分割成(7-2)个 三角形，据此可归纳出n边形可分割成(n-2)个三角 形。7.解：到点A的距离小于2cm,且到点B的距 离不小于2cm的所有点如图所示。&年名9C A 0为 0 第7题答图 第9题答图 第五章一元一次方程 1认识方程 1.4x-3=22.(1+3.5)x=270(或4.5x=270)3. 3x+17=1884.D5.B 6. (1)x=18 (1)3(2x-1)=3x+1 (2)x= 4 (2)4(x+2)=5(x-2) 3 (3) 2+1_5x-1=1 (3)x=-3 3 6 7.解：设安排x名工人生产镜架，则(20-x)人 生产镜片，根据题意得方程2×40x=60(20-x)。8.A 9.B 2一元一次方程的解法（第1课时） 1.x等式性质1[或等式两边都加（或减）同一 个代数式，所得结果仍是等式]2.2等式性质2 [或等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的 数)，所得结果仍是等式]3.4等式性质2[或等 式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所 得结果仍是等式]4.a5.D6.B7.A8.C9. (1)x=4(2)y=610.解：设小李的年龄为x岁时， 小李叔叔的年龄是他年龄的2倍，则28+12+(x-12)= 2x。解得x=28。答：小李的年龄是28.11.A12. 解：设该客车的载客量为x,根据等量关系，列出方 程，得4x+30=5x-10。方程的两边都分别加上+10，-4x, 得30+10=5x-4x。解得x=40。答：该客车的载客量为40 人。 2一元一次方程的解法（第2课时) 1.62.53.A4.B5.C6.D7.(1)x=3 (2②)-6(3)=11(4)y=号8.解：由题 意，得-2x+3+5x-6=12。移项，得5x-2x=12-3+6。合 并同类项，得3x=15。系数化为1，得x=5.9.解： (1)解方程2x-6=4,得x=5。“关于x的方程3x-受 0与方程2x-6=4是“友好方程”，.关于x的方程3x- 受=0的解为x=-5.3x(-5)-受-0。m=-30。（(2) 某“友好方程”的一个解为，∴.“友好方程”的另 一个解为-n,.'n-(-n)=6或-n-n=6。.∴.n=3或n=-3。 *10.解：(1)设0.68=x,0.68=0.686868…,x= 0.686868…。方程两边同乘100，得100x=68.686868 ,100-=-68。解得-88。于是068=袋。（2)根 据题意，得方程10-=，解得产0.11.A 12.39 2一元一次方程的解法（第3课时） 1.22.43.D4.C5.(1)x=2 (2)y= -(3)x=7(4)x=号6.解：由题意得5(2， 3 5 7)=2(3y+4)-3。去括号得10y-35=6y+8-3。移项、合 并同类项，得4y=40。系数化为1，得y=10.7.解： 设该班胜x场，则该班负(10-x)场。3x-(10-x)=14。 解得x=6.10-x=4。答：该班胜6场，负4场。8. 解：(1)由题意，得2x+3(2x-1)=-[(x+1)-16]。去 括号，得2x+6x-3=16-x-1。移项、合并同类项，得 9x=18。系数化为1，得x=2。(2)将方程2(2x-3)=1- 2x去括号、移项、合并同类项，得6x=7。系数化为1， 得=石。：关于x的方程22x-3)1-2x与8-k2(+ D的解相同。8-2x名+。解得太=号。9解： （)=b-a。(2)①方程-3-号0是“和谐方程。 理由：方程-数号0的解为=号。子 Γ2 (-3),方程-3-号0是“和谐方程。②若a=-1, 没有符合要求的“和谐方程”。理由：假设若a=-1, 有符合要求的“和谐方程”，那么-x+b=0为“和谐方 程”，则方程-x+b=0的解为x=b-(-1)=b+1。而方程-x+ b=0的解为x=b。显然假设不成立。∴.若a=-1,没有 1 参考答案与提示 符合要求的“和谐方程”。 10.解：去括号，得2x 2-3=x。移项，得2x-=2+3。合并同类项，得x=5。 2一元一次方程的解法（第4课时）】 1.0,22.53.A4.D5.(1)x=10(2) 3 36.m-号。7.解：(1)不是互为“成双方 程”。理由：解方程4x-(+5)=1,得x=2。解方程-2y- y=3,得=-1。x+y=2+(-1)=1≠2，.方程4x-(x+5)= 1与方程-2y-y=3不是互为“成双方程”。(2)解方程 +号-1，去分母，得3+2m-6。解得x6。解 3 方程3-2=4，得=3。~关于x的方程7+肾-1与 方程3x-2=+4互为“成双方程”，.6-2m+3=2。解得 m=号。（(3)解方程2025*-1=0，得x=2025。 2025-l=0与2025+1=3+k互为“成双方程”， 1 2025+1=3x+k的解为x=2-2025=-2023。:关于y 的方程20250+2)+1-36+6可变形为2025+2+ 1=3(y+2)+,令y+2=x,则原方程转化为关于z的方 程：2025+1=3：6。依据已知可得，方程202 202541s 3x+与2025-10互为“成双方程”。：方程2025 -10解为：-2025，方程2远41=3t的解8 -2023。y+2=-2023,即y=-2025。.关于y的方程 2025+2)+1=3)+k+6的解为y=-2025.8.解： 1 (1)去分母时，常数项漏乘了。(2)去分母，得2· 7x=(4x-1)+6。去括号，得14x=4x-1+6。移项、合并 同类项，得10=5。系数化为1，得x=了 3一元一次方程的应用（第1课时） 1.28m,15m2.903.C4.解：设小的地块 面积为xm,则x+3x=20。解得x=5.3x=15。答：小 杨的爷爷开垦的两块地的面积分别为5m和15m。 5解：设能知工成这孙圆银xm,则20-：9 x。解得x≈199。答：约能加工成这种圆钢199m。 6解：设小林家停电x山，则1-名-21一-子。解得 =3。答：小林家停电的时间是3h。7.解：由于倒 置前、后瓶子中水的体积不变，所以可得等量关系： 倒置后瓶子中水的体积（即倒置前瓶子中水的体积）+ 倒置后空瓶部分的体积=1256cm。设倒置后水的高 度为xcm(因为瓶子形状上小底大，所以x>15),则 42.T·15+42.T·(30-x)=1256。解得x≈20。答：这时 水的高度约为20cm。8.解：(1)第5节套管的长 度为50-4×(5-1)=34(cm)。(2)第10节套管的长度 为50-4×(10-1)=14(cm)。设每相邻两节套管间重叠 的长度为xcm,根据题意，得(50+46+42+…+14)- 9x=311,即320-9x=311。解得x=1。答：每相邻两节 套管间重叠的长度为1cm。9.1.2或1.5提示：第 一次操作后的两边长分别是x和(2-x),1<x<2,口数学 七年级上册（北师大版） 一元一次方程的解法（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题我们知道可以利用天平的平衡原理解释等式的性质，下列等式变形能用如图所 示的天平平衡的事实解释的是() A.如果a=b,那么2a=2b B.如果ab,那么号号 图1 图2 例题图 C.如果a=b,那么a+2=b+2 D.如果a=b,那么a2=b2 【分析】首先观察四个选项的等式变形是依据等式的哪条性质，再观察图1、图2中两 个平衡的天平托盘上物体和砝码之间的联系，发现图2的天平平衡是基于图1之上两边各加 了一个相同质量的砝码，该图示恰好可以形象地解释选项C的等式变形。 【解答】C 【点拔】本题考查等式的基本性质，解题的关键是理解等式基本性质的本质。 基础巩固达标闯关 1.如果6x=x+3,那么6x- =3,根据是 2.如果2(x-3)=4,那么x-3= 根据是 3.如果3g号，那么3x+1 6 根据是 4.如图，天平中的物体a,b,c使天平处于平衡状态，则质量最大 @a⑥④⑥ 的物体是 △ ⑥©AA△ 5.等式2+1-1=x的下列变形，依据等式性质2的是() 3 第4题图 A.2x+1=+1 3 B.2x+1-x=l 3 c号*g-le D.2x+1-3=3x 6.下列式子根据等式性质变形正确的是() A由}=子，得=2 B.由3x-2=2x+2,得x=4 C.由2x-3=3x,得x=3 D.由3x-5=7,得3x=7-5 94 一元一次方程 第五章 7.如图，两个天平都平衡，则与2个球质量相等的正方体的个数为 () A.5 B.4 @am C.3 D.2 8.关于x的一元一次方程2x2+m=4的解为x=1,则a+m的值为() 第7题图 A.9 B.8 C.5 D.4 9.利用等式性质解下列方程： (1）4x-3=2x+5; 2)分414. 能力提升蹄综合拓展 10.小李编了一道题目：“我今年12岁，我叔叔比我大28岁，几年后叔叔的年龄是我 年龄的2倍？”同学们，请你算出小李叔叔的年龄是他年龄的2倍时，小李的年龄是多少。 中考链接©真题演练 11.(2022青海)根据等式的性质，下列各式变形正确的是() A.若0=b,则a=b B.若ac=bc,则a=b cc C.若2=b2,则a=b D.若-子=6，则x=-2 12.(2023·自贡)某校组织七年级学生研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有 座位；租用5辆，还空10个座位。求该客车的载客量。 95 口数学 七年级上册（北师大版） 一元一次方程的解法（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题解方程：2x-1=3。 【分析】移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解。 【解答】移项，合并同类项，得2x=4。系数化为1，得x=2。 【点拨】此类无分母、无括号的一元一次方程只需移项、合并同类项，再把未知数系数化 为1，即可求解。 基础巩固飞达标闯关 1.如果4x+6与-3x-7是相反数，则x+5的值为 2.若关于x的方程x+3a=3-2x的解为=-4，则a= 3方程45=2+子y的解为（) A.y=-12 B.y=-8 C.y=8 D.y=12 4.已知y=5x-8,y2=8x+1,当yy2时，x的值是（) A.3 B.-3 c.3 D-子 5.下列选项中，方程的解不同于其他三个方程的是() A.3x-2=7 B.5x-5=1+3x C.5-32 D.4x=5x-3 6.如果方程6x+3a=22与方程3x+5=11的解相同，那么a=( A.-10 B c D.10 3 7.解下列方程： (1）-2x+3=7x; (2)7+3=2x-6 96 一元一次方程 第五章 (3)0-5=6 (4)}+31 3 +4=2 8.已知y=-2x+3,y2=5x-6,若y1+y2=12,求x的值。 能力提升螂综合拓展 9.新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”。如 方程2x=6和3x+9=0为“友好方程”。 (1)若关于x的方程3x-匹=0与方程2x-6=4是“友好方程”，求m的值。 (2)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n,求n的值。 ⑦ 口数学 七年级上册（北师大版） 10.【阅读材料】 把无限循环小数化为分数，可以借助方程的思想进行转化。 具体方法如下：以0.7为例，设0.7=x,由x=0.7=0.777…可知，10x=7.777…。 所以10=1。解方程，得=了。于是07=子。 99 【问题解决】 (1)请把无限循环小数0.68化为分数。 (2)我们把纯循环小数x(从有循环节小数部分第一位开始的循环小数)循环节的数字 组成的数记作m,循环节的位数记作n(例如对0.68而言，m=68,n=2)。请你借助(1)的 解题思路，用含m,n的式子表示纯循环小数x。 中考链接©真题演练 -卡多 11.（2023·永州)关于x的一元一次方程2x+m=5的解为x=1,则m的值为() A.3 B.-3 C.7 D.-7 12.(2023·德阳)在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的小王同学参 加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三 6 个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角 7 线上的3个数之和分别相等，且均为m。小王同学抽取到的题目如图所示，他 4 运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则= 第12题图 98 一元一次方程 第五章 一元一次方程的解法（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题定义一种新运算：a④b-m-2b,比如：2④(-3)=2-2x(-3)=2+6=8。若(x-3)①(x+ 1)=1,求x的值。 【分析】依据新定义的运算列出方程，求出x的值。 【解答】根据题意，列出方程(x-3)-2(x+1)=1。 去括号，得x-3-2x-2=1。 移项、合并同类项，得=-6。 【点拨】熟练掌握解一元一次方程的步骤，理解新的运算是列出方程的关键。 基础巩固达标闯关 卡多BB 1.若代数式2(4x-3)的值等于10，则x的值为 2.若关于x的方程2(x-1)-=0的解是3，则a的值为 3.若单项武5x-少与号y是同类项，则m的值为（） A.2 B.3 C.4 D.5 4.若多项式2x-3y+4+3kx+2ky-k合并同类项后的结果不含y项，则k的值为() A号 B.0 c D.4 5.解下列方程： (1)2(x-1)+1=0; (2)5(y-1)-2(0y-3)=0: (3)1-3(8-x)=-2(15-2x): (4)(2x-1)-3(x+2)=2(2x-9)。 6.代数式5(2y-7)的值比2(3y+4)的值小3，求y的值。 99 口数学 七年级上册（北师大版） 能力提升螂综合拓展 7.某校积极推进“阳光体育”工程，在七年级11个班中开展篮球单循环比赛（每班需进 行10场比赛)。比赛规定：每场比赛必须分出胜负，胜一场得3分，负一场得-1分。某班完 成所有比赛后只得14分，那么该班胜、负场数分别是多少？ 8.（1)x取何值时，代数式2x+3(2x-1)与(x+1)-16的值互为相反数？ (2)k取何值时，关于x的方程2(2x-3)=1-2x与8-k=2(x+1)的解相同？ 9.观察下列一组具有特殊形式的方程的解和方程各项系数之间的联系： +分0的解为=分，而-分分-1：2+号0的解为=号，而-号号-2：…。 若设这种类型方程的一般形式为ar+b=0(a,b为常数，且a≠0)。 (1)请依据发现的方程的解和方程各项系数之间的关系，写出方程ax+b=0(a≠0)的解。 (2)我们将上述类型的方程x+b=0定义为“和谐方程”。请继续探究下列问题： ①方程-3x号-0是不是“和谐方程？请说明理由。 ②若a=-1,有符合要求的“和谐方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明 理由。 中考链接©真题演练 10.(2024·新疆)解方程：2(x-1)-3=x。 00 一元一次方程 第五章 一元一次方程的解法（第4课时） 自主导学Q典例精析 例题 解方程：5xL-2=1+2x 3 2 【分析】依据解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化 为1求解即可。 【解答】去分母，得2(5x-1)-12=3(1+2x)。 去括号，得10x-2-12=3+6x。 移项、合并同类项，得4x=17。 系数化为1，得=子。 【点拨】去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项，同时要 把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号。 基础巩固达标闯关 1.代数式-】2my2与3xy4是同类项，则m,n的值分别为 2.在公式S=)(a+b)h中，已知S=16,=3,M=4,则b= 3.已知方程2x+1=3和关于x的方程2x-a=0的解相同，则a的值是（) A.2 B.3 C.4 D.8 4解方程学2.1生，下列去分母后变形正确的是（) A.2x-2x-1=6-3(x+1) B.2x-(2x-1)=6-3x-1 C.2x-2x+1=1-3x-3 D.2x-2x+1=6-3x-3 5.解下列方程： 0分分1h1: (2)y1=3-4 2 5。 o 口数学 七年级上册（北师大版） 能力提升坤综合拓展 6.已知关于x的方程2”-+号与生3x-2的解互为倒数，求m的值。 3 2 *7.定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”。 例如：方程2x-1=2和2x-1=0互为“成双方程”。 (1)请判断方程4x-(x+5)=1与方程-2y-y=3是否互为“成双方程”。 (2)若关于x的方程7*+号-1与方程3-2=4互为“成双方程”，求m的值。 (3)若关于的方程20-D与205+13+6互为成双方程”，求关于)的方程 20250+2)+1=3+6+6的解。 中考链接©真题演练 - 8.(2023衢州)小张在解方程x=4-1+1时，第一步出现了错误： 36 解：2.7x=(4x-1)+1, (1)请说明小张的错误之处。 (2)写出你的解答过程。 @