第三章 问题解决策略：归纳-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步练习（北师大版2024）

参考答案与提示 示：设一个三位数与一个两位数分别为100+10y+z和 8.解：点N为PB的中点，NB=14cm,PB= 10m+n,则由图2，得mz=20,nz=5,y=2,x=a,由 2WB=28cm。又：AB=80cm,∴AP=AB-BP=80-28=52 此推出=5，n=1,m=4,y=2,x=a。20左边的数是 (cm)。9.解：(1)如图所示，线段AB,AC即为 8,20右边的“口”表示4，a上面的数应为4a。 所求。(2)AB=a+b,AC=b-a,M,N分别是AB, 运算结果是四位数，且这个四位数用代数式可以表示 为1000(4a+1)+100a+20+5=4100a+1025。 AC的中点，AM=号AB,AN74C。N=(AC+ 2 ★问题解决策略：归纳 AB)=1(a+b+b-a)=b。 解：（1)3×4x5x3x4x5=3×45=10 公路L 10.2)na+1xna+1)-[7a+)。(3) B A C D 0 7aa+1x7aa+1x宁aa+I0=2a+I)。 第5题答图 第7题答图 第四章基本平面图形 1线段、射线、直线（第1课时） A 1.64射线AC、射线BC、射线BA、射线CA 32.无数条射线3.2经过两点有且只有一条直 第9题答图 线4.D5.如图所示。6.如图所示。7.解： (I)A,B,P三点共线。(2)A,B,C三点不共线。 Am元Bi M B C (3)点D是直线AB外一点。(4)点C在直线PD上 图1 图2 或直线PD过点C。(5)点P在线段DC的延长线上。 第10题答图 (6)直线DC与直线AB相交于点P。(7)线段AC与 10.解：如图1，当点C在线段AB上时，AB= 线段BD相交于点F或直线AC与直线BD相交于点 8cm,BC=4cm,∴.AC=AB-BC=4cm.又点M为AC F。8.解：(1)最少1个，交点的最多个数为1+2= 3。(2)1+2+3=6。(3)1+2+3+4+5=15;1+2+3+…+ 的中点，4M号4C=2cm如图2，当点C在线段AB (a-1)-2nn-10 的延长线上时，AB=8cm,BC=4cm,∴AC=AB+BC= 12cm。又：点M为AC的中点，AM=号AC=6cm。 综上所述，AM的长为2cm或6cm。11.解：(1) ①2②2(2)2(3)线段MW的长度仍然等于2。 (1) (2) (3) 理由：如图，设B0的长度为a,N0=2B0=号。又 第5题答图 AB=4,A0=AB+B0=4+a。点M为A0的中点， 0=号40=4.M-0-N0-2.12解：（(1 ①若点P表示的有理数是0（如图1），则AP=6,BP= B 3。M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP 1条 4条 6条 靠近点B的三等分点，MP子AP4,P=号BP=2。 第6题答图 .'MN=MP4NP-6。 9.解：(1)6(2)m-1理由：设线段上 M B N O 2 第11题答图 有m个点，该线段上共有线段x条，则x=(m-l)+(m- 2)+(m-3)+…+3+2+1,所以倒序排列有x=1+2+3+…+ (m-3)+(m-2)+(m-1)。所以2x=m(m-1)。所以x= -6 0 m(m-山。(3)28理由：把8位同学看作直线上的 图1 2 8个点，每两位同学之间的一场比赛看作一条线段， B N P 直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数， -6 0 3 因此一共要进行8x(8-)=28(场)比赛。 图2 2 1线段、射线、直线（第2课时） 第12题答图 1.3.52.13.C4.D5.解：如图所示。理 ②6提示：若点P表示的有理数是6（如图2）， 由：两点之间，线段最短。6.解：方法不唯一。作 则AP-12,BP-3。M是线段AP靠近点A的三等分 法：①作射线OF;②在射线OF上截取OA=2a;③在 线段OA上截取AB=b;线段OB就是所求。作图略。 点，N是线段BP靠近点B的三等分点，MP=子AP 7.解：(1)(2)(3)如图所示。(4)长短相等。口数学 七年级上册（北师大版） 问题解决策略：归纳 自主导学Q典例精析 例题通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫作归纳法。一般 地，通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳推理方法。 观察下列图形，请用不完全的归纳方法，解答下列问题： (1)如图1，这是按一定规律摆放的一些圆圈被直线分层后显示的前边4层的示意图。 第一层有1个圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，如果要你继续画下 去，那么第6层有多少个圆圈？第n层的圆圈个数又是多少？（用含n的代数式表示） (2)如图2，这是按一定规律摆放的一些圆圈被直角折线分隔后的前4个类似正方形宫 格的示意图，观察图1与图2之间的联系，图1中圆圈的个数可以转化为图2中圆圈的个 数。于是发现图1中，前两层的圆圈个数的和可表示为(1+3)或2，故得等式1+3=2。 由此我们可以继续探究下列问题： ①②③④ ①图1前三层的圆圈个数和是多少？ ① O O○O1○ ②前四层的圆圈个数和又是多少？由此可以 ② ③ ○ 得到的等式是什么？ ④○OO○O○G ③根据①②发现的规律，请归纳从1开始的 图1 图2 n个连续奇数之和是多少。（用含n的代数式表示） 例题图 (3)运用(2)中发现的规律计算：41+43+45+…+199。 【分析】(1)从特例入手，观察图1中每层圆圈的个数，即可发现规律；(2)从特例 出发，观察图1中前层圆圈个数和与图2中前n个正方形宫格中圆圈个数和相同，但两者 的数学表达形式不同，进而根据两个图形中圆圈个数和相等的关系得出等式；(3)根据 (2)发现的一般结论即可解决问题。 【解答】(1)根据图1的变化规律，可得第1层的圆圈个数为1=2×1-1，第2层的圆圈 个数为3=2x2-1,第3层的圆圈个数为5=2x3-1。 由此归纳第6层的圆圈个数为11=2x6-1,所以，归纳第n层的圆圈个数为(2n-1）)个。 (2)①1+3+5或32,1+3+5=32；②1+3+5+7或42,1+3+5+7=42；③1+3+5+…+2n-1或 n2,1+3+5+…+2n-1=n2。 (3)由(2)发现的规律得， 原式=1+3+5+…+199-(1+3+5+…+39)=1002-202=10000-400=9600。 【点拨】在运用归纳方法寻找规律时，要先从若干个特例入手，观察这些特例，寻找共同特 征，进而发现规律，再通过其他特例验证发现的规律，最后用数学语言表达规律的一般形式。 76 整式及其加减 第三章 能力提升螂综合拓展 卡多 【问题提出】 将长方形ABCD的四条边都n(n≥2)等分，分别连接长方形ABCD对边的各对应的等 分点，得到如图1所示的图形，探究图1中共有多少个长方形。（包括图中所有的长方形） 【问题探究】 为解决上面的问题，小李采取一般问题特殊化的策略。她先从最简单的二等分入手开始 探究，再依据积累的解题经验，逐渐深入，最后探究【问题提出】中的问题。下面是小李探 究的过程： 如图2，小李先将AB边二等分，则等分点将AB边分为宁×2x3条线段，即3条线段： 接着按照上述方法将其他三边BC,CD,AD分别二等分，连接AB,CD对边各对应等分点， 再连接BC,AD对边各对应等分点，进而得到如图3所示的图形，于是小李发现，图3中共 有长方形的个数为号2x3×2×2x3-3×2x33-9。 小李继续按上述二等分的方法，将长方形ABCD的边AB,BC,CD,AD分别三等分， 再连接对边各对应的等分点得到如图4所示的图形，于是小李发现，图4中共有长方形的个 数为2x3x4×2×3x4=2×3x4°-6=36。 (1)如图5是小李继续按照上述探究方法得到的图形，请你依据小李的探究经验，求出 图5中共有多少个长方形。 图1 图2 图3 图4 图5 图6 【问题解决】 (2)依据上述的解题经验，请你求出【问题提出】中的图1共有多少个长方形。 【拓展延伸】 (3)将一个长方体的各条棱n(≥2)等分，连接各条棱上对应的等分点得到如图6所 示的图形，请求出图6中共有多少个长方体。（包括图中所有的长方体）