第三章 1 代数式-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步练习（北师大版2024）

第三章整式及其加减 1代数式（第1课时）】 1.(7m+5n)2.(3y+12)3.100c+10b+a4. (0.8p-8)5.答案不唯一，如苹果每千克6元，小李 买x斤苹果共花费了6x元6.体育委员买了3个篮球 后剩余的钱数7.D8.B9.B10.解：超市购人 橙子mkg,则卖出橙子(1-15%)mkg,超市卖出橙 子后共收入(a+1000)元，∴.每千克的售价为 am+1000元。11.解：(1)由题意得，500x90%+ (1-15%)m (650-500)x80%=570(元)。答：她实际付款570元。 (2)由题意得，500x90%+80%(x-500)=(0.8x+50)元 答：她实际付款(0.8.x+50)元。(3)第一次购物的 货款为a元(200<a<350),∴.第二次购物的货款超过 500元。根据题意得，两次购物实际付款0.9a+450+ 0.8(880-a-500)=(0.1a+754)元。答：李阿姨两次购物 实际付款(0.1a+754)元。12.(1)471013 16(2)3n+1。(3)5(2n+1)-(3n+1)或7n+4。 13.30n14.C15.B 1代数式（第2课时） 1.解：(1)由图形可知，S=4x8-号×4x8-2×4 (4-x)=16-8+2x=(8+2x)cm2。(2)将x=3代人上式 S=8+2×3=14(cm2)。2.解：（1)6+26+0.5a (2)·.0≤a≤20，当a=20kg时，弹簧伸长长度最大 l=6+0.5x20=16(cm)。答：弹簧伸长时，达到的最大 长度是16cm。3.(1)1211065(2)y= (x2-1)2+1.4.解：(1)方案一需付款：200×100+ 80(x-100)=20000+80x-8000=(80x+12000)元；方案 二需付款：(200×100+80x)×80%=(64x+16000)元。 (2)当x=300时，方案一需付款：80x+12000=80× 300+12000=36000(元)；方案二需付款：64x+16 000=64×300+16000=35200(元)。.·36000>35200，.. 该中学选择方案二更省钱。5.解：(1)由图1可知 1=8,N=18.S=5+W-18+18-121。(2)由图2 可知L=9,N=9,S=号+9-1=125.6.解：一样长。 设足球与月球的半径分别为r,R,则足球增加的铁箍 长为2π(r+1)-2m=2π，月球增加的铁箍长为2π(R+1) -2πR=2r,故增加的铁箍一样长。7.解：(1)第5 个图案中等边三角形的个数为18，周长为14cm。 (2)·第1个图案中等边三角形的个数为2，正方形 的个数为1，周长为6cm;第2个图案中等边三角形 的个数为6，正方形的个数为2，周长为8cm;第3 个图案中等边三角形的个数为10，正方形的个数为3， 周长为10cm;第4个图案中等边三角形的个数为14， 正方形的个数为4，周长为12cm;.第n个图案中等 边三角形的个数为2+4(n-1)=4n-2,正方形的个数为 n,周长为6+2(n-1)=(2n+4)cm。(3).2n+4=2024. .n=(2024-4)÷2=1010。.这个图案中有4×1010-2= 4038(个)等边三角形，1010个正方形。8.解： (1)当n=12时，第3次结果为5，则第4次结果为3× 5+1=6,第5次结果为1，第6次结果为3x1+1=4, 第7次结果为号=1，第8次结果为3x1+1=4。(2)由 (1)运算结果归纳得到的规律为：从第5次开始，结 1 参考答案与提示 果就只是1,4两个数循环出现，且当次数是偶数次 时，结果为4：当次数是奇数次时，结果为1。(3)· (2025-4)÷2=1010…1,.第2025次“F”运算的 结果为1.9.410.5011.B 1代数式（第3课时）】 1.答案不唯一，如-2x33-22.答案不唯一 如6x2-7x+2二三3.-12m4.两-3和-75. 06.2m7.(25-x)8.(0.9p-15)9.-6410. 5,2mR,空，04-2,47，-吉+，3 7 Ty,x0+111.B12.A13.D14.解：(1)单项 式：15，装，多项式：23,46 -4ab+b2,x2+2y-x,…}。(2)单项式-15b的系数最 小，系数是-15。(3)4ab2-4ab+b2的次数最高，次数 是4.15.2mRh+TR2,是多项式。16.(1)一(b) (2)-(c)(3)-(a)17.解：(1)若它是关 于x的一次式，则a-1=0。.a=1,这个一次式为-2x- 4。(2)若它是关于x的三次二项式，则a+3-0。 .a=-3,这个三次二项式为-4x2-2x。(3)只要a-1≠ 0.a+3≠0即可，即只要取a≠1且a≠-3的任何一个 有理数均可。18.解：(1)这组单项式的系数依次 为-1,3，-5,7，…，-37,39。(2)系数的绝对值 为奇数，且奇次项为负数，偶次项为正数，或单项式 的系数的符号是(-1)，系数的绝对值是2n-1;这组 单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，即第 n个单项式的次数为n。(3)第n个单项式是(-1) (2n-1)。(4)第2025个单项式是-4049x2,第 2026个单项式是4051x2m。19.320.C 2整式的加减（第1课时） 1.122.-33.-16my34.C5.D6.A7. C8.(1)6a-8b(2)-3x2-4x+8(3)11xy2- 10x3y+xy(4)-4x2-3xy+5y+59.解：(1)①(x-y)3 ②原式=(3-6+2)(x-y)3=-(x-y)3=(y-x)3。(2):a2- 2b=1,原式=3-2(2-2b)=3-2×1=1.10.解：(1)原 式-c,当a=石，b-2.c=-3时，原式l。(2)原 式=，当x=号时，原式=号。山.解：（山）6+ 1.2(x-2)=(1.2x+3.6)元。(2)(13.2-3.6)÷1.2=8(km)。 答：他乘坐的路程为8km。12.解：设任意想的数 字为a,观众的出生年份为b,则通过游戏操作后得到 的代数式为(2a+5)×50+1774-b,根据分配律，得 (2a+5)×50+1774-b=100a+250+1774-b=100a+2024-b。 由此观众得到的三位数表示为100a+2024-b,所以 2024-b就是此观众的年龄，100a就是这三位数的百 位数表示，即a就是你最初想的那个数字，后两位就 是观众的年龄。13.解：(1)这四组整式之和分 别为2x-2y,4m-4n,-e+f,3s-3t,∴.这四组整式之和 的共同特征是每组多项式中两项的系数和为0，或每 组整式之和中每项系数互为相反数。(2)不能构成 “0系整式组”。理由：2m-3n+(-5m+9m)+(-3m-n)= 2m-3n-5m+9n-3m-n=(2m-5m-3m)+(-3n+9n-n)=-6m+ 5n。-6+5=-1≠0，.不能构成“0系整式组”。(3) a+b=4。理由：ax+y+(-2x+by)+2x-5y=(ax-2x+2x)+(0y+ by-5y)=ax+(b-4)y。根据题意，得a+b-4=0,即a+b 与-4互为相反数。∴.a+b=4.14.3a215.答案不唯 一，如m16.A17.B18.B整式及其加减 第三章 第三章 整式及其加减 知识网络 数学内部 探索规律 数学外部 字母表示数量关系或变化规律 用于计算（预测） →表示规律 用于推理 整式及其加减 列代数式 代数式意义 代数式求值 代数式 单项式 合并同类项 整式 多项式 加减运算 去括号法则 同类项 代数式（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题十一假期时，小张一家三口开车去北普陀山森林公园旅游。若门票每人α元， 进入园区的轿车每辆收费20元，则小张一家开车进入北普陀山森林公园园区所需费用共多 少元？（结果用含a的式子表示） 【分析】所需的费用包括两个部分：门票每人a元，3人共计3a元；每辆车收费20元。 将两项相加即可得出答案。 【解答】小张一家开车进入北普陀山森林公园园区所需费用是(3a+20)元。 【点拨】此题考查用代数表示数量关系，读懂题意，找出数量关系是正确列出式子的关键。 基础巩固L达标闯关 1.小李在超市买一双运动鞋花费7m元，买一件运动衫花费5n元，则小李共花费 元。 2.已知小李父亲现在的年龄比小李现在的年龄的3倍多2岁，若小李现在的年龄是y 岁，则10年后小李父亲的年龄是 岁。 51 口数学 七年级上册（北师大版） 3.若一个三位数的个位数字为α，十位数字为b,百位数字为c,则该三位数是 4.某种商品原价每件p元，第一次降价每件减少10元，第二次降价每件打八折，则第 二次降价后售价是 元。 5.“6x”可以表示的含义很多。此如可以表示“每个小组有6人，x个小组一共有6x 人”。你认为它还可以表示 6.体育委员带了800元钱去买体育用品，已知一个篮球x元，则代数式(800-3x)表示 的实际意义是 7.某地居民生活用水收费标准为每月用水量不超过10m3,每立方米收费a元；超过部 分每立方米收费(a+1.5)元。该地区某用户上月用水量为16m,则该用户应缴水费() A.10a元 B.(16a+24)元C.(10a+9)元D.(16a+9)元 8.下列赋予整式8a实际意义的例子，其中错误的是() A.长为8cm、宽为acm的长方形的面积 B.原价为a元的商品打八折后的售价 C.购买8本单价为a元的笔记本所需的费用 D.货车以akm/h的平均速度行驶8h的路程 9.小李在超市买回若干个相同的纸杯，他把纸杯整齐地叠放 在一起。如图1,3个纸杯的高度为11cm;如图2,5个纸杯的 高度为13cm。若把n个这样的纸杯叠放在一起，则高度为() 图1 图2 A.(n+10)cm B.(n+8)cm 第9题图 C.(2n+5)cm D.(2n+3)cm 10.某超市以每千克a元的价格从水果批发市场购进橙子mkg,如果按15%的损耗计 算，要想获利1000元，那么该超市每千克的售价应为多少元？ 能力提升螂综合拓展 11.某超市在国庆节期间进行优惠促销活动，规定一次性购物优惠方案：少于200元， 不予优惠；高于200元但低于500元时，九折优惠；消费500元或超过500元时，其中500 元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠。根据优惠方案解决下列问题： (1)李阿姨一次性购物650元，她实际付款多少元？ (2)李阿姨在该超市一次性购物x元(x>500),她实际付款多少元？（用含x的代数式 表示) 52 整式及其加减 第三章 (3)如果李阿姨两次购物货款合计880元，第一次购物的货款为α元(200<a<350),用 含α的代数式表示李阿姨两次购物实际付款多少元。 12.如图，用同样规格的红、白两种颜色的正方形方砖，按下图的方式铺设一条人行步道。 ① ② ③ 第12题图 (1)填写下列表格： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ 黑色方砖块数 (2)第n个图形中需要多少块红色方砖？（用含n的代数式表示） (3)第n个图形中需要多少块白色方砖？（用含n的代数式表示） 中考链接©真题演练 -s多多多 13.(2024·新疆)若每个篮球30元，则购买n个篮球需 元。 14.(2024广安)下列对代数式-3x的意义表述正确的是（) A.-3与x的和B.-3与x的差 C.-3与x的积 D.-3与x的商 15.(2024·台湾)有研究报告指出，1880年至2020年全球平均气温上升趋势约为每十年 上升0.08℃。已知2020年全球平均气温为14.88℃，假设未来的全球平均气温上升趋势与上 述趋势相同，且每年上升的度数相同，则预估2020年之后第x年的全球平均气温为（用含x 的代数式表示)() A.14.88+0.08x B.14.88+0.008x C.14.88+0.08[x+(2020-1880)] D.14.88+0.008[x+(2020-1880)] 53 口数学 七年级上册（北师大版） 代数式（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题某市为了节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过 10t的部分，按2元t收费；超过10t的部分按2.5元t收费。 (1)若黄老师家5月用水16t,问应交水费多少元。 (2)若黄老师家6月用水at,问应交水费多少元。（用含a的代数式表示） (3)若黄老师家7月交水费30元，问黄老师家7月用水多少吨。 【分析】(1)根据题意可得水费应分两部分：不超过10t的部分的水费，超过10t的部 分的水费，两部分之和即为当月水费。 (2)此题分两种情况进行讨论：①当0<a≤10时，②当a心10时，分别进行计算即可。 (3)首先根据所交的水费讨论出用水是否超过了10t,再根据水费计算出用水的吨数。 【解答】(1)10x2+(16-10)×2.5=35(元)。答：应交水费35元。 (2)①当0<a≤10时，应交水费为2a元； ②当a心10时，应交水费为20+2.5(a-10)=2.5a-5(元)。 (3)当a=10时，应交水费为20元。黄老师家7月水费为30元，∴.黄老师家7月用水 超过10t,故由(2)得a=(30+5)÷2.5=14。答：黄老师家7月用水14t。 【点拨】此题考查由实际问题列代数式，关键是正确理解题意，明确用水量不超过10t 和超过10t时用两种不同的代数式表示水费。无论求代数式的值，还是已知代数式的值求对 应字母的值，都要判断应用哪个代数式来解决问题。 基础巩固LU达标闯关 1.如图所示是一个长方形 (1)根据图中尺寸大小，用含x的代数式表示阴影部分的面积S。 (2)若x=3,求S的值。 4 cm cm 8 cm 第1题图 函 整式及其加减 第三章 2.测得一根弹簧的长度1与所挂物体质量m的关系如下表所示（重物不超过20kg时， 去掉重物后，弹簧能恢复原状)： 物体质量m/kg 0 1 2 3 4 a(0≤a≤20) 弹簧的长度l/cm 6 6+0.5 6+1 6+1.5 (1)请完成上面表格。 (2)弹簧伸长时，达到的最大长度是多少？ 3.如图是一个数值转换机示意图： 输入数x( 2-1( )2+1 →输出数y 第3题图 (1)请你根据示意图完成下表： 输入数x -2 0 1 2 3 输出数y 10 (2)请用含有x的代数式表示输出的数y。 4.为迎接新生，某中学计划添置100张课桌和x把椅子(x>100)。现经调查发现，某家 具厂的每张课桌定价200元，每把椅子定价80元，而厂方在开展促销活动期间，向客户提 供了两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的80%付款。 (1)用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元。 (2)当x=300时，通过计算说明该中学选择哪种购买方案更省钱。 55 口数学 七年级上册（北师大版） 能力提升缈综合拓展 -卡多 5.奥地利数学家皮克发现一个计算正方形网格纸中不规则多边形面积的公式，即“方格 法”计算公式。计算方法如下： 假定每个小方格的边长为1个单位长度，S为图形的面积，L是图形的边界上的格点数， N是图形内部的格点数，则有S=二+N-1。请根据此方法计算下列不规则多边形的面积。 (说明：由n条线段依次首尾连接而成的封闭图形叫作n边形，这些线段的端点叫作顶 点；网格中小正方形的顶点叫作格点) (1)如图1，求四边形ABCD的面积。 (2)如图2，求此图形的面积。 图1 图2 第5题图 6.假设足球和月球上各有一道铁箍，若将铁箍各向外扩1m(即直径增加2m),哪一 个增加的铁箍长？为什么？ 7.如图，第1个图案中等边三角形的个数为2，正方形的个数为1，周长为6cm;第2 个图案中等边三角形的个数为6，正方形的个数为2，周长为8c;第3个图案中等边三角 形的个数为10，正方形的个数为3，周长为10c;第4个图案中等边三角形的个数为14， 正方形的个数为4，周长为12cm;… 第1个图案 第2个图案第3个图案 第4个图案 第7题图 (1)第5个图案中等边三角形的个数是多少？周长又是多少？ (2)求第n个图案中等边三角形、正方形的个数及周长。（用含n的代数式表示） (3)当一个图案的周长为2024cm时，这个图案中有多少个等边三角形？有多少个正方形？ 56 整式及其加减 第三章 *8.定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F(n)=3n+1:②当n为偶数时， F(m)=公（其中k是使F(m)为奇数的正整数）。两种运算交替进行。如果n=12,因为I2为 偶数，则利用F(m)=朵， 第1次得到的结果是3，再把3作为正整数，利用F(n)=3n+1,第 2次得到的结果是10，同样把10作为正整数，再利用F()=,第3次得到的结果是5，按 此规律继续计算下去。 (1)第4,5,6,7,8次，“F”运算得到的结果分别是多少？ (2)依据(1)的运算结果，你发现了什么规律？ (3)依据发现的规律推断第2025次“F”运算的结果是多少。 中考链接©真题演练 9.(2024苏州)若a=b+2,则(b-a)2= 10.(2023宁夏)如图是某种杆秤示意图。在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘， 点C为0刻度点。当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C,秤杆处于平衡 状态。秤盘放入xg物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为ymm时秤杆处于平 衡状态。测得x与y的几组对应数据如下表： xlg 0 2 10 y/mm 10 14 18 22 30 第10题图 由表中数据的规律可知，当x=20g时，y= mm。 11.(2023·攀枝花)为了回馈客户，商场将定价为200元的某种儿童玩具降价10%进行 销售。六一儿童节当天，又将该种玩具按新定价再次降价10%销售，那么该种玩具在儿童节 当天的销售价格为() A.160元 B.162元 C.172元 D.180元 口数学 七年级上册（北师大版） 代数式（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题观察下列一系列单项式的排列规律：y,-2x2y,4xy,-8xy,16xy,… (1)按此规律写出第9个单项式。 (2)试猜想第个单项式是什么，它的系数和次数分别是多少。 【分析】观察题中各单项式可发现：当n为奇数时，单项式的系数为正数；当n为偶数 时，单项式的系数为负数，且第n项的系数的绝对值为2。x的指数为n,y的指数始终为 1。据此可写出第个单项式，再根据单项式的系数是指单项式的数字因数，次数是所有字 母指数的和解答即可。 【解答】(1)当n=1时，单项式为xy,当n=2时，单项式为-2xy, 当n=3时，单项式为4xy=(-2)3xy,当n=4时，单项式为-8xy=(-2)4xy, 当n=5时，单项式为16xy=(-2)xy,∴.第9个单项式是(-2)9xy,即256xy。 (2)该单项式为(-2)xy,它的系数是(-2)，次数是n+1。 【点拨】此题是探索规律问题，解题的关键是观察、比较序列中各单项式，找出它们系 数之间的联系及相同字母之间的指数的联系。 基础巩固飞达标闯关 1.请写出一个单项式： 它的次数是 系数是 2.请写出一个多项式： 它是 次 项式。 3.单项式-x的系数是 2πr的系数是 4.多项式-3xy-7x3y有 项，每一项的系数分别是 5.当m= 时，代数式mx2-x+4不含x2的项 6.培根在《论学问》中说“阅读可以使人充实”。爱好阅读的小杨前年读了m本书，去 年阅读数量是前年的2倍，则小杨去年阅读了 本书 7.用一根长为50cm的细铁丝围成一个长方形（铁丝无多余），如果长方形的宽为xcm, 那么长为 (用含x的代数式表示)cm。 8.某种商品原价每件P元，第一次降价每件打九折，第二次每件又降价15元，则第二 次降价后售价是 元 9.若关于x,y的多项式x3+2my3+nxy的次数与关于a,b的单项式-4a%3的次数相同， 且单项式的系数与多项式中次数为4的项的系数相同，则"的值为 0 10在代数式5，-2,2mR.受-号专+，3-，0.1中，单项 58 整式及其加减 第三章 式有 多项式有 11.某地区有一个水库的形状近似于长方体，其深度为am,底面是一个正方形，且边 长是深度的一半，则这个水库的最大蓄水量为() A. B.om C.a m3 D.2a m3 12.单项式专R的系数和次数分别是() A号m,三次 B.专，四次 C号，四次 D，三次 13.下列说法正确的是() A.Y是单项式，系数是1 B.多项式a2-2ab+b2是单项式a2,2ab,b2的和 C.b+L是多项式 D.2(2-b2)是二次二项式 3 14.下列代数式：-15ab,3x,2x-3y,4b2-4b+b,-a,x+2y-x。 (1)哪些是单项式？哪些是多项式？请分别填入所属的集合中。 单项式：{ …} 多项式：{ …}。 (2)哪个单项式的系数最小？该单项式的系数是多少？ (3)哪个多项式的次数最高？该多项式的次数是多少？ 能力提升坤综合拓展 :多 15.已知圆形水桶（无盖）的底面半径为Rcm,水桶高为hcm,求制作这样一个水桶 至少需要多少平方厘米的铁皮（不计损耗），并说明该代数式是单项式还是多项式。 59 口数学 七年级上册（北师大版） 16.将(1)~(3)中的多项式与(a)~(c)中正确的对应顺序用直线连接起来。 (1)㎡+2ab+b2 (a)三次三项式 (2)5y (b)二次三项式 (3）-6y3-2y2+1 (c)一次二项式 17.已知整式(a-1)x3-2x-(a+3)。 (1)若它是关于x的一次式，求a的值并写出这个一次式。 (2)若它是关于x的三次二项式，求a的值并写出这个三次二项式。 (3)如果该整式是一个三次三项式，你认为α可以取哪些有理数？ 18.按一定规律排列的系列单项式：-x,3x2,-5x2,7x,…,-37x°，39x”,…,观察上 述系列单项式的变化规律，并根据这个变化规律解答下列问题。 (1)这组单项式的系数依次为多少？ (2)这组单项式的次数和系数的规律是什么？ (3)根据上面归纳的规律，猜想第个单项式是什么。 (4)请你根据猜想规律，分别写出第2025,2026个单项式。 中考链接©真题演练 -PD 19.(2024·长春)单项式-2a2b的次数为 20.(2022.攀枝花)下列各式不是单项式的为() A.3 B.a C.b a D.y 60