23.1图形的旋转 自主学习同步练习题 2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册《23.1图形的旋转》自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到．当点A，C，D在同一条直线上，时，的长为（   ） A． B． C．5 D．8 3．如图，将绕点逆时针旋转一定角度，得到，若，，且，的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，坐标平面内有一个矩形，点A位于原点，点B、D在坐标轴上，点C的坐标为，现固定B点并将此矩形按顺时针方向旋转，若旋转后C点的坐标为，则旋转后D点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 6．如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 7．如图，在正方形中，，为边上一点，，连接平分交于点，将绕点顺时针旋转得到，下列结论：；平分；；．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．有下列现象：①高层公寓电梯的上升；②翻动书页；③方向盘的转动；④传送带的移动．其中属于旋转的有 （写出序号） 9．已知，点在第一象限，若将点 A 绕着 O 顺时针旋转 90 度，得到点 B ，则点B的坐标是 ． 10．中，，，点是的中点，将绕点向三角形外部旋转角时，得到，当恰为等腰三角形时，的值为 ． 11．如图，将绕点逆时针方向旋转一个角，使点落在上的点，若，，则的度数为 ． 12．如图，将矩形绕点A旋转至矩形位置，此时的中点恰好与D点重合，交于点若，则的面积为 ． 13．如图所示，E为正方形内一点，将三角形绕点B顺时针旋转至三角形处，若，则 ， ． 14．如图，在等腰中，，，、两点分别是边、上的动点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当线段最短时， ． 三、解答题 15．在正方形中，点E在上，点F在上，，按顺时针方向旋转一个角度后成，如图所示． (1)哪一个点是旋转中心，旋转角度等于多少？ (2)指出图中的对应线段和对应角； (3)求的度数． 16．如图，中，，以为边向外作等边，把绕着点按顺时针方向旋转到的位置，若，． (1)求证：、、三点共线； (2)求的度数和的长． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为． (1)画出将绕点O顺时针旋转后所得到的图形； (2)写出点的坐标． 18．如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边上． (1)求证：平分； (2)连接，若，，求的长． 19．已知：如图1，中，，D、E分别是上的点，，不难发现的关系． (1)将绕A点旋转到图2位置时，写出的数量关系； (2)当时，将绕A点旋转到图3位置． ①猜想与有什么数量关系和位置关系？请就图3的情形进行证明； ②当点C、D、E在同一直线上时，直接写出__________． 20．【尝试探究】如图1，已知在正方形中，点、分别在边、上运动． (1)当点、分别为、中点时，求证：； (2)当点、分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，加以说明； (3)如图，当点、分别在射线、上运动，时， ①试问（2）中的结论还成立吗？请加以说明； ②直接写出、和之间的数量关系； 【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图4，已知是边长为的等边三角形三边相等，三个内角均为，，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，求的周长． 参考答案 1．解：由旋转性质得，， ，，， ， 故选：B． 2．解：在中，，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴． 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了旋转的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据旋转的性质可得，，由得到，则有，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 先根据旋转后点的坐标为，得出点落在轴上，再根据旋转的不变性和矩形的性质得到，即可得到点的坐标为． 【详解】解：如图，记旋转后的矩形为， ∵旋转后点的坐标为， ∴点落在轴上， ∵，四边形是矩形， ∴，， ∵旋转， ∴，， ∴点的坐标为， 即旋转后点坐标为 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及旋转等知识，分别证明和可得，由等边三角形的性质得，得四边形是平行四边形；；可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故可得结论． 【详解】解：∵，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴，，故②正确； ∴，故③正确； 同理可证， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，且， ∴可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故④正确； ∴正确的结论是①②③④， 故选：C． 7．B 【分析】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．由正方形的性质得，，由为边上一点，，求得，，由旋转得，可判断正确；由，，推导出，可判断正确；作于点，可证明≌，得，，，则，再根据“”证明 ，得，，则，可判断错误；求得，则，可判断正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， 为边上一点，， ，， 将绕点顺时针旋转得到， ，， 故正确； 平分交于点， ， ， ， 平分， 故正确； 作于点，则，， 在和中， ， ≌， ，，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 故错误； ， ， 故正确， 故选：B． 8．②③ 【分析】本题考查了旋转,平移的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 根据旋转，平移的定义进行判断即可． 【详解】解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求； ②翻动书页，是旋转，故符合要求； ③方向盘的转动，是旋转，故符合要求； ④传送带的移动，是平移，故不符合要求． 故答案为：②③． 9． 【分析】通过构建直角坐标系，利用旋转的性质，结合点A的坐标来推导点B的坐标．本题主要考查了点的坐标旋转变化，熟练掌握旋转的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设点，过点作轴于点，过点作轴于点． ∵点绕着顺时针旋转度得到点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵点在第四象限， ∴点的坐标为， 故答案为：． 10．或或 【分析】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是学会题分类讨论的思想思考问题．分三种情形讨论①如图1中，当时，②如图2中，当时，③如图3中，当时，分别利用全等三角形的性质计算即可． 【详解】解：在中， ， ， ①如图1中， 当时， 在和中， ， ， ． ②如图2中，当时，同理可证， ， ． ③如图3中，当时，同理可证， ， 故答案为或或． 11． 【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可求的度数，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转一个角，使点落在上的点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 12． 【分析】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、含角的直角三角形的性质，三角形面积计算等知识点，难度不大．清楚旋转的“不变”特性是解答的关键． 先求出，进而可算出，再算出的面积． 【详解】解：如图， 由旋转的性质可知：， 为的中点， ， 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为 13． /90度 10 【分析】此题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据正方形的性质和旋转的性质即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， ∵绕点B顺时针旋转与重合， ∴，， ∴， ． 故答案为：，10． 14． 【分析】在上截取，连接，，作点B关于的对称点N，连接，，先证明，得到，，当B、F、N三点共线时，的值最小，最小值为，此时最小，再证明为等腰直角三角形，可得即可解答． 【详解】解：在上截取，连接，，作点B关于的对称点N，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴F点在射线上运动， ∵点B与点N关于对称， ∴，， ∴， 当B、F、N三点共线时，的值最小，即此时最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， 由对称性得：， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，最短距离问题，等腰直角三角形，熟练掌握三角形全等的判定及性质，用轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 15．(1)点D是旋转中心，旋转角是 (2)对应线段为和，和，和；对应角为和，和，和； (3) 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质，熟知旋转前后的对应线段和对应角相等是解答的关键． （1）根据已知，结合图形和正方形的性质可得结论； （2）由旋转性质可得结论； （3）根据旋转角的度数求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵按顺时针方向旋转一个角度后成， ∴点D是旋转中心，旋转角； （2）解：由旋转性质得：对应线段为和，和，和； 对应角为和，和，和； （3）解：∵，， ∴． 16．(1)证明过程见解析； (2)，． 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、四边形的内角和定理． （1）根据旋转的性质可知，根据四边形的内角和定理可得，根据全等三角形对应角相等可得，即可证得结论； （2）根据旋转的性质可得是等边三角形，根据全等三角形的性质可知，，，结合、、三点共线，即可得的长． 【详解】（1） 证明：∵把绕着点按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴、、三点共线； （2） 解：∵把绕着点按顺时针方向旋转到的位置， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的旋转，掌握知识点是解题的关键． （1）根据绕点O顺时针旋转后所得到的图形，画图即可； （2）从图可得到，即可解答． 【详解】（1）如图所示：，即为所求； （2）由图，可得 ． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，四边形的内角和，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）由旋转的性质得，， 利用等边对等角得，则，即可求证； （2）由旋转得，，，，再证明，推出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵将绕点A旋转一定的角度得到， ∴，， ∴， ∴， 即平分； （2）解：如图， ∵将绕点A旋转一定的角度得到， ∴， ∴，，，， ∴，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19．(1) (2)①，，证明见解析；②或 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）证明，即可作答； （2）①同理先证明，即有，在和中，根据，即有，则有，问题的解； ②分两种情况：第一种，当点C、D、E在同一直线上，且点D在线段上时，第二种：当C、D、E在同一直线上，且点E在线段上时，画出图形，结合等腰中，，以及，即可作答． 【详解】（1）解：， 即， 在和中， ， ； （2）①，， 证明：， ， 即， 在和中， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 因此，； ②当点C、D、E在同一直线上，且点D在线段上时，如图所示， 在等腰中，， ， ， ； 当C、D、E在同一直线上，且点E在线段上时，如图所示， 在等腰中，， ， ， ， 故的度数为或． 20．【尝试探究】（1）见解析；（2），见解析；（3）①结论不成立，见解析；②，见解析；【模型建立】成立，见解析；【拓展应用】 【分析】[尝试探究]（1）根据正方形的性质得，利用证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）把绕点顺时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）①把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； ②根据全等三角形的性质即可得出、和之间的数量关系； [模型建立]同理作辅助线，将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，证明，同理可以得出； [拓展应用]把绕点顺时针旋转至，可使与重合，证出，进而得到，即可得的周长． 【详解】[尝试探究]（1）证明：四边形是正方形， ，， 点、分别为、中点， ，， ， ， ； （2）解：． 证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， ， ，点、、共线， ，， ，即． 在和中， ， ， ， ； （3）解：①（2）中的结论不成立． 证明：如图所示． ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， 点、、在一条直线上． ，，． 又， ． ， ． ． 在和中， ， ． ． ， ， ∴（2）中的结论不成立，、和的数量关系为； ②， 证明：如图所示． 由①知，， ∴， ∴， ∴； [模型建立] 成立，如图，． 证明：将绕点顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，， ， 同理得：点，，在同一条直线上， ， ， ， ， ，， ， ， ， ∴（2）中的结论还成立，； [拓展应用] 解：是边长为的等边三角形， ，， ， ， ，， 把绕点顺时针旋转至，可使与重合， 由旋转得：，，， ， 同理得：点，，在同一条直线上， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $