第一章 3 勾股定理的应用-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（北师大版2024）

参考答案与提示 参考答案与提示 第一章勾股定理 +SAm=36cm。6.解：.BC=12,AD为BC边上的中 1探索勾股定理（第1课时） 线，BD=DC=}BC=6。在△ABD中，BD4AD2-6+82 2 1.(1)15(2)12(3)62.4.83.x2+(x- 100=AB,.△ABD为直角三角形。.∠ADB=90°。 6.8)2=1004.175.206.C7.D8.解：由题意 ∠ADC=∠ADB=90°。又.BD=DC,AD=AD,.∴.△ABD 可知∠A0B=90°，OA=32m,OB=24m。由勾股定理 可得AB=0A2+0B2=1600。.AB=40m。9.解：由已 兰△ACD。:AC=AB=I0。Sac=ADDC=号AC, 知得BD+AD=BC+AC,BC=10m,AC=20m。设BD= xm,则AD=(30-x)m,CD=(10+x)m。在Rt△ACD DE,即8x6-×I0DE,DE=48.7解：∠PHB+ 中，CD2+AC-=AD2,即(10+x)2420=(30-x)2,解得x=5。 ∠PBA=45°。如图，延长AP交格点于点D,连接BD, .10+=15,即这棵树的高度为15m。10.B 则PD=BD=12+22=5,PB=12+32=10。PD=BD,PD2+ 1探索勾股定理（第2课时）】 DB=PB。∠PDB=90°。.∠DPB=45°。.∠APB=180°- 1.682.5或133.494.B5.C6.解：设 ∠DPB=135°。∴.∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=180°-135° AE=xkm,则x2+15子=102+(25-x)2,解得x=10km,即 =45°。8.m9.C E站应建在离A点10km处。 7.解：如图，作AF⊥B0于 0 点F,CG⊥B0于点G,AD⊥ DB,OB⊥DE,·.∠ADB= ∠DB0=∠OBE=90°。.AD∥ OB。.∠AF0=∠DAF=90°。 --F 第5题答图 第7题答图 ∠ADB=∠DBF=∠AFB= B 3勾股定理的应用 ∠DAF=90°。.四边形ADBF 第7题答图 1.172.53.B4.解：(1)A01B0, 为长方形。同理，四边形BECG为长方形。：∠AOC= ∠AOB=90°。.△AOB为直角三角形。在Rt△AOB中 ∠A0F+∠COG=90°，∠A0F+∠OAF=90°，.∠C0G= 由勾股定理，可得AB2=A02+B0=2.42+0.72=6.25。.·AB= ∠OAF。:∠CG0=∠AF0=90°，AO=C0,∴.△AOF≌ 2.5m。.梯子AB的长度为2.5m。 C △OCG(AAS)。.0G=AF=BD=4m。设A0=xm,在 (2)如图，由题意可知，AE=0.9m。 Rt△AF0中，A+0F=A0,即42+(-1)2=x2,解得x= .A0=2.4m,..E0=A0-AE=1.5(m), 8.5。则CE=GB=0B-0G=8.5-4=4.5(m)。8.解： ED=AB=2.5m。在Rt△DOE中，由 (1)S=S2+S3。理由：设Rt△ABC的三边BC,AC,AB 勾股定理，可得OD=ED-E02= 0 的长分别为a,b,c,由勾股定理得c2=+b2。又S= 2.52-1.52=4。∴.0D=2。.BD=0D- BD c2,S2=,S=b2,S=S+S。(2)S1=S2+S。理由： 0B=2-0.7=1.3(m)。答：梯子的底 第4题答图 ,ss子s=4,+s+子b号d 端向外移动的距离为1.3m。5.解：BC=6,D是 BC的中点，：CD=)BC=3。在Rt△ACD中，AD= +b=子c2=S。9.解：R△ACD≌R△CAB, 2 ACP+CD=42+32=25。AD=5。将△CDE沿DE翻折， ..CA'=AC=c,AD'=CB=b,C'D'=AB=a,AC'D'= 点C落在AD上的点F处，DF=CD=3,EF=CE, ∠CAB。∠AC'D'+∠DAC=90°，.∠BAC+∠D'AC= ∠EFD=∠ECD=90°。：AF=AD-DF=2,∠AFE=90°。设 90°。∴.∠CAC=180°-90°=90°。∴.△CAC是一个等腰直 CE=x,则EF=x,AE=AC-CE=4-x。在Rt△AFE中，由 角三角形，它的面积等于子，又：四边形BCC)是 勾股定理，可得(4-=42，解得x=号。CE15。 个直角梯形，小分(a+b)-2xb+分c,46-c。 6.x2+22=(x+0.5)2 ★问题解决策略：反思 10.4811.D12.C 1.解：如图，将圆柱侧面沿AB展开成长方形， 2一定是直角三角形吗 则螳螂爬行的最短路程就是长方形对角线AB的长。 1.C2.直角三角形3.B4.C5.解：如图， AA=2m×10=20m≈60(cm),BA1=45cm,根据勾股 连接BD,由勾股定理得BD=5cm。又BC=l3cm, 定理，可得AB2=AA2+BA2=602+452-5625=752。故AB= CD=12cm,BD2+CD2=25+144=169=132=BC,由勾股 75cm。答：螳螂爬行的最短距离为75cm。 定理逆定理得△BCD是直角三角形，S四边形AB-S△m口数学 八年级上册（北师大版） 勾股定理的应用 自主导学Q典例精析 一P多多 例题如图是一架秋千的截面图，当秋千静止在AD的位置时，踏板离 地面的垂直高度DE为0.7m,将秋千AD往前推送3m(即BC为3m),到 达AB的位置时秋千的踏板离地的垂直高度BF为1.7m,秋千的绳索始终保 持拉直的状态。求秋千的长度。 【分析】设秋千AD的长度为xm,则AC=(x-1)m,利用Rt△ACB中三 边之间的关系列出方程求解即可。 例题图 【解答】由题意知DE=0.7m,CE=BF=1.7m,所以CD=CE-DE=1.7-0.7=1(m)。设AB= AD=xm,则AC=(-1)m。在Rt△ACB中，由勾股定理，得AC+BC2=AB2,即(x-1)2+32=x2。解 得=5。答：秋千AD的长度为5m。 【点拨】本题考查应用勾股定理解决实际问题。在直角三角形中，如果一条边长为已知 量，另两边长为未知量时，一般解题策略是用设元的方法，即设其中一条未知边的长为x (任意小写字母均可)，另一条未知边用含有未知数x的代数式表示，然后根据勾股定理 列方程求解。 基础巩固气达标闯关 1.在一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图及高度、长度如图所示，则地毯的长度至少为 13m 5m FE 第1题图 第2题图 2.如图，一台笔记本电脑平放在桌面上，屏幕宽BC为25cm,当电脑张角为∠ABC 时，顶部边缘C处离桌面的距离CE为20cm,调整电脑的张角，当张角为∠ABD(点C与 点D为笔记本顶部边缘同一点)时，顶部边缘D处到桌面的距离DF为15c,则E处与F 处之间的距离EF长为 cm。 3.如图，一个圆柱形水杯盖子的中心处插有吸管，水杯底面直径为10cm, 高度为12cm,吸管长为25cm(底端在杯子底上)，露在水杯外面的长度为acm, 则a的最小值为() A.11 B.12 C.13 D.14 第3题图 8 勾股定理 第一章 4.如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙OC上，AO=2.4m,B0=0.7m,A0⊥OB。 (1)求梯子AB的长度。 (2)当梯子的顶端A下滑0.9m时，求梯子的底端向外移动的距离。 06 B 第4题图 能力提升钟综合拓展 卡多多多 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=6,D是BC的中点，E是AC边上一点， 连接DA,DE。将△DCE沿直线DE翻折，点C恰好落在DA上的点F处。求AD,CE的长。 C---- D 第5题图 中考链接©真题演练 6.(2024·吉林)图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖 水深度，其示意图如图2，其中AB=AB',ABLB'C于点C,BC=0.5尺，BC=2尺。设AC的 长度为x尺，可列方程为 诗文：波平如镜一湖面，半尺 高处生红莲。亭亭多姿湖中立， 突遭狂风吹一边。离开原处二 尺远，花贴湖面似睡莲。一 图1 图2 第6题图 口数学 八年级上册（北师大版） 问题解决策略：反思 自主导学Q典例精析 例题我国古代有这样一个数学问题：枯木一根直立地上，高二丈， 周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何。题意是： 如图所示，把枯木看作一个圆柱，因一丈是十尺，则该圆柱的高为二十尺， 底面周长为三尺，有葛藤自点A处而上，绕五周后其末端恰好到达点B处。 求问题中葛藤的最短长度是多少尺。 例题图 【分析】这是立体图形求最短路径的问题。观察图形特征，葛藤恰好将枯木缠绕五周， 相当于将高为20尺、周长为15尺的圆柱绕一周，则求葛藤的最短长度问题就转化为求圆柱 的侧面展开图（长方形）的对角线长的问题，而求长方形对角线长实质就是求直角三角形 的斜边长。 【解答】如图，由题意知，葛藤的最短长度即为Rt△ABC的斜边长。因为 BC=20,AC=5x3=15,由勾股定理得AB2=AC+BC2,即AB2=152+202=252,所以 AB=25。因此，葛藤的最短长度是25尺。 【点拨】本例“葛藤缠树”需最短长度问题的本质就是“蚂蚁爬行”问题， 例题答图 即“蚂蚁”在立体图形的表面爬行的最短路径问题。它涉及空间想象能力和几 何图形性质的综合运用。解决这类问题的关键思路是将立体图形按照一定方式展开为平面图 形，把蚂蚁的爬行路径转化为求平面图形上的线段，即“化曲为直”，再依据“两点之间线 段最短”或“两边之和大于第三边”，准确找出最短路径，然后利用勾股定理计算最短路径 的长度。在立体图形中，要考虑多种平面展开方式，并比较不同展开方式下得到的路径长 度，从而确定最短路径。 能力提升睡综合拓展 1.一只螳螂在粗细均匀的树干A处，发现它的正上方点B处有一只虫子，螳螂想捕到 这只虫子但又怕被虫子发现，于是就绕到虫子后面吃掉它。已知树干的半径为10c,AB 两点的距离为45cm,那么螳螂爬行的最短路程是多少？（π取3）》 第1题图 而