第五章 2 二元一次方程组的解法-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（北师大版2024）

二元一次方程组 第五章 二元一次方程组的解法（第1课时） 自主导学Q典例精析 卡多多 12x+5y=25①， 例题 用代入消元法解下列方程组： 3x-4y=3②。 【分析】根据方程特点可将方程②变形，用含y的代数式表示x,再代入方程①中，转化 为关于y的一元一次方程。 【解答】由②，得=+告y ③。 将③代入①，得21+号y+5y-25,解得y=3。 x=5, 将y=3代入③，得=5。所以原方程组的解是 y=3。 【点拨】此题考查用代入消元法解二元一次方程组，用代入消元法解二元一次方程组的 关键是将方程组中的一个方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数，并代入 另一个方程，转化为求解一元一次方程，解方程组的基本思想是“消元”。要判断运算结果 是否正确，可将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组的每一个方程中，看看方程左、 右两边是否相等，检验可以口算或在草稿纸上演算。 基础巩固U达标闯关 x=4y+5①， 1.用代入消元法解方程组 时，先将 代入 中，整理得形 4x-11y=6② 如ay=b的一元一次方程为 2.在二元一次方程2y-3x=8中，用含x的代数式表示y得 用含y 的代数式表示x得 3.已知方程3x+2y=4,用含x的式子表示y,得() A. B.2y=3x-4 Cy=-2 D.y=3 t4 x+7y=-19, 4.解二元一次方程组 用代入消元法消去x,得到的方程是() x-5y=17, A.2y=-2 B.2y=-36 C.12y=-2 D.12y=-36 5.若x-y-21+(2+y4)2=0,则x,y的值是() x=0, x=2, x=1, A. B. C. y=2 y=0 y=1 西 口数学 八年级上册（北师大版） 6.用代入消元法解下列方程组： 13x-2y=8, 2x+5y=-21, (1) (2) 2x-y=5; x+3y=8; |3m-5n=-7, (3) 4m+2n=8; 5x-y=11。 能力提升睡综合拓展 -卡BBB x+y+3=10, 7.阅读材料：小强同学在解方程组 时发现，可将第一个方程通过移项变 4(x+y)-y=25 形为x+y=7,然后把第二个方程中的x+y换成7，就可以很轻松地解出这个方程组。小强同 学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是初中数学里常用的一种解题方法。 (1)请按照小强的解法解这个方程组。 12x+3y=-4, (2)用整体代入法解方程组： 6x-5y=16。 中考链接©真题演练 3x+y=5, 8.(2023.河南)方程组 的解为 x+3y=7 2x-y=5, 9.(2024·浙江)解方程组： 4x+3y=-10。 见 二元一次方程组 第五章 二元一次方程组的解法（第2课时） 自主导学Q典例精析 2x+5y=-10①， 例题 利用加减消元法解方程组： 5x-3y=6②。 【分析】利用加减消元法解方程组 2x+5)=-10①，方程①x(-5),方程②x2,其方程组 5x-3y=6②。 -10x-25y=50, 变形为 两个方程相加，即可消去x。 10x-6y=12, 【解答】方程①x(-5),得-10x-25y=50③。 方程②x2,得10x-6y=12④。 x=0, ③+④，得y=-2。将y=-2代入①，得x=0。所以原方程组的解是 y=-2。 【点拨】此题考查用加减消元法解二元一次方程组的基本技能。用加减消元法解方程组 的关键是将方程组适当变形，使其中一个未知数的系数互为相反数或相等，进而将变形后的 方程组相加或相减，将问题转化为求解一元一次方程的问题。解方程组的基本思想是“消元”。 基础巩固)达标闯关 -卡 4x-3y=5①， 1.用加减消元法解方程组 下列消元中错误的是() 2x-y=2②， A.②x2-① B.②x3-① C.②x3+① D.②x(-3)+① 2x+3y=1, 6x+9y=1, 2.用加减消元法解方程组 时，有以下四种变形结果：① 13x-2y=8 6x-4y=8; 14x+6y=1, 6x+9y=3, ② ③ ④4+6y=2, 其中变形正确的是() 9x-6y=8; 6x-4y=16; 9x-6y=24。 A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 3.用加减消元法解下列方程组： 2x+3y=12, 14x+3y=-4, (1) (2)》 3x+4y=-5; 10x+2y=1; 内 口数学 八年级上册（北师大版） 0.5x-3y=-1, 15(y-1)=3(x+5), 3) 1 (4) -x+5y-3=0; 13x-3=4(y-4)。 能力提升睡综合拓展 1ax+5y=5, x=-3, 4.在解方程组 时，由于粗心，小王看错了方程组中的α，而得解为 小 14x-by=-2 y=-1, x=5, 李看错了方程组中的b,而得解为 (y=4。 (1)试求a,b的值。 (2)求出原方程组的正确解。 5.观察方程组 23x+17)=63①，中的未知数，y的系数有什么特点，并利用这个特点 17x+23y=57② 求解方程组。 6.根据要求，解答下列问题。 (1)解下列方程组。（直接写出方程组的解即可） x+2y=3, 13x+2y=10, ①1 12x-y=4, 的解为 ;② 的解为 ③ 的解 2x+y=3 2x+3y=10 -x+2y=4 为 74 二元一次方程组 第五章 (2)以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 (3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解。 7.已知关于x,y的方程 3x-2=4与2m-3m=19,有相同的解，求m,n的值。 mx+ny=75y-x=3 *8.我们定义：当m,n都是实数，且满足m-n=6时，就称点P(m-1,3n+1)为“和谐 点”。 例如：点E3,1),令m-13.解得m=4 因为m-n=4≠6，所以E(3,1)不是“和 3n+1=1, n=0, 谐点”； [m-1=4, 解得 m=5, 点F(4,-2),令 3n+1=-2, 因为m-n=6,所以F(4,-2)是“和谐点”。 n=-1, (1)请判断点A(9,13)是否为“和谐点”。 (2)若以关于x,y的方程组 x+)=2,的解为坐标的点B(x,y)是“和谐点”，求1 2x-y=t 的值。 中考链接©真题演练 2x+y=7①， 9.(2024·苏州)解方程组： 2x-3y=3②。 5挖掘30天时挖掘长度为90m,甲的工作效率为3m/天。 前30天甲、乙两组合作挖掘了210m,则乙挖掘的长 度为210-90=120(m)。当甲挖掘长度为120m时， 工作天数为120÷3=40（天），此时乙组停工天数为 40-30=10(天)。6.x=-27.B8.解：(1)设y= x+b,由题意，得6=80,150+b=50。解得k=-号 y与x之间的关系式为)=号+80。(2)令x=240。 则y=方×240+80=2。品×100%=2%。答：该车的 剩余电量占“满电量”的32%。9.解：(1)①0.15 0.61.5②0.075③张华从家到画社的速度为 0.6÷4=0.15(km/min),张华从画社到文化广场的速度 为(1.5-0.6)÷(25-19)=0.15(km/min)。当0≤x<4时， y=0.15x;当4<x≤19时，y=0.6;当19<≤25时，y= 0.15(x-19)+0.6=0.15x-2.25。(2)爸爸速度为1.5÷20= 0.075(km/min)。设张华出发xmin时和爸爸相遇，由 题意，得0.15(x-19)+0.6=0.075(x-8)。解得x=22 .0.15×(22-19)+0.6=1.05(km)。答：在从画社到文化广 场的途中，两人相遇时离家的距离为1.05km。 4一次函数的应用（第3课时） 1.解：(1)图象反映了赛跑的距离s与赛跑所 花时间t之间的关系。(2)他们进行的是200m赛 跑。(3)甲是冠军。(4)乙在这次比赛中的速度是 8m/s。2.解：(1)设线段AB对应的函数表达式为 y=kx+20%,把(1,100%)代入表达式中，得100%= k+20%。解得k=0.8。∴.线段AB对应的函数表达式为 y=0.8x+0.2(0≤x≤1)。(2)设线段AC对应的函数表 达式为y=k'x+20%,把(6,100%)代人表达式中，得 100%=6+20%。解得品。线段4C对应的函数 表达式为)房402。当=1时，房x1+02=号在 -08x02中，当号时，x=右。1-名名， 1 乙车还需名h充满电。3.解：(1)由函数图象得 大巴速度为(60-20)÷1=40(km/h),:s=20+40。当 s=100时，100=20+40t。解得t=2。.a=2。∴.大巴离营 地的路程s与所用时间t之间的关系式为s=20+40t,a 的值为2。(2)由函数图象可得军车速度为60÷1=60 (kh)。设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为xh, 由题意，得60(2-x)=100。解得x=号。答：部队官兵 在仓库领取物资所用的时间为20min。4.解：(1) 由图象知，加油机的加油油箱中装载了30t油，全部 加给运输机需要10min。(2)设y=kt+b,由图象知 b=40,y=kt+40的图象经过点(10,69)，.10k+40= 69。解得k=2.9。.所求函数的表达式为y=2.9t+40 (0≤t≤10)，所求的表达式中k的实际意义就是每分 钟运输机的油箱所增加的油量是2.9t,b的实际意义 就是运输机在加油之前油箱中的剩余油量是40【。 (3)由图象知，运输机10min耗油1t,.∴.运输机的 1 参考答案与提示 耗油量为每分钟0.1t,.10h耗油量为10×60×0.1=60 (t)<69(t),.油量够用。5.(1)1205提示： 由题图2知小李从家到商店的时间为30min,.小李 的速度为60m/min,妈妈从出发到返回店里所用时间 为35min。由题图1可知妈妈的速度为(1800-10× 60)÷60=120(m/min),.妈妈往返所用时间为3600=30 120 (min),.妈妈在家装载货物所用时间为5min。 120t(0≤t<15), (20,1200) (2)2=1800(15≤t<20), -120t+4200(20≤t≤35)。 图象略。(3)由题意可知，小李的速度为60mmin, 妈妈的速度为120m/min。①相遇前，依题意有 60t+120t+360=1800。解得t=8。②相遇后，依题意 有60t+120t-360=1800。解得t=12。∴.小李到达商店之 前，出发8min或12min时两人相距360m。6.(1) 1.0(2)图象略。(3)①1.2②8.6 第五章二元一次方程组 1认识二元一次方程组 3x+2y51522,(答案不唯-)3 1 4.C5.D6.B7.解：设每本甲种书x元，每 本乙种书y元，则列方程组为230 8.解： 3x+2-19,9.110.D11.A12.C x+4y=23。 2二元一次方程组的解法（第1课时） 1.①②5y=-142=44=号y- 3.A4D5B6(①2,2)03. y=-1 (y=37 3)47解：052 ++3=10①， 由方程①，得x+y=7③，把③代入②，得4×7-y=25, 解得y=3。把y=3代入③，得x=4。所以方程组的解是 @6日方深.得4= y=3。 16,即3(2x+3y)-14y=16③，把①代入③，得3×(-4) -14y=16,解得y=-2。把y=-2代入①，得x=1。所以 方超的解是2对9解公2 y=-2。 由方程①，得y=2x-5③，把③代入②中，得4x+3(2x 5)=-10。解得x7。将x=号代入③，得)=-4。所以 方程细的解是：子， y=-4。 2二元一次方程组的解法（第2课时） 1.c2D3四8.②0 (3) =4；（4)74.（1）=-3,b=10。(2 v=1 33 数学 八年级上册（北师大版） x=-4, 5.解：两个方程中，x和y的系数和与差 相等或互为相反数。将方程①+②后整理，得x+=3③， 将方程①-②后整理，得x-y=1④，由方程③④解得 2,6.解：）1②， ③/4， y=1。 l=1 3y=4 (2)y(3)答案不唯一，如3+22：的解为 2x+3y=25 任.7.解：方程组3-2=4与2m3019, ly=5。 mx+ny=7 15y-x=3 有相同的解，“这个解就是两个方程组中每一个二元 一次方程的解。这个解也是方程组3x-24,的解。 (5y-x=3 将方积40.1=.第 将y=1代人②，得x=2。∴.已知两个方程组的解都为 2::由题意知，2，是方程组+7，。的 ly=1。 y=1 2m-3y=19 解。将2代人，得n19解得m4,= =1 8.解：（)点A(9,13,令19，解得 l3n+1=13。 m=0.m-6,4(9,13)是“和谐点”。(2)解 n=4。 3 方程组，得41一 2x-y=t, 点号，号是和 m-1=4+2 谐点”， 3 。1tm-n=6,.3-9 3n+1=-4t 6。解得t=10.9.解：方程①-②，得4=4，解得y= 1。将)1代人①，得x=3。所以方程组的解是任=3， y=l。 3二元一次方程组的应用（第1课时） 1.解：设租大船x只、小船y只。根据题意，得 x+y10, 解得7,2.解：设甲放羊x只、 l12x+5y=99。 y=3。 乙放羊y只，则+g29),解得59,3.解： x-8=y+8。 y=43。 受4鸡有：只。制有子菜则.年 4解：有设x只饭碗、y只羹碗，则+)364，解得 l3x=4y。 x=208,有僧3x208=624(人)。5.解：(1)设 y=156。 每个灯笼的价格为x元，每副春联的价格为y元。根 据题意，得5t55解得35.答：略。(2 3x+8y=265。 【y=20。 设购买灯笼a个，花费为0元，根据题意，得u=35a+ 20(100-a)=15a+2000。.k=15>0,∴.0的值随着a的增 大而增大。0≤a≤30，.2000≤w≤2450。答：略。 1 6.解：设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农 作物的种植面积是y公顷。根据题意，得+324解 8+9=60。 得答：略。2解：①)由题意，得8636： =4。 l30a+15b=705。 解得144=14，b=19。(2)当50≤x≤80时，) lb=19。 (22-14)x+(25-19)(150-x)=2x+900。k=2>0,.∴y的值 随着x值的增大而增大。∴.当x=80时，y取最大值， y最大值=2×80+900=1060（元）。当80<x≤120时，y= (22-14)×80+(22-14-5)(x-80)+(25-19)(150-x)=-3x+1 300,:k=-3<0,∴y的值随着x值的增大而减小。 当x=80时，y大值=-3×80+1300=1060（元）。此时， 150-x=70(kg)。答：略。 3二元一次方程组的应用（第2课时） 1.解：设甲、乙两种商品原销售价分别为x元、 元，则y-006-386。解得i0”2.解：设 y=180。 该商场上个月卖出甲、乙两种商品分别为x件、y件， 则+=1000， x(1+50%)+y(1-10%)=1000(1-4%)。 解得=100， (y=900。 3.解：(1)设打折前甲品牌粽子每盒x元、乙品牌 粽子每盒y元。根据题意得6x+3,600, 50-0.8.x+40-0.75y=5200。 解得40，÷打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌 y=120。 粽子每盒120元。(2)80×40+100×120-80×0.8×40- 100×0.75×120=3640(元)。∴.打折后购买这批粽子比 不打折节省了3640元。4.解：设调整前甲地该商 品的销售单价为x元，乙地该商品的销售单价为y元。 由题意.得0-01.新和8答： 略。5.解：设甲种服装的标价为x元，则进价为 产元：乙种服装的标价为y元，则进价为六元，则 x+y=210, l0.8x+0.9y=182。 解得0则音450（元）4 y=140。 100(元)。答：略。6.解：设去年每千克小龙虾的 养殖成本与售价分别为x元、y元。由题意，得 -=32, 109%w-（1-25%x30解得M答：略。7解 y=40。 (①)125+13y(2)根据题意，得+520， 11.25x+13y=520+140。 解得320,125x=400,13y=260。答：略。8.解. (1y=200。 (1)设小孔同学测试成绩为x分，平时成绩为y分。 依题意得91。解得的答：略。 (2)由题意可得80-70x80%=24,24÷20%=120>100。 不可能达到A等。(3)设平时成绩为满分，即100 分，综合成绩为100x20%=20。设测试成绩为a分，根 据题意可得20+80%a=80。解得a=75。∴.他的测试成 绩至少要75分。9.解：设促销活动前每个瘦肉粽、