第二章 2 平方根与立方根-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习（北师大版2024）

数学 八年级上册（北师大版） 20 第1题答图 第2题答图 第3题答图 2.解：如图，将长方体包装盒侧面沿棱AB展开， 得到如图所示的长方形AABB,连接AB,由两点之 间线段最短，AB,长就是所用麻绳的最短长度。在 Rt△AAB中，AA=4×1=4(dm),AB=3dm。由勾股 定理，得AB2=AA2+AB2=4+32=25。AB=5dm。答： 所用麻绳的最短长度为5dm。3.解：如图，三级台 阶平面展开图为长方形，则BC=20dm,AC=(2+3)x3= 15(dm),则蚂蚁沿台阶面爬行到点B处的最短路程 是该长方形对角线AB的长。在Rt△ACB中，由勾股 定理，得AB2=AC+BC=20+152=252。.AB=25dm 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点B处的最短路程是25dm。 4.解：·.·圆柱形食品盒高10cm、底面圆周长为 32cm,且蚂蚁从盒外表面距下底面3cm的C处，爬 行到盒内表面对侧中点B处，.相当于蚂蚁从一个高为 (7+5)cm、底面圆周长为32cm的圆柱形食品盒的下 底面上的点C处，爬行到对侧上底面上的点B处。将 转化得到的圆柱体侧面展开，得到一个长为32cm 宽为12cm的长方形，则这长方形一半，即长为 16cm、宽为12cm的长方形的对角线就是蚂蚁吃到食 物需要爬行的最短路程。由勾股定理，得16+122= 400=20,.蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程为20cm。 5.解：蚂蚁爬行的路线有3种。①当蚂蚁爬行经过 长方体的右侧表面与前面 这两个侧面时，我们将这 两个侧面展开所得到的平 面图形如图1所示。长 方体的宽为10，高为20， 10 点B离点C的距离是5， 图1 .:BD=CD+BC=10+5=15 0 AD=20。在Rt△ABD中， 10 由勾股定理，可得AB=BD4 AD2=152+20=625。②当蚂 20 蚁爬行经过长方体的右侧 图2 表面与上底面这两个侧面 时，我们将这两个侧面展 开所得到的平面图形如图 2所示，则BE=CE+BC=20+ 20 D10 5=25,AE=10。在Rt△ABE 图3 中，由勾股定理，可得 第5题答图 AB”=BE+AE-25+10=725。③当蚂蚁爬行经过长方体 的上表面与后面这两个侧面时，我们将这两个侧面展 开所得到的平面图形如图3所示，则BC=5,AC=CD+ AD=20+10=30。在Rt△ABC中，由勾股定理，可得 AB2=BC+AC心=52+30=925。.625<725<925，AB>0, 蚂蚁爬行的路线经过长方体的右侧表面与前面这两个 侧面时，蚂蚁爬行的路程最短，最短路程为25。 第二章实数 1认识实数（第1课时） 1.不是不是不是2.D3.D4.解：：AB2 32+42=25,AB=5;BC=32+32=18,CD2=2+32=13, AD=22+4=20;AC=7,BD=5。AB,AC,BD的长度 是有理数，BC,CD,AD的长度不是有理数。5. (1)105。(2)b2=105,不是。(3)10.2，验证 略。6.解：(1)BC的长不是整数，BC边的长的整 数部分是2。理由：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3, AC=4,由勾股定理，可得BC=AC2-AB=16-9=7.4< BC<9,2<BC<3。.BC的长不是整数，BC边的长的 整数部分是2。(2)用无限逼近的方法可得BC≈ 2.64575。(无限逼近的过程略)7.解：(1)是有 理数。设绣布的长为4xcm,宽为3xcm,根据题意， 得4x3x=588,即12x2=588。x2=49。x>0,∴x=7。 4x=28,3x=21。.绣布的长为28cm,宽为21cm。. 这块绣布的长和宽都是有理数。.2x(28+21)=98(cm)。 答：这块绣布的周长为98cm。(2)能够裁出来完整 的圆形绣布。理由：设完整的圆形绣布的半径为rcm, 根据题意，得m-=340。-340≈108.225.100<< T 121,10<<11.108.16<2<110.25,.10.4<<10.5。 2<21,.能够裁出来完整的圆形绣布。T是无限不 循环小数，r2-340÷=108.22536一定是无限不循环 小数。了不是分数，也不是整数，r不是有理数。 8.2(答案不唯一)9.B 1认识实数（第2课时） 12.22,-号3.14，器 -T, 0.1010010001..(两个1之间依次加一个0)2.A 4.C5.解：1)有理数集合：{15， 0,-5,0.728,3.14…}(2)无理数集合：{π， 0.3030030003·(每相邻两个3之间0的个数逐次 增加)…(3)负实数集合：【品-5… (4)实数由小到大排列：-5，号，0,03， 0.3030030003·(每相邻两个3之间0的个数逐次 增加1)，0.728,3.14，T…6.略。7.解：①-1 2 ②2③3④2.02402400024…（每相邻两个24 之间0的个数逐次增加1)⑤-7⑥π8.略。 2平方根与立方根（第1课时） 1.D2D3C4D5.I)(2)50 (3)0(405(5)号(6)名6() 13 (2)10(3)20 4 (4)5(5)6(6)97.解： :直角三角形①②③④⑤的斜边依次为V2,V2, 78 参考答案与提示 V2,V2,V2,∴.第n个等腰直角三角形的斜边 又·.6300<V40x10<6350,且结果精确到100m, 长为V2.8.解：(1)设大正方形的边长为acm, V40x10的整数部分为6300。∴.x≈6300m。(2) :小正方形的面积为450cm2,∴拼成的大正方形的面 设正方形的边长为ym,则y2=8700。解得y=V8700。 积a2=2×450=900(cm2)。a>0,∴.a=V900=30。∴.大 又93<V8700<94,93.1<V8700<93.5,且结果精 正方形的边长是30cm。(2)设裁出的长方形的长为 确到1m,V8700≈93。要建设的体育馆的边长约 3xcm,宽为2xcm,根据题意，得6x2-600。∴x2=100。 为93m。10.>11.2或312.>13.3214.D x>0,.x=10。∴3×10=30(cm),2×10=20(cm)。 这个长方形的长与宽都没有超过30cm,.能裁出一个 3二次根式（第1课时） 面积为600cm2,长与宽之比为3：2的长方形。 9.4 1.252V2232V3046 10.111.C 2平方根与立方根（第2课时） 5.3+V256.V24-V37.C8.A9.C 1.00或12.13.D4.C5.(1)±25 10.D11.(1)5(2)3(3)812.(1)9-4V5 (2)±号(3)±13(4)±V7(5)±60(6) (2)1(3)2+V2(4)13-2613.V6 14.1015.D16.B 0.076.()±7(2)子或号7m=7,n3, 3二次根式（第2课时） Vm+2n=V13.8.解：-1<a<0.5,0.5<b<1, 1.3V75V2652.2V6 3 5 原式=-a-b-(b-a)=-a-b-b+a=-2b。9.(1)①V25 5②V10010(2)Vn2-2xnx1+下=V(n-17=n- 2V33126440V35.3T§6.c 10 3 1(3)原式=0-1+2-3+4-5+…+2024-2025=(0-1)+ 7.D8.C9.解：最简二次根式有V+I,V5, (2-3)+(4-5)+…+(2024-2025)=-1+(-1)+(-1)+…+ 其余都不是最简二次根式。V(-7)=7,V28=2V7, (-1)=-1013.10.111.D 2平方根与立方根（第3课时） v.V嘉答，V厚-V 2 1.0或±12.A3.A4.C5.(1)0.6 (2) 10.(1)22V2(2)V12×(32+4)=60(3)60 -02(3)054号6)10(2)-2 (4)号V了11.解：DE是AB边上的高， (3)-子4)87.()=3(2)x=-1(3) ∠AED=∠BED=9O°。在Rt△ADE中，由勾股定理，得 14,y1000 号8解：将已知等式变形，得”， AE=V(2V5)2-4=2。同理，在Rt△BDE中，BE= 27 V(4V5)2-4=8。AB=AE+BE=10。在△ABC中， 又w0.0,y0.7y=9。=4, AB=10,AC=6,BC=8,∴AB2=AC+BC。∴.△ABC是 =。9解：由题意，得2a-3+5-a0,解得4 直角三角形。设△ABC的边AB上的高为九，则)ABx -2,则b=49。.10a-b+5=-64。V-64=-4,.10a-b+ h号A0xBC,即10h=6x8。h=4.8。△ABC的边AB 5的立方根为-4.10.解：(1)设立方体的棱长为 上的高为4.8.12.解：(1)根据题意，得BP-2t, a,则根据题意，得d=343.7=343,.a=/343=7 P℃=16-2t。当t=3时，16-2×3=10。在Rt△AP℃中， (cm)。答：这个铁块的棱长为7cm。(2)设另一个 AC=8,PC=10,∴由勾股定理，得AP=VAC+PC= 小立方体铁块的棱长为bcm,则b-343-218=125.5= V164=2V4I。AP的长为2V4I。(2)在Rt△ABC 125,b=5。答：另一个小立方体铁块的棱长为5cm。 中，AC=8,BC=16,由勾股定理，得AB=V64+256= 11.-212.B V320-8V5。若BA=BP,则28V5,解得t4V5; 2平方根与立方根（第4课时】 若AB=AP,则BP=2BC=32,2t=32,解得t=16;若 1.(1)7.5(2)4.6(3)62.(1)>(2) PA=PB,则（2t)2=(16-2t)2+82,解得t=5。答：当 <3.-m<-V3<-V24.785.D6.B △ABP为等腰三角形时，t的值为4V5或16或5。 7.0.4454.4544.5445规律：被开方数的小数点 每向左（或向右）移动两位，其算术平方根的小数点 13.解：(1)(V5+V6)2=5+2xV5×V6+6=11+ 就相应地向左（或向右）移动一位8.解：由题意，： 2V30。(2)①△4BC是直角三角形。理由：：(V5+ 得x2=28。又x>0,∴x=V28。.这个正方形客厅的边 (V6)2=(V11)2,∴.△ABC是直角三角形。②.三角 长x是无理数。5<V28<6,5.2<V28<5.3,5.29< 形任意两边之和大于第三边，V5+V6>V。 V28<5.30。x≈5.3。∴.这个正方形客厅的边长x约 (3).(2V3+V6)2=18+12V2,(3V3)2=27, 为5.3m。9.解：(1)设开发区占地的宽为xm, V2>1,18+12V2>30.2V3+V6>3V3。 则长为3xm,32-12x10,x2-4x10。解得x=V40x10。 14.V315.B16.A实 数 第二章 平方根与立方根（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题已知一个正方体的表面积为96dm?,求这个正方体的棱长。 【分析】根据正方体的表面积等于96dm求棱长的平方，再由算术平方根定义求出棱长。 【解答】设正方体的棱长为adm,则由正方体的表面积S=6a2,得6a2-96。 解得a2=16。所以a=V16=4(dm)。 所以这个正方体的棱长为4dm。 【点拨】此题实质是考查运用平方运算求一个数的算术平方根。 基础巩固（达标闯关 1.一个数的算术平方根是它本身，则这个数是() A.-1,1或0 B.1 C.-1或1 D.0或1 2.一个数的算术平方根是a,比这个数大2的数为() A.a+2 B.Va-2 C.Va +2 D.a2+2 3.下列说法中正确的是() A.4的算术平方根是±2 B.-2一定没有算术平方根 C.-V5表示5的算术平方根的相反数 D.0.9的算术平方根是0.3 4.估算V17+1的值在() A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 5.求下列各数的算术平方根： 0: (2)2500: (3)0: (4)0.25; (5) 121 169 (6)62。 可 口数学 八年级上册（北师大版） 能力提升螂综合拓展 6.计算下列各式的值： (1)(-V11)2; (2)V62+82: (3)V252-152: 144 (4)1V225: (5)V2x18; (6)V(-3)×(-27)。 7.图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①②③④⑤…，则第n个 等腰直角三角形的斜边长为多少？ ⑤ 第7题图 8.如图，把两个面积为450cm的正方形沿对角线裁成4个三角形，并将其拼成一个大 正方形。 (1)求大正方形的边长。 (2)若沿着大正方形边的方向剪裁，能否裁出一个面积为600cm?,长与宽之比为3：2 的长方形？ 第8题图 中考链接©真题演练 9.(2024陕西)计算：V√16= 10.(2024·成都)若m,n为实数，且(m+4)2+Vn-5=0,则(m+n)2的值为 11.(2023·云南)按规律排列的单项式：a,V2a2,V3a3,V4d,V5a,…,则 第n个单项式是() A.Vn B.Vn-1 a C.Vnd D.Vnd 18 实数 第二章 平方根与立方根（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题已知lal=6,b2=16,求a+b的平方根。 【分析】根据1al=6,b2=16,求出a,b的值，再分类讨论，求出每种情况下a+b的平方根。 【解答】因为lal=6,b2=16,所以a=±6，b=±4。 ①当a=6,b=4时，a+b=10,其平方根是±V10; ②当a=6,b=-4时，a+b=2,其平方根是±V2; ③当a=-6,b=4时，a+b=-2,所以a+b没有平方根； ④当a=-6,b=-4时，a+b=-10,所以a+b没有平方根。 【点拔】本题考查用平方运算求一个数的平方根。解题的关键是理解平方根的概念，即 一个正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根Va,另一个是-Va,它们互为相反数。 基础巩固U达标闯关 1.若一个数的平方根等于它本身，则这个数是 若一个数的算术平方根等于它 本身，则这个数是 2.一个数的平方根是2x-4和3x-1,则x的值为 3.V16的平方根是() A.4 B.-4 C.±4 D.±2 4.下列说法正确的是() A.49的平方根是7 B.V36的平方根是±6 C.(-2)2的平方根是±2 D.-5的平方根是-V⑤ 5.求下列各数的平方根： (1)625: 29 (3)1.69; (4)17; (5)3600: (6)0.0049。 的 口数学 八年级上册（北师大版） 6.求满足下列各式的x的值： (1）8x2-2=0: (2)25(x-1)2=4。 能力提升睡综合拓展 一卡多多 7.已知2m+2的平方根是±4,3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的算术平方根。 8.实数a,b在数轴上的位置如图，化简：V-Vb2-V(a-b)2。 6 -10.500.51 第8题图 9.观察下列算式的特征及运算结果：V12-2x1x1+1P=V0=0;V22-2x2x1+12=V1=1; V32-2x3x1+1P=V4=2;V42-2x4x1+1=V9=3;V52-2x5x1+P=V16=4… (1)根据上述规律，直接写出下列算式的值： ①1V62-2×6x1+12= ;②V1012-2×101x1+1P= (2)用含n(n为正整数)的代数式表示出第n个等式： (3)计算：V12-2×1×1+12-V22-2×2×1+12+V32-2x3×1+12-V42-2x4×1+12+…+ V20252-2×2025×1+1P-V2026-2×2026x1+17。 中考链接©真题演练 一 10.(2024·上海)已知2x-1=1,则x= 0 11.(2024内江)16的平方根是（) A.2 B.-4 C.4 D.±4 20 实数 第二章 平方根与立方根（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题已知64x2=1,求x的立方根。 【分析】由64x2=1,可求出x的值，进而求出x的立方根。 【解答】因为64l,即4，所以=±g 因为分=名，片名，所以x的立方根是±分 【点拨】此题考查运用平方运算与立方运算求一个数的平方根与立方根。应该注意的是， 任何数都有立方根，一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0。 基础巩固飞达标闯关 1.立方根等于它本身的数是 2.8的立方根为() A.2 B.±2 C.4 D.±4 3.设=2，b=(-3只，c=V9,d号，则a,,c,d按由小到大的顺序排列正确的是 ( A.c<a<d<b B.b<d<a<c C.a<c<d<b D.b<c<a<d 4.下列说法正确的是() A.27的立方根是±3 B.0没有立方根 C.-2是-8的立方根 D.-64的立方根是4 5.求下列各数的立方根： (1)0.216: (2)-0.008: (3) 125 1000: (4)729 6.求下列各式的值： (1)V1000;(2)V(-2)3; 3)-V品4(s只 口数学 八年级上册（北师大版） 7.求下列各式中x的值： (1)3x3=81; (2)(x+3)3=8: (3)8-125x3-=0。 能力提升螂综合拓展 -s多多 8.已知144x2-49=0,27y+1000=0,且xy<0,求x+y,y的值。 9.一个正数b的两个平方根分别是2a-3与5-a,求10a-b+5的立方根。 10.如图是一块体积为343cm3的立方体铁块。 (1)求这个铁块的棱长。 (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个的体积为 218cm3,求另一个小立方体铁块的棱长。 第10题图 中考链接©真题演练 卡 11.(2024大庆)计算：-8= 12.(2023·威海)面积为9的正方形，其边长等于（) A.9的平方根 B.9的算术平方根 C.9的立方根 D.V9的算术平方根 22 实 数 第二章 平方根与立方根（第4课时） 自主导学Q典例精析 例题 估算V5的大小。（结果精确到0.01） 【分析】运用算术平方根的概念，可找到与5接近的两个完全平方数，即4<5<9，由此即 可估算出V5的整数分是2。又因为5和4比较接近，所以V5的小数部分小于0.5，再分 别计算2.3,2.2，判断与V√5之间的大小关系，再取小数点后两位数，即可估算出√5的值。 【解答】因为4<5<9，所以2<V5<3。又因为5<6.25=2.52，所以V5小于2.5。 因为2.32=5.29,2.22=4.84，所以2.2<V5<2.3。 因为2.232=4.9729,2.242=-5.0176，所以2.23<V5<2.24。 因为5.0176更接近于5，所以V5约为2.24。 【点拨】此题主要考查估算无理数大致范围的能力。此题的解法实质上给出了估算一个 正无理数的一般方法，即用两个有理数逼近的方法。特别说明有两点：第一，逼近的次数是 由估算要求的精确度决定的，本例要求精度是0.01，所以作了三次有理数逼近，即整数部 分、十分位和百分位；第二，两个逼近的有理数的平方数中，哪个与估算的无理数平方数的 误差小，那么这个有理数就是无理数估算值。 基础巩固飞U达标闯关 :e务多色 1.请估算下列各无理数的大小： (1)V56(结果精确到0.1)= ； (2)V21.2(结果精确到0.1)= (3)200(结果精确到1)= 2.比较大小：(1)-4 -V17;(2)V16 V7。 3.将实数-V3,-2,-π按由小到大的顺序排列： 0 4.若正方形ABCD的面积为57，则边AB的长介于连续整数 和 之间。 5.下列各组数不能作为一个三角形的三边长的是() A.1,3,2B.V3,V4,V5C.3,4,5 D.32,42,5 6.估计12的负的平方根介于() A.-5和-4之间B.-4与-3之间 C.-3与-2之间 D.-2与-1之间 7.用计算器求下列各式的近似值，你发现了什么规律？ V0.198= ；V19.8= ;V1980= ;V198000= 规律： 23 口数学 八年级上册（北师大版） 能力提升坤综合拓展 8.小张同学家的客厅是面积为28m的正方形，那么请你判断一下这个正方形客厅的边 长x是有理数还是无理数。如果结果精确到0.1m,那么边长x的取值是多少？ *9.某开发区占地是一个面积为12x10?的长方形，且这个长方形的长是宽的3倍。请你 用估算的方法解决下列问题。 (1)如果结果精确到100m,它的宽大约是多少米？ (2)在开发区内，想建设一个面积为8700的占地为正方形的体育馆，如果要求结果 精确到m,请你估算一下它的边长是多少。 中考链接©真题演练 10.(2024山西)比较大小：V6 (填“>”“<”或“=”)2。 11.(2024·滨州)写出一个比V3大且比V10小的整数： 12.(2024.安徽)我国古代数学家张衡将圆周率取值为10，祖冲之给出圆周率的一种 分数形式的近似值为号。比较大小：V10 —(填”或“<)号。 13.(2024.河北)已知a,b,n均为正整数。若n<V10<n+1,则n=；若n-1< Va<n,n<Vb<n+l,则满足条件的a的个数总比b的个数少 个。 14.(2023·徐州)V2023的值介于() A.25与30之间 B.30与35之间 C.35与40之间 D.40与45之间 24