重难点01：一元二次方程的解法（8大类型+拔优特训）2025-2026学年北师大版九年级数学上册

重难点01：一元二次方程的解法 导航 类型1：直接开平方法… .... 类型2：配方法。 …3 类型3：公式法… …6 类型4：提公因式法… ……8 类型5：利用平方差公式因式分解求解一元二次方程…10 类型6：利用完全平方公式因式分解求解一元二次方程…11 类型7：利用十字相乘法因式分解求解一元二次方程…11 类型8：利用换元法求解一元二次方程… …13 拔优特训… ●● …16 类型 类型1：直接开平方法 1.用直接开平方法解下列方程： (1)2(x-1)2=18 23(x+1)2-75=0. 2.用直接开平方法解下列方程： (1)(x+1)2-34=2. (2)x(x+1)=x+2. 1/12 3.用直接开平方法解方程： (1)汽x2-8=0 (2)(x-4)2=25 4.用直接开平方法解下列方程： (1)4x2-16=0. (20.6y2+3=12. 类型2： 配方法 1.用配方法解下列方程： (1)x2-x-1=0 (2)x2-3x=3x+7. 2.用配方法解方程： (1)2x2-3x-支=0， 2y-学=-寺 2/12 3.用配方法解方程： (1)x2-8x+12=0. (2)4x2-7x+2=0; 4.用配方法解方程： (1)2x2-4x十1=0 (2)5x2-2=-X. 类型3：公式法 1.用公式法解下列方程： (1x2+2V5x=4. (2)(x-4)(x-2)+1=0. 2.用公式法解下列方程： 1.3x2-4x-1=0. 2.V2x2-6x-3V2=0. 3/12 3.用公式法解下列方程： (1)x2-4x+1=0. (23y2+1=2W3y. 4.用公式法解方程： (1)-3x=1-x2: (2)2x2-4x-3=0. 类型4：提公因式法 1.解方程： (1)5x2=4x 2.解方程：x2-1=3(-1) 3.解方程：x(2x-1)=4x-2. 4/12 4.解方程：4x(x-3)-(x-3)=0. 类型5：利用平方差公式因式分解求解一元二次方程 1.解下列方程：(2x-1)2=(x+3)2. 2.解下列方程：(x-3)-4x2=0: 2.解方程(3x-4)2-(4x+1)2=0. 3.解方程：(2x-1)2-9x2=0 类型6：利用完全平方公式因式分解求解一元二次方程 1.解方程X2+2x+1=0 5/12 2.解方程：25x2-20x+4-0 3.解方程：49x2+14x+9=8 4.解方程：4（x+1)2+2（x+1)+3=2 类型7：利用十字相乘法求解一元二次方程 1.解方程：x2-2x-8=0 2.解方程：x2-5x十6=0 3.解方程：3x2-4x+1=0. 6/12 4.解方程：2x2+5=7x. 5.解方程：x2+3x-18=0. 类型8：利用换元法求解一元二次方程 1.解方程(5-2x)2-5(5-2x)+6=0 2.利用换元法解下列方程 (1)(x2-2x)2+(x2-2x)-2=0: (22-3x)+(3x-2)2=0. 3.己知(x2+y2)(x2+y2-1)=6,求x2+y2的值. 7/12 4.阅读材料，解答问题. 解方程：(2x-4)2-12(2x-4)+32=0, 解：把2x-4视为一个整体，设2x-4=y, 则原方程可化为y2-12y+32=0, 解得1=4，Y2=8。 2x-4=4或2x-4=8. .X1=4,X2=6. 以上方法叫做换元法，达到了简化或降次的目的，体现了转化的思想. 请仿照材料解下列方程： (1)(3x-1)2-8(3x-1)+15=0: (2x4-5x2-6=0. 拔优特训 1.解方程： (1)(x-3)2-4=0 (2)x2+4x-3=0 8/12 2.解方程： (1)27(x+1)3=-64: (2)4(1+x)2=49. 3.解方程： (1)(x-1)2-9=0: (2)x2+2x-4=0. 4.用合适的方法解下列方程 (1)x2-6x+4=0 (22x2-4x=1 5.解方程： (1)2(3x-2)2-32=0: (2)4x2-8x+1=0. 6.解方程： (1)x2-4x-6=0: 9/12 (2)(x-3)2=x+5. 7.选用适当方法求下列方程的精确解 (1)2x2-4x-1=0 22x+1)=(x-4)2 8.解下列方程： (1)x(x-4)=2-8x: (23x2-2x-1=0. 9.解方程： (1)3x2-7x+4=0. (2)x2+8x+3=0 10/12 重难点01：一元二次方程的解法 导 航 类型1：直接开平方法……………………………………………………………1 类型2：配方法……………………………………………………………………3 类型3：公式法……………………………………………………………………6 类型4：提公因式法………………………………………………………………8 类型5：利用平方差公式因式分解求解一元二次方程…………………………10 类型6：利用完全平方公式因式分解求解一元二次方程………………………11 类型7：利用十字相乘法因式分解求解一元二次方程…………………………11 类型8：利用换元法求解一元二次方程…………………………………………13 拔 优 特 训………………………………………………………………………16 类 型 类型1：直接开平方法 1．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)4， (2)4， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先在两边同时除以2，得，再直接开平方法，即可作答． （2）先移项，在两边同时除以3，得，再直接开平方法，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴两边同时除以2，得， 则， ∴或， 解得4，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得4， 2.用直接开平方法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1）． （2）． 【详解】（1）解：移项，得， 两边开平方，得， ，． 【详解】（2）解：整理为一般式，得， 移项，得， 两边开平方，得， ，． 3．用直接开平方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，解题关键是将方程转化为或的形式，然后通过开平方求解即可． （1）先移项得，再将系数化为后得，直接开平方求解即可； （2）直接开平方求解即可． 【详解】（1）解：移项得， 方程两边都乘以得， 两边开平方，得. 故答案为：，． （2）解：两边开平方，得， 即或， 解得，． 故答案为：，． 4．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)． (2)． 【详解】（1）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 直接开平方，得． （2）移项，得． 二次项系数化为1，得． 直接开平方，得． 类型2： 配方法 1．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：移项，得. 配方，得即. 两边开平方，得． ，. （2）解：移项，得. 配方，得即. 两边开平方，得． ，. 2．用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的基本步骤． （1）将系数化为得，配方得，再开平方即可求解； （2）将方程整理得，配方得，再开平方即可求解． 【小题1】解：系数化为，得． 移项，得． 配方，得． 解得，． 【小题2】解：两边同时乘以，整理得． 配方，得． 解得，． 3．用配方法解方程： (1)． (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可． （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，． （2）解：， ， 配方得， ∴ ∴ ∴， ∴，． 4．用配方法解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键； （1）先化为，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）先化为，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： 方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：或， ， （2）解： 方程整理得：， 配方得：， 即， 开方得：或， ， 类型3：公式法 1．用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程． 根据公式法求一元二次方程的步骤进行求解：先将方程化为一般形式，再确定二次项系数、一次项系数、常数项系数，然后计算根的判别式，根据判别式看是否有解，当判别式非负时，代入求根公式求解． 【小题1】解：原方程可化为，这里，，． ， ， 即，． 【小题2】解：原方程可化为，这里，，． ， ， 即． 2.用公式法解下列方程： 1．． 2．． 【答案】11． 12． 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握求根公式； 根据公式法求一元二次方程的步骤进行求解：先将方程化为一般形式，再确定二次项系数、一次项系数、常数项系数， 然后计算根的判别式，根据判别式看是否有解，当判别式非负时，代入求根公式求解． 【详解】解：（1）这里，，． ， ， 即，． （2）这里，，． ， ， 即 ，． 3．用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2) 【详解】解：（1），，， ， 方程有两个不等的实数根， ，． （2）原方程可化为． ，，， ， 方程有两个相等的实数根． 4．用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出，再代入公式进行计算，即可得到答案； （2）先算出，再代入公式进行计算，即可得到答案； 本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ∴， ∴； 类型4：提公因式法 1．解方程： (1) 【答案】(1) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 2．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，通过因式分解求解即可． 【详解】解：原方程变形为：， 即：， ，， 解得，． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查利用因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解： ， ， ， 4．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程成为解题的关键． 直接运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 或， ． 类型5：利用平方差公式因式分解求解一元二次方程 1．解下列方程：． 【答案】，   【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 或， ，． 2．解下列方程：； 【答案】， 【详解】解： 则， 即， ∴或， 解得，； 2．解方程． 【答案】， 【详解】 ∴， 3．解方程: 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得； 类型6：利用完全平方公式因式分解求解一元二次方程 1.解方程:X2+2x+1=0 【答案】x1=x2=-1 【详解】解：（x+1）2=0 X+1=0或x+1=0 x1=x2=-1 2.解方程:25x2-20x+4=0 【详解】解：(5x-2)2=0 5x-2=0 X1=x2= 3.解方程:49x2+14x+9=8 【详解】解：49x2+14x+1=0 (7x+1)2=0 7x+1=0 X1=x2= 4.解方程:4（x+1）2+2（x+1）+3=2 【详解】解：4（x+1）2+2（x+1）+1=0 (2x+1+1)2=0 2x+2=0 X1=x2=-1 类型7：利用十字相乘法求解一元二次方程 1. 【答案】 解：， ， 或， 解得：． 2．解方程：． 【答案】)， 【详解】解：， ， 或， 解得，． 3．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程的因式分解法，关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤． 利用因式分解的方法解出方程即可． 利用因式分解得，得或，求解可得． 【详解】解：， ， 则或， 解得，． 4．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 5．解方程：． 【答案】， 【分析】先移项，再用因式分解法求解． 【详解】解：， ， ， 或， 解得，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． 6．解方程：． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，． 类型8：利用换元法求解一元二次方程 1．解方程 【答案】或 【分析】本题主要考查运用换元法及因式分解法解一元二次方程，设，则原方程可变形为，再根据因式分解法求解即可 【详解】解：设，则原方程可变形为， ∴， ∴ ∴， 即或， 解得或 2．利用换元法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）利用换元法求解即可； （2）利用换元法求解即可． 【详解】（1）设，原方程可变为： 解得：或，即或． 当时，，没实数根， 当时，解得． 故原方程的根是，． （2）设，原方程可变为：， 解得：或， 当时，可得，解得：， 当时，可得，解得：， 故原方程的根是，． 3．已知，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了代数式求值，用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法． 设，可得一元二次方程，解一元二次方程可得答案． 【详解】解：设，则原方程等价于， ∴， 解得或（不符合题意，舍取）， ∴． 4．阅读材料，解答问题． 解方程：， 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． ∴或． ∴，． 以上方法叫做换元法，达到了简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）把看做一个整体，设，则原方程可化为，，； （2）把看做整体，设，则原方程可化为，解得，． 【详解】（1）解： 把看作一个整体，设， 则原方程可化为， 解得，， ∴或者， ∴，． （2）解：， 把看作整体，设， 则原方程可化为． 解得，（舍去）， ∴，． 拔优特训 1．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项，再由直接开平方法求解； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： ∴，． 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题考查了利用平方根立方根的定义求方程的解，准确掌握相关计算方法为解题关键． （1）利用立方根的定义求解方程即可； （2）利用平方根的定义求解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ； （2）解：∵， ， ， 或， 或． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先移项，再利用直接开平方法求解即可； （2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，． 4．用合适的方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ∴； （2）， ， ， ， ∴， ∴． 5．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）将方程化为，用直接开平方法求解即可； （2），，，用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ，； （2）解：，，， ， ， ，． 6．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）利用配方法即可解答． （2）把方程转化为一般形式，运用公式法求解即可． 【详解】（1）解： ． ， 解得，． （2）解： ∴ 即，． 7．选用适当方法求下列方程的精确解． (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用求根公式法解，，，，则，然后代入公式计算即可； （2）方程两边开方，化为两个一元一次方程． 【详解】（1）解：（1），，， ， ， ，； （2）方程两边开方，得， 即或， 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程，，，为常数）的解法．可以直接利用它的求根公式求解，它的求根公式为：；用求根公式求解时，先要把方程化为一般式，确定，，的值，计算出△，然后代入公式．也考查了用直接开平方法解一元二次方程． 8．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）先去括号，再把含未知数的项移到方程左边，然后利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 整理后得：， 配方得：， 开方得：或， 所以，； （2）解：， ，，， ， ， 即，． 9．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的方法是关键； （1）先计算，再利用求根公式解方程即可； （2）把方程化为可得，再利用直接开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 10．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）把看作整体，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： 或 ，． 11．用适当的方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）两边除以2，开平方法解答； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， 两边除以2，得， 开平方，得， ∴． （2）解：∵， 分解因式，得， ∴， ∴． 12．解一元二次方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据题目特点，选择适当的解法是解题的关键． （1）用因式分解法计算即可． （2）用因式分解法计算即可． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∴， 解得． （2）∵ ∴， ∴， 解得． 13．用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）用因式分解得到，则或，即可得到答案； （2）用公式法解方程即可； （3）变形为，再利用十字相乘法分解因式，再解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 因式分解得到，， ∴或， 解得； （2） ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 14．解方程∶ (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可； （3）因式分解法解方程即可； （4）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴； （2）， ， ∴或， ∴； （3）， ， ， ∴或， ∴，； （4）， ， ， ， ∴或， ∴，． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $