基本不等式常见题型 专项训练--2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

基本不等式 知识梳理 1. 基本不等式： （1） 基本不等式成立的条件： （2） 等号成立的条件：当且仅当时取等号。 （3） 其中称为正数的算术平均数，称为正数的几何平均数。 2. 常用不等式： （1） 重要不等式：，当且仅当时取等号。 （2） ，当且仅当时取等号，常用于求和的最小值。 （3） ，当且仅当时取等号，常用于求积的最大值。 （4） 熟悉一个重要的不等式链： 总结：①基本不等式重点就是体现一个“定”的思想，和定积最大，积定和最小，所以在学习中要感悟配凑技巧；②使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可。 拓展：若，当且仅当时取等号。 题型一：公式直接应用型 1. 已知，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 2.若，求的最小值.并求的值. 3．若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 题型二：配凑常数和配凑系数基本型 5．已知，当时，取得最小值为b，则（    ） A． B．2 C．3 D．8 6．已知，求的最大值． 7.已知，且，求的最小值. 8．求函数的最大值 9.已知为正实数，且求的最大值。 题型三：分离常数构造“对勾”型 10.已知，则函数的最小值为_______ ， 此时 ； 11. 函数的最小值是 ．. 题型四：“1”的代换型或“有和有积无常数型” 12 已知，且，求的最小值. 13.设为正数，且，求的最-小值； 14．设，，，则的最小值为 15．若，满足,则的最小值是（　　） A． B． C．5 D．6 16．已知实数，，且满足，则的最小值为 ． 17．已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 题型五：“有和有积有常数解不等式型” 18．若，，，则ab的取值范围是（    ） A． B．C． D． 19．已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型六 ：“有和有积有常数因式分解型” 20．非负实数满足，则的最小值为 . 题型七： 两次运用基本不等式 21．已知，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 22.若，则的最小值是______. 题型八：分离分子型 23．若，则的最小值为 . 题型九：反解代入消元型（化为单变量） 24．已知正实数满足，则的最大值为 ； . 题型十：齐次化 25．已知为正实数，则的最小值为 . 1.解【答案】B：∵∴，当且仅当即时等号成立. 2.解：∵∴.当且仅当(略) 3.【答案】D解析: ∵，∴，当且仅当，即时，取等号． 4.【答案】D【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号，所以当时，的最小值为8. 5.【答案】C【详解】因为，所以， 故，当且仅当，即时，等号成立， 故，. 6.【详解】∵，∴，∴， 当且仅当，即时等号成立，∴当时，取得最大值． 7.【详解】根据题意，且， 则， 当且仅当，时取等号，所以的最小值为． 8.【答案】1【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号，所以此函数最大值为1. 9.把系数化相等， 10.解: ∵ ，∴， 当且仅当，即时，取得最小值2． 11.解：令，则, 则 当且仅当,即时取等号.所以取得最小值4 12.解：， 当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， . 13.解：∵ ， 且 ∴ ， 当且仅当时等号成立，又0，即时，等号成立，故的最小值为; 14.【答案】【详解】因为，，， 故， 当且仅当，也即时取得等号. 15.解: 由,可得,即,∴. 则． 16.【答案】【详解】∵实数，，且满足， 则， 当且仅当，时取等号． 17.【答案】【详解】因为，所以，， 因为，所以， 由，所以. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 18.【答案】D【详解】因为，，由基本不等式可得， 即，解得或（舍去），即， 当且仅当，即时，等号成立，故ab的取值范围是． 19.【答案】A【详解】由，得，由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为3. 20.【答案】【详解】由题意，非负实数满足，可得， 又由， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 所以或，所以， 即时，的最小值为. 21.【解析】∵，∴， 当且仅当，即时，等号成立． 22.【解析】因为x>1，，当且仅当且，即时，等号成立.时，取得最小值. 故答案为： 23.【答案】【详解】因为，则， ， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 24.【答案】 【详解】， ， 当且仅当，即时等号成立，的最大值为， 25.【答案】4【详解】由题得， 设，则. 当且仅当时取等.所以的最小值为4. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $