2.1.2 等式性质与不等式性质 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦于不等式基本性质的发现与证明，以等式性质为起点，通过类比、猜想、验证和推广的逻辑链条构建知识体系，形成从已知到未知的学习支架。 本设计突出核心素养中的“抽象能力”“推理意识”和“应用意识”，如在问题3中引导学生从实数大小关系的基本事实出发，抽象出不等式的对称性和传递性，并用符号语言表达；在问题4中通过反例修正猜想，强化逻辑推理意识；在问题6中将加法性质类比为乘法性质，推导出常用不等式结论，体现数学建模与迁移应用的能力。这种层层递进、由浅入深的教学路径，既帮助学生理解不等式本质，又提升其数学思维品质，同时为教师提供可复制、可拓展的优质教学范式。

2.1.2 等式性质与不等式性质 教学目标 （1）梳理等式的基本性质，能从中归纳出数学思想和方法（自身的特性和运算的不变性）. （2）能类比等式基本性质的研究方法，猜想不等式的基本性质并能加以证明，体会等式基本性质与不 等式基本性质的共性与差异性. （3）能运用不等式的基本性质发现并证明一些不等式的常用性质，并能运用不等式的性质证明一些简单的命题. 教学重点与难点 教学重点：不等式基本性质的发现过程及性质的证明. 教学难点：证明不等式的基本性质，发现不等式的常用性质. 教学过程设计 环节一 创设情境，提出问题 问题1：上节课我们学习了利用等式和不等式描述现实问题中的相等关系和不等关系，掌握了两个实数大小关系的基本事实，并且知道与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质.那么，不等式到底有哪些性质呢？ 追问1：你认为可以怎样着手研究不等式的性质？ 环节二 抽象概念，内涵辨析 问题2: 你能说出等式的哪些性质？ 追问1:你能用自然语言依次描述以上四个性质吗？ 追问2: 这四条性质有什么共同特点？ 追问3: 刚才我们从运算的角度分析了等式的性质，等式还有其他性质吗？ 追问4: 根据前面的分析，你能归纳一下发现等式性质的方法吗？ (板书如下： 板书如下： 性质1 如果a=b，那么b=a； 性质2 如果a=b，b=c，那么a=c； 性质3 如果a=b，那么a士c=b士c； 性质4 如果a=b，那么ac =bc； 性质5 如果a=b，c≠0，那么 问题3: 等式的基本性质反映在“相等关系自身的特性”和“运算中的不变性”，不等式基本性质的研究我们也可以从这两个方面人手，你能类比“相等关系自身的特性“猜想出“不等关系自身的特性”吗？ 学生会想到以下猜想： （1）如果a>b,那么b<a； （2）如果a>b,b>c，那么a>c. 追问1：以上猜想正确吗？不妨先看猜想（1） 追问2：要证明“如果a>b,那么b<a”，其本质是比较两个数的大小，我们有什么工具和方法？ （让学生明白①两个实数大小关系的基本事实②正数的相反数是负数这个基本事实） 追问3：你能证明猜想（2）吗？ （有了（1）的证明，学生可以独立完成.） 问题4：你能以“运算中的不变性”为指导，猜想不等式的性质吗？ 根据加、减、乘、除四则运算学生可能会写出以下猜想： （1） 如果a>b,那么a+c<b+c； （2） 如果a>b,那么a-c<b-c； （3） 如果a>b,那么ac<bc； （4） 如果a>b,c≠0,那么； 追问1：你能证明猜想“如果a>b,那么a+c<b+c”吗？ 追问2：从不同的角度表达同一个内容，可以加深理解，你能用文字语言描述该性质吗？ （不等式两边同加一个数（式），不等式方向不变） 追问3：两个实数大小关系可以借助数轴上的点进行直观描述，那么你能利用数轴解释该性质吗？ 追问4： 猜想“如果a＞b，那么ac＞bc”正确吗？为什么？如果不正确，应该怎样修正？ （学生举反例，教师引导给出性质4的准确表达：如果a＞b,c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b,c<O，那么ac<bc.） 问题5： 通过类比学习我们获得了不等式的四条基本性质.请大家比较一下不等式的基本性质与等式的基本性质，谈谈它们之间的共性和差异？ （先让学生独立思考，再全班交流.教师总结：从不等式基本性质的结构特点和学习过程来看，两者的共同点都反映了“式自身的特性”和“运算申的不变性、规律性”；差异在于不等号有方向而等号没有方向，性质1表明了等式的对称性、不等式的相反性，性质4表明乘法运算中不等式乘同一个数要分类讨论，而等式不需要分类讨论，这些都由实数的基本性质所决定.） 问题6：利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质.如：在不等式性质3 中，不等式两边所加的数是相等的.如果两边分别加上不相等的两个数，你能得出什么结论？ 追问： 由于两边所加的两个数的大小没确定，导致最后不等号也无法确定.如：在a＞b的两边分别 加上c和d，怎样才能使a+c与b+d 的大小关系确定？ (引出不等式的常用性质5：如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d.) 问题7: 类比性质5的发现过程和思考方法，你能对性质4进行变形，得出新的结论吗？ 追问1:就是把刚才的加法类比成乘法，即在a＞b的两边分别乘以c和d，怎样才能使ac与bd 大小关系确定？ 追问2: 将性质6特殊化，即“a=c＞0,b=d＞0”，你会获得什么结论？ （学生很容易获得：如果a＞b＞0.那么a2＞b2 ） 追问3： 将该结论进行推广，你又会获得什么结论？ （学生很容易获得：如果a＞b＞0.那么an＞bn ） 追问4: 刚才这些常用性质的发现方法对你有什么启发？ （教师进行总结：其本质就是“运算中的不变性、规律性”，当然我们可以通过类 比、猜想、变式、替换、推广等方法获得新不等式，但要经过证明确保其正确性。） 环节三 例题练习，巩固理解 例2 已知a>b>0,c<0，求证： 环节四 小结提升，形成结构 问题8 回顾本单元的学习过程，回答下列问题： （1）我们是如何归纳出等式基本性质所蕴含的数学思想方法的？ （2）不等式的基本性质要研究的问题是什么？我们是如何发现这些性质的？ （3） 在不等式性质的证明过程中需要注意哪些问题？ （4） 谈谈利用不等式性质证明一些简单不等式的思路. 环节五 目标检测，检验效果 1. 用不等号“＞”或“＜”填空. （1）如果a＞b,c＜d，那么a-c b-d； （2）如果a>b>0, c<d<0，那么ac bd ; （3）如果a＞b＞0，那么 ； （4）如果a＞b＞c＞0，那么 2.已知a＞b＞0,c<d<O,e<0，求证： 环节六 布置作业，应用迁移 作业1：教材第42~43页习题2.1第5、6、8、9、11题. 作业2：教材第58页复习参考题2第8题. 学科网（北京）股份有限公司 $