精品解析：河南省南阳市宛城区等2地2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学开学考试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 预祝你们考试成功！ 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 2. 函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 0或1个 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念即可判断. 【详解】解析：当x＝1在函数f(x)的定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1有一个公共点(1，f(1))；当x＝1不在定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1没有公共点． 故选：C. 3. 向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合向量平行的坐标表示，根据“”与“”的相互推出情况判断出属于何种条件即可. 【详解】先讨论充分性，当时，，，此时，，，充分性成立； 再讨论必要性，当时，，即， ，解得或，必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 若直线与直线垂直，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线垂直的等价条件列方程即可求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得：， 故选：B. 5. 已知角的终边在直线上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由三角函数的定义求出，把利用诱导公式化简后直接得到答案. 【详解】因为角的终边在直线上，所以，所以 . 故选：C 6. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有，，，， 设，则，且，， ， 因，当时，，当时，， 故． 故选：D． 7. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系，结合线面垂直的性质，逐项分析判断即可． 【详解】对于①，且成立，可能平行，异面或者相交，①错误； 对于②，由且，得，又，则，②正确； 对于③，由，得存在过直线与平面相交的平面，令交线为，则， 而，于是，，③正确； 对于④，若，，可能平行，也可能相交，④错误. 故选：B 8. 若满足，的有两个，则边长的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以 , 因此 ，选D. 点睛：判断三角形解个数的两种方法 ①代数法：根据大边对大角性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的众数<平均数<中位数 C. 图（2）众数<中位数<平均数 D. 图（3）的中位数平均数众数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】图（1）的分布直方图是对称的，平均数中位数众数，A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，D错误. 故选：AC 10. 小荣爱好篮球，他记录了在7月份的10次训练成绩和8月份的20次训练成绩.通过计算，他发现7月份的训练成绩的平均值为94，方差为2.3；8月份的训练成绩的平均值为97，方差为1.1.下列说法正确的是（ ） A. 小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为96 B. 小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为95.5 C. 小荣这两个月的30次训练成绩的方差为2.5 D. 小荣这两个月的30次训练成绩的方差为3.5 【答案】AD 【解析】 【分析】根据分层抽样的平均数公式及方差公式计算判断. 【详解】由题意可得小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为， 则他这两个月的30次训练成绩的方差为. 故选：AD 11. 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的图象的对称轴方程为 B. 的图象的对称中心坐标为 C. 的单调递增区间为 D. 的单调递减区间为 【答案】AC 【解析】 分析】 首先根据图象平移求函数的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间. 【详解】的图象上所有点向左平移个单位长度，得到，再向上平移4个单位长度后得到， A. 令，解得，函数的对称轴是，故A正确； B.令，解得：，所以函数的对称中心，故B不正确； C.令，解得：，所以函数的单调递增区间是，故C正确； D.令，解得：，所以函数单调递减区间是，，故D不正确. 故选：AC 【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得圆锥的底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】设圆锥的底面半径为r， 由题意可得：，解得， 所以圆锥的表面积为． 故答案为：. 13. 已知函数，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域求解. 【详解】因为, 所以， 故答案为： 【点睛】本题主要考查分段函数求值，属于基础题.. 14. 已知都是锐角，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式先求出，再求出，从而可求出的值. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． （1）求的值； （2）求证：在R上为增函数； 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数. 【小问1详解】 由， 故此令，则， 则. 【小问2详解】 设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以， 故，即， 故此函数为R上增函数. 16. 已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围． 【答案】 【解析】 【详解】①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时 或 解得1≤a≤5或a=（舍） ②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时 解得a5或a<（舍） 综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为[1, +∞) 17. 如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点. （Ⅰ）求证：平面平面 （Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明祥见解析；（Ⅱ）． 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可以建立空间直角坐标系来解答.以点为坐标原点，求出向量 的坐标，根据数量积得出，故 平面，于是平面平面. 求出平面的法向量，计算与的夹角，则直线 与平面所成角的正弦值等于 . 试题解析：（Ⅰ）以点为坐标原点，以直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，. ∴，，， ∴，， ∴，， 又，平面，平面， ∴平面，∵平面， ∴平面平面 （Ⅱ），， 设是平面的一个法向量，则， ∴， 令，则，，即， ∴，，， ∴. ∴直线与平面所成角的正弦值为. 点睛：立体几何是高中数学的重要内容之一,也历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与平面的垂直性质及线面角的求解.解答时第一问充分借助已知条件建立直角坐标系，借助于数量积证明线线垂直，进而得到线面垂直，故面面垂直；.关于第二问中的直线与平面所成角的问题,解答时巧妙运用建构空间直角坐标系,将直线和平面所成角的正弦转化为直线与法向量的余弦即可. 18. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，其中，求的值. 【答案】（1）单调递增区间为；（2）. 【解析】 【分析】 （1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，再利用同角三角函数的基本关系求出，则利用两角差的余弦公式计算可得； 【详解】解：（1）因为 所以. 令，得函数的单调递增区间为. （2）若，则，因为，所以，所以. . 【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可． (2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 19. 已知四棱锥的底面为边长为1的正方形，平面. （1）求证：平面； （2）若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值； （3）若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明. （2）先把直线与直线所成的角转化为直线与直线所成的角，即为或其补角，再利用直角三角形的边角关系求解. （3）将四棱柱补成正四棱柱，利用线面角的概念明确直线与平面所成的角，再利用直角三角形的边角关系求的长. 【小问1详解】 在四棱锥中，连接，，由平面， 平面，得，由正方形，得， 而，，平面，所以平面. 【小问2详解】 由正方形，得，而平面， 平面，则平面，又平面， 平面平面，因此. 直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角，即为或其补角. 由平面，平面，得，而, ，，平面，则平面. 又平面，因此，， 则，，， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【小问3详解】 在四棱锥中，平面，四边形是正方形， 将四棱锥补形为正四棱柱，平面即平面， 在平面内过作于，连接， 由平面，得，而，，平面， 则平面，是直线与平面所成的角. 取中点，连接，，由是的中点，则， 平面，而平面，则. 设，则EG＝，DG＝， 则DE＝，而DF＝， 由直线与平面所成角的正弦值为， ， 整理得，解得或，所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学开学考试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 预祝你们考试成功！ 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 0或1个 D. 无数个 3. 向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若直线与直线垂直，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 5. 已知角的终边在直线上，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则 ④若，，则 其中正确命题的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 8. 若满足，的有两个，则边长的取值范围为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的众数<平均数<中位数 C. 图（2）的众数<中位数<平均数 D. 图（3）的中位数平均数众数 10. 小荣爱好篮球，他记录了在7月份的10次训练成绩和8月份的20次训练成绩.通过计算，他发现7月份的训练成绩的平均值为94，方差为2.3；8月份的训练成绩的平均值为97，方差为1.1.下列说法正确的是（ ） A. 小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为96 B. 小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为95.5 C. 小荣这两个月30次训练成绩的方差为2.5 D. 小荣这两个月30次训练成绩的方差为3.5 11. 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 的图象的对称轴方程为 B. 图象的对称中心坐标为 C. 的单调递增区间为 D. 的单调递减区间为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为___________． 13. 已知函数，则__________ 14. 已知都是锐角，且，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． （1）求的值； （2）求证：在R上为增函数； 16. 已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围． 17. 如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点. （Ⅰ）求证：平面平面 （Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值. 18. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，其中，求的值. 19. 已知四棱锥的底面为边长为1的正方形，平面. （1）求证：平面； （2）若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值； （3）若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $