精品解析：北京市2023-2024学年高一下学期开学考试数学试题B卷

2023年全市高一年级监测考试 数 学 试 卷 考 生 须 知 1．本试卷共5页，共两部分，21道小题，满分150分.考试时间120分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号. 3．试题答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交的定义即可求解. 【详解】由于，，且，故， 故选：C 2. 函数最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式即可得出答案. 【详解】解：由函数， 则最小正周期. 故选：B. 3. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性找出的等价条件为，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件. 【详解】余弦函数在区间上单调递减，且，， 由，可得，，由正弦定理可得. 因此，“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题. 4. 已知向量满足，，，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的数量积公式求出夹角的余弦值，结合向量夹角的范围，进而得到的夹角. 【详解】由可得， 且，则向量的夹角为. 故选：D. 5. 已知m ， n为异面直线，，直线l满足（α，β均为平面）则（ ） A. ，且 B. ，且 C. α与β相交，且交线垂直于l D. α与β相交，且交线平行于l 【答案】D 【解析】 【分析】由线面位置关系推理即可求解. 【详解】由平面，直线满足，且，所以， 又平面，，所以， 由直线为异面直线，且平面平面，则与相交， 否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于 故选：D． 6. 函数f(x) =A sinx(A>0)的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A= A 3 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】 由题意函数，周期 由图像可知 连接 过作轴的垂线，可得： 由题意， 是直角三角形， 解得： . 故选B 7. 记时钟的时针、分针分别为、（为两针的旋转中心）．从12点整开始计时，经过分钟，的值第一次达到最小时，那么的值是（ ） A. 30 B. 31 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设的夹角为，，可得时，，进而计算可求得的值. 【详解】设的夹角为，，则， 当，即时，， 又时针一分钟旋转的角度为， 分针一分钟旋转的角度为， 又经过分钟，夹角第一次达到，则， 解得，所以经过分钟，的值第一次达到最小. 故选：C. 8. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（ ） A. BD1∥GH B. BD∥EF C. 平面EFGH∥平面ABCD D. 平面EFGH∥平面A1BCD1 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可． 【详解】易知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故选项A错误； 易知EF∥A1B，与选项A同理，可判断选项B错误； 因为EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，所以平面EFGH与平面ABCD相交，选项C错误； 对于，平面平面，理由是： 由，，，分别是棱，，，的中点， 得出，， 所以平面，平面， 又，所以平面平面． 故选：． 9. 如图，在△ABC中，点D在线段BC上，BD＝2DC，如果，那么（ ） A. x，y B. x，y C. x，y D. x，y 【答案】A 【解析】 【分析】利用，将表示出来，再运用平面向量的线性运算即可求解 【详解】解：∵BD＝2DC， ∴； ∵， ∴； ∴，． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面向量的数乘与线性运算，考查学生的分析能力，计算能力；属于基础题． 10. 已知在直角三角形中，为直角，，，若是边上高，点在内部或边界上运动，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形几何特征分析向量数量积的最大值和最小值可能取得的条件，结合函数关系求值域. 【详解】 如图：在直角三角形中，为直角，，，所以， 建立直角坐标系如图所示：，直线的方程为：， 所以直线的方程：，所以， 点在内部或边界上运动，与夹角大于等于90° 由图可得：与夹角大于等于， 点在线段上时，，且为最大值， 点在线段上时，有最小值，设点， . 综上所述：的取值范围是. 故选：D 【点睛】此题考查求向量数量积的取值范围，关键在于根据题意找准点所在位置，结合几何特征以及函数求解，体现数形结合的思想. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，由正弦型函数值域可求得结果. 【详解】，当时，. 故答案为：. 12. 设向量，，若，则实数________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的向量表示可直接构造方程求得结果. 【详解】，， 即，解得：. 故答案为：. 13. 已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】分析式子特点可知，当时，函数应该取到最值，将代入再结合辅助角公式可先求得，结合分析可知，两点关于对称中心对称，求出的通式，即可求解 【详解】，由题可知 ，化简可得，则 ，且函数在上具有单调性，关于对称中心对称，故有，解得，当时，的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查由三角函数图像性质求参数，三角函数对称轴与对称中心的应用，属于中档题 14. 如图，扇形中，半径为1，的长为2，则所对的圆心角的大小为_____ 弧度；若点是上的一个动点，则当取得最大值时，_____. 【答案】 ①. 2 ②. 0 【解析】 【分析】由弧长公式得：，可求圆心角的大小，由三角函数定义可建立以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴的直角坐标系，易得：，，，结合两角和差的正弦公式则，进而即可得解. 【详解】由弧长公式得：， 即所对的圆心角的大小为2弧度， 由三角函数定义可建立以点O为坐标原点，OA所在直线为x轴的直角坐标系，易得：，， 设，则， 则， 又，所以， 当即时，取得最大值， 故答案为2，0． 【点睛】 本题考查了弧长公式及三角函数的定义及二倍角公式，两角和差的正弦公式，属中档题． 15. 在中，内角所对的边长分别是，已知，． （1）若的面积，则=_______，=_______； （2）若有且仅有一解，则a的取值范围是_______． 【答案】 ①. 2 ②. 2 ③. 或， 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及面积公式即可求解， （2）根据正弦定理即可列式求解. 【详解】（1）根据余弦定理， 根据面积公式可得，故， 联立解得， （2）若有且仅有一解，则或， 故或， 故答案为：2,2，或， 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F． 求证：； 若，且平面平面ABCD，求证：平面PCD． 【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）证明：AB∥平面PCD，即可证明AB∥EF； （2）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD. 【详解】（1）证明：底面ABCD是正方形， AB∥CD , 又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD， AB∥平面PCD , 又A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF， AB∥EF ; （2）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD , 又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD,CD⊄平面PAD CD⊥平面PAD , 又AF⊂平面PAD , CD⊥AF , 由（1）可知，AB∥EF， 又AB∥CD，C,D,E,F 在同一平面内， CD∥EF , 点E是棱PC中点， 点F是棱PD中点 , 在△PAD中，PA=AD， AF⊥PD , 又PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD, AF⊥平面PCD． 【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和线面垂直的证明，属于基础题. 17. 已知函数． （1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； （2）求在区间上最大值和最小值； （3）写出的单调递增区间． 【答案】（1）见解析 （2）最大值为1，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用列表、描点、连线法画出在一个周期上的图象； （2）利用正弦函数的性质求出在上的最大、最小值； （3）根据正弦函数的性质结合整体思想即可得出答案． 【小问1详解】 解：列表如下： 作出函数图象如图所示： 【小问2详解】 解：因为，所以， 当，即时， 最大值等于1，即的最大值等于1， 当，即时， 最小值等于，即的最小值等于.； 所以在区间上的最大值为1，最小值为； 【小问3详解】 解：令，得， 所以函数的单调递增区间为. 18. 在△ABC中，． （1）求B的值； （2）给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题： （i）求的值； （ii）求∠ABC的角平分线BD的长． 【答案】（1） （2）正确条件为①③，（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）利用和角正弦公式可得，结合三角形内角和性质即可求B的值； （2）根据条件组合判断出正确条件为①③，（i）应用余弦定理、三角形面积公式求各边长，最后由正弦定理求； （ii）由角平分线性质求得，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据正弦定理求BD的长． 【小问1详解】 由题设， 而， 所以，故； 【小问2详解】 若①②正确，则，得或， 所以①②有一个错误条件，则③是正确条件， 若②③正确，则，可得，即②为错误条件， 综上，正确条件为①③， （i）由，则，即， 又，可得， 所以，可得，则， 故； （ii）因为且，得， 由平分得， 在中，， 在中，由，得． 19. 设函数（是常数，）．若在区间上具有单调性，且， （1）直接写出的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）已知，求函数在上的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知结合作出图象分析可得的对称中心和对称轴，然后列方程可解； （2）利用正弦函数的单调递减区间解不等式即可； （3）化简后，通过换元转化为二次函数问题求解可得. 【小问1详解】 因为在区间上具有单调性，且 如图，所以关于对称，且， 所以，即，，解得， 又，所以， 因为，所以 所以 【小问2详解】 由，得 所以函数的单调递减区间为 【小问3详解】 由（1）知， 因为，所以， 令 所以的值域为 20. 如图，在四边形中，，，，且. （Ⅰ）用表示； （Ⅱ）点在线段上，且，求的值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】Ⅰ直接利用向量的线性运算即可． Ⅱ以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系可得代入各值即可． 【详解】（Ⅰ）因为 ， 所以 .因为 ， 所以 （Ⅱ）因为 ， 所以 .因为 ， 所以点共线. 因为， 所以. 以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 因为 ，，， 所以 . 所以 ，. 因为 点在线段上，且， 所以 所以 . 因为 ， 所以 . 【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量夹角的计算，属于中档题． 21. 已知集合的元素个数为个且元素为正整数，将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，即，，，，其中，，，若集合中的元素满足，，，则称集合为“完美集合”． （1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）根据完美集合的定义可得中的最大元素就是，再根据三个集合的和的关系得到中各元素的和为，它是中去掉某个元素后余下4个元素的和，分类讨论后可得的值. 【详解】（1）对于集合，取， 满足，，，，且， 所以集合为“完美集合”， 若为“完美集合”，则存在，使得，，，， 设中各元素的和为，中各元素的和为，中各元素的和为， 则有且， 所以，它不是整数，矛盾，故不是“完美集合”. （2）因为为“完美集合”，由（1）可知，根据定义可知为中的最大元素，故， 又中各元素的和为，所以的另一个元素为， 它是中的某个数， 因为中各元素之和为，它必是中去掉某个元素后余下4个元素的和，共有5种情形：，对应的的值. 当时，，，满足； 当时，，，满足； 当时，，，满足； 当或 时，或，余下任何两个元素的和不超过 ，故不满足定义要求， 综上,. 【点睛】这个题目考查了集合的新概念型问题，关键是读懂题意，找到完美集合的三个无公共元素的子集的诸元素之和的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年全市高一年级监测考试 数 学 试 卷 考 生 须 知 1．本试卷共5页，共两部分，21道小题，满分150分.考试时间120分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号. 3．试题答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 2. 函数的最小正周期是（ ） A B. C. D. 3. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量满足，，，则向量的夹角为（ ） A B. C. D. 5. 已知m ， n为异面直线，，直线l满足（α，β均为平面）则（ ） A. ，且 B. ，且 C. α与β相交，且交线垂直于l D. α与β相交，且交线平行于l 6. 函数f(x) =A sinx(A>0)的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A= A. 3 B. C D. 1 7. 记时钟的时针、分针分别为、（为两针的旋转中心）．从12点整开始计时，经过分钟，的值第一次达到最小时，那么的值是（ ） A. 30 B. 31 C. D. 8. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（ ） A. BD1∥GH B. BD∥EF C. 平面EFGH∥平面ABCD D. 平面EFGH∥平面A1BCD1 9. 如图，在△ABC中，点D在线段BC上，BD＝2DC，如果，那么（ ） A. x，y B. x，y C. x，y D. x，y 10. 已知在直角三角形中，为直角，，，若是边上的高，点在内部或边界上运动，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的最大值为__________. 12. 设向量，，若，则实数________. 13. 已知函数一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为______. 14. 如图，扇形中，半径为1，的长为2，则所对的圆心角的大小为_____ 弧度；若点是上的一个动点，则当取得最大值时，_____. 15. 在中，内角所对的边长分别是，已知，． （1）若的面积，则=_______，=_______； （2）若有且仅有一解，则a的取值范围是_______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F． 求证：； 若，且平面平面ABCD，求证：平面PCD． 17. 已知函数． （1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）写出的单调递增区间． 18. 在△ABC中，． （1）求B的值； （2）给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确条件并回答下面问题： （i）求的值； （ii）求∠ABC的角平分线BD的长． 19. 设函数（是常数，）．若在区间上具有单调性，且， （1）直接写出的解析式； （2）求的单调递减区间； （3）已知，求函数在上的值域． 20. 如图，在四边形中，，，，且. （Ⅰ）用表示； （Ⅱ）点在线段上，且，求的值. 21. 已知集合的元素个数为个且元素为正整数，将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，即，，，，其中，，，若集合中的元素满足，，，则称集合为“完美集合”． （1）若集合，，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由； （2）已知集合为“完美集合”，求正整数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $