13.2.2 角平分线的性质与判定 讲义 .2025-2026学年人教版 八年级上册数学

本讲义系统梳理角平分线的核心知识点，从尺规作图入手，衔接性质（角平分线上点到两边距离相等）与判定（角内部到两边距离相等的点在角平分线上），延伸至三角形内心（三内角平分线交点，到三边距离相等），构建完整知识支架。 资料通过多样化重难点突破（如尺规作图应用、性质判定的最值/线段长/面积问题、对称型全等与面积法），培养几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）与应用意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后例题与提升题助力学生巩固，弥补知识盲点。

角平分线的性质与判定 知识点1 角平分线的尺规作图 已知： 求作：的平分线 作法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点; （3）画射线，射线即为所求. (利用全等三角形可证明) 知识点2 角平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 如下图，若、分别是角的平分线上一点到角两边、的距离，则。 (利用全等三角形可证明) 知识点3 角平分线的判定 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上. 如下图，若、分别是点到角两边、的距离，且， 则点在角的平分线上。 (利用全等三角形可证明) 4 三角形的内心 三角形的三个内角平分线会相交于一点，该点为三角形的内心(到三角形三边距离相等)，即三角形内切圆的圆心. 如下图，、分别是角平分线，则由角平分线的性质可得，则由角平分线的判定可得点也在的平分线上. 点称为三角形的内心，到三角形的三边距离相等. 重难点突破1与角平分线有关的尺规作图 1. 如图所示,在△ABC 中,按下列步骤作图： 第一步:在 AB,AC 上分别截取 AD,AE,使AD=AE; 第二步：分别以点 D 和点 E 为圆心、适当长(大于 DE 的一半)为半径作圆弧，两弧交于点 F； 第三步:作射线 AF 交 BC 于点M; 第四步:过点M 作 MN⊥AB 于点 N. 则下列结论一定成立的是( ) A. CM=MN B. AC=AN C.∠CAM=∠BAM D.∠CMA=∠NMA 2. 如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得. (保留作图痕迹，不写作法) 2. 在中， ， 点在的延长线上,的平分线交于点 . 的平分线与射线交于点。 (1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线； (2)求的度数. 重难点突破2 角平分线(一)性质与判定 类型一 知角平分线，求最值 3. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,以顶点λ 为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB 于点M,N,再分别以点 M,N 为圆心,大于 的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP 交边 BC 于点D,点 E 在AB 上. CD=3,则 DE 的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.6 4. 如图，在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 类型二 知角平分线，求线段长 5. 如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∠ABC 的角平分线交AC 于点D,DE⊥BC 于点E,若△ABC 与△CDE 的周长分别为24和12,则AB 的长为( ) A.10 B.16 C.8 D.6 6. 如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的外角平分线 BP,CP 交于点P,PE⊥AC交AC 的延长线于点 E.若△ABC的面积为 10,△BPC 的面积为7,PE =4,则△ABC的周长为 ( ) A.8 B.10 C.11 D.12 类型三 知角平分线，求面积 7. 如图,已知△ABC的周长是20,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=3,则△ABC的面积是 ( ) A.20 B.25 C.30 D.35 8. 如图,在△ABC 中,AB=2AC,AD 平分∠BAC,延长 AD 至点 E,使 DE=AD,连接BE.若 则△ABC 的面积为( ) A.12 B.16 C.18 D.20 9. 如图,在 Rt△ABC中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于点D,E 为AB 的中点,连接 DE.若AB=24,CD=6,则△DBE 的面积为 . 类型四 知线段关系，证角平分线 10. 如图,∠ABC=∠DBE=90°,BE=BC,AC=ED,DE,AC交于点F. (1)求证:AB=DB; (2)求证:BF 平分∠DFC. 类型五 知角平分线，证角平分线 11. 如图,△ABC的外角∠DAC 和∠ACE 的平分线相交于点 P,连接BP. (1)求证:BP 平分∠ABC; (2)若AC=5,△APC 的面积是10,△ABC 的面积是15,求△ABC 的周长. 重难点突破 3 角平分线(二)对称型全等 类型一 作垂构对称全等 12. 在四边形 ABCD 中,AC 平分∠DAB,CE⊥AB 于点E,BC=CD.求证:AB+AD=2AE. 类型二 截长补短构对称全等 13. 如图,在四边形ABCD 中, 的平分线交AB 于点E,BE=AD,连接 DE.若 BC-CD=1,求 AE 的长. C 14. 如图,AD 是△ABC 的角平分线,E 是AD 上一点, 在AB 边上取点F,使AF=AC. (1)求证: (2)求证:BE 平分∠ABC. 重难点突破 4 角平分线(五)面积法 类型一 求线段长 15. 如图,在△ABC 中, ，点I为△ABC各内角平分线的交点，过点I作AC的垂线,垂足为H,若BC=3,AB=4,AC=5,则IH 的长为( ) A.1 B. C.2 D. 16. 如图,AD 为 的角平分线,且AB:AC=3:2,BC=10,则BD 的长为( ) A.7.5 B.5 C.7.2 D.6 17. 如图,在△ABC 中,E为AC 的中点,AD 平分∠BAC,BA :CA=2:3,AD 与BE 相交于点O,若△OAE 的面积比△BOD 的面积大1,则△ABC 的面积是 . 类型二 求线段比 18. 如图,在△ABC 中, 的平分线AD 交 BC 于点D,E 为 AD的中点.连接BE,F 为BE上一点,且 BF=2EF.若 则 的值为 . 19. 如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB+∠ABC=90°,对角线 AC,BD 相交于点O,且分别平分∠DAB 和∠ABC,若BO=4OD,则 的值为( ) 重难点突破 5 角平分线与平面直角坐标系 20. 如图,在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，适当长为半径作弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN 的长为半径作弧，两弧在第一象限交于点H，作射线OH，若H(2a-1,a+1),则a= . 21. 在平面直角坐标系的x轴，y轴上分别截取OA=OB，再分别以点A，B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，两弧交于点 P，若点 P 的坐标为(a,2),则a的值是 . 重难点突破 6角平分线综合解答题 22. 【问题探究】 (1)如图1 是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA和OB上分别取点C和D，使得OC=OD,连接CD,以CD为边作等边三角形 CDE,则OE 就是 的平分线.则证明OE平分∠AOB 的依据是 ( ) A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【类比迁移】 (2)小明根据以上信息研究发现： 不一定必须是等边三角形，只需CE=DE 即可.他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角.做法如下：如图2，在∠AOB 的边OA，OB 上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB 的平分线，请说明此做法的理由. 【拓展实践】 (3)小明将研究应用于实践.如图3，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路(两条小路一样亮)，并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等.试问路灯应该安装在哪个位置?请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图4中作出路灯 E的位置.(保留作图痕迹，不写作法) 23. 已知∠MAN,AP平分 ,定点 C 在射线 AP 上,∠DCB 与射线AN交于点 B，与直线 AM 交于点 D，且 【探究】(1)如图1,当点 D 在射线 AM 上,且CB⊥AN时,判断 CD 与 CB 的数量关系,并说明理由. (2)如图2,当点 D 在射线 AM 上,且 CB 与AN不垂直时，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 【拓展】(3)如图3,当点 D 在射线 AM 的反向延长线上时，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，你又能得出什么结论?请说明理由。 24. 在△ABC中,BD 平分∠ABC交AC 于点 D. (1)如图(1),若 AB=8,BC=10,求S△ABD :S△CBD; (2)如图(2),点 P 为 BD 延长线上的一点,PG⊥AC 于点 G,当∠A=∠C+40°时,求∠P 的度数； (3)如图(3),CM 平分△ACB 的外角交 BD 的延长线于点 M，连接AM，点 N 是 BC 延长线上的一点且 MA=MN,请探究∠MNB 与∠BMC之间是否存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明. 学科网（北京）股份有限公司 课后提升 1. 如图,在△ABC中,AB=5,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AC,垂足为 E,△ABD 的面积为5,则DE的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.5 2. 如图,在△ABC 中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,点E在 BC的延长线上,∠ABC的平分线 BD 与∠ACE 的平分线 CD相交于点D,连接AD,则∠CAD 度数为 ( ) A.35° B.45° C.55° D.65° 3. 如图,AB∥CD,BP 和 CP 分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点 P,且与AB 垂直.若AD=8,则点P到B的距离是( ) A.8 B.6 C.4 D.2 4. 如图,OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC上任意一点，PD⊥OA于点D,PE⊥OB 于点E.给出下列条件:①∠AOC =∠BOC;②PD = PE;③OD = OE;④∠DPO =∠EPO.其中能判定 OC 是∠AOB 的平分线的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5. 如图，点 P 是∠AOB 的平分线 OC上一点,PN⊥OB于点N,点M是线段 ON 上 一点.已知OM=3,ON=5,点 D 为 OA 上一点,若满足PD=PM,则OD的长度为 . 6. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=90°,DE⊥AB 于点E,点F在AC上,BD=DF. (1)求证:CF=EB. (2)若AB=12,AF=8,求CF 的长. 7. 在△ABC中,AE,BF是角平分线，交于O点. (1)如图(1),AD是高,∠BAC=50°,∠C=70°,求∠DAC 和∠BOA 的度数. (2)如图(2),若OE=OF,AC≠BC,求∠C 的度数. (3)如图(3),若∠C=90°,BC=8,AC=6,AB=10,求S△AOB· 1 学科网（北京）股份有限公司 $