第一章三角形——等边三角形与直角三角形阶段同步检测卷2025-2026学年苏科版（2024）八年级数学上册

1.5等边三角形与直角三角形 建议用时：35 分钟 满分：50分 考点一 等边三角形的性质 1.(3分) 如图，△ABC 是等边三角形，D是线段BC上一点(不与B，C 两点重合)，连接AD，E，F 两点分别在线段AB，AC 的延长线上,且DE=DF=AD,点 D 从点B 运动到点C 的过程中,△CDF 周长的变化规律是 ( ) A.不变 B.一直变小 C.先变大，后变小 D.先变小，后变大 2.(3分)如图,在等边三角形 ABC 中,点 D 在边 AB 上,点 E 在边 AC 上,将△ADE 折叠,使点 A 落在边 BC上的点 F 处,则∠BDF+∠CEF= . 考点二 等边三角形的判定 3.(3分)如图,C,D 两点在线段AB 的同侧,AC=4,AB=12,BD=9,M是AB 的中点.若∠CMD=120°，则CD 的长的最大值为 ( ) A. 16 B. 19 C. 20 D. 21 4.(3分)如图,六边形ABCDEF 的六个角的度数都是120°,边长AB=1 cm,BC=3cm,CD=3cm,DE=2cm,则这个六边形的周长是 cm. 5.(14分) (1)如图①,∠EOF=120°,OM平分∠EOF,A 是OM上一点,∠BAC=60°,且与OF,OE 分别交于B,C 两点.求证:AB=AC; (2)如图②，在(1)的条件下，当∠BAC 绕点A 按逆时针方向旋转使得点B 落在OF 的反向延长线上时，(1)中的结论是否还成立?若成立，给出证明；若不成立，说明理由； (3) 如图③,∠AOC=∠BOC=∠BAC=60°. ① 求证:△ABC 是等边三角形; ②求证:OC=OA+OB. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 考点三 含 30°角的直角三角形性质 6.(3分) 如图,∠AOB=150°OP 平分∠AOB,PD⊥OB 于点D,PC∥OB 交OA 于点C.若 PD=3,则OC 的长为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7.(3分)如图,P 为△ABC 边 BC 上一点,且 PC=2PB.若∠ABC=45°,∠APC=60°,则∠ACB 的度数是 ( ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 80° 考点四 直角三角形斜边上的中线的性质 8.(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,D,E 两点分别在边AC,BC上运动,且DE=4.若M,N 分别是DE,AB 的中点,则MN 的长的最小值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 9.(3分)如图,在△ABC 中,∠B=50°,CD⊥AB 于点D,∠BCD 和∠BDC 的平分线相交于点E,F 为边AC 的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED 的度数和为 . 10.(12分)如图①,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D 为边AC上一点,DE⊥AB 于点E,连接BD,M为BD 的中点,连接CM 并延长,交AB 于点F,连接EM. (1)求证:CM=EM; (2) 若∠A=50°,则∠EMF 的度数为 ; (3) 如图②,若△DAE≌△CEM,N 为CM的中点,连接AN.求证:AN∥EM. 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1. D 2. 120° 3. B解析：如图，作点 A 关于直线CM 的对称点A',作点 B 关于直线 DM 的对称点 B',连接A'M,A'C,A'B',B'D,B'M,则 A'M=AM,B'M=BM,A'C=AC,B'D=BD,∠A'MC=∠AMC,∠B'MD =∠BMD.因为∠CMD =120°,∠AMC+∠CMD+∠BMD=180°,所以 .所以∠A'MC+∠B'MD=60°. 所以. 因为 M为AB 的中点,AB=12,所以 AM= BM= 即A'M=B'M=6..所以△A'MB'为等边三角形，即.A'B'=A'M=6.. 又 AC=4,BD=9,所以A'C=4,B'D=9.所以CD≤A'C+A'B'+B'D=19,，即CD 的长的最大值为19. 4. 15 解析:分别向两端延长AF,BC,DE,它们相交于 P,Q,M 三点.因为六边形ABCDEF 的六个角的度数都是 120°,所以∠BAF=∠AFE=∠FED=∠EDC=∠DCB=∠CBA=120°. 又∠BAF+∠BAP=180°,∠ABP+∠CBA=120°,所以∠BAP=∠ABP=60°.又∠P+∠BAP=∠CBA,所以∠P=60°.所以△ABP 是等边三角形.同理,得△EFM、△CDQ 和△PQM 都是等边三角形.所以AP=BP=AB,EM=FM=EF,CQ=DQ=CD,PQ=PM=MQ.又AB=1 cm,BC=CD=3cm,DE=2cm,所以AP=BP=1cm,CQ=DQ=3c m,即 PM=QM=PQ=PB+BC+CQ=7 cm.所以EF=FM=EM=QM-DQ-DE=2cm,即AF=PM-AP-FM=4cm.所以这个六边形的周长是AB+BC+CD+DE+EF+AF=15cm. 5.(1) 如图①,过点 A 分别作 AG⊥OF 于点G,AH⊥OE 于点 H,则∠AHO =∠AHC =∠AGB =∠AGO= 90°. 因为∠EOF = 120°,∠EOF+∠AGO+∠AHO+∠HAG=360°,所以∠HAG = 60°. 又 ∠BAC = 60°, 所以∠HAG - ∠BAH = ∠BAC - ∠BAH,即∠BAG=∠CAH.因为 OM 平分∠EOF,所以AG=AH.所以△BAG≌△CAH(ASA).所以AB=AC. (2)(1)中的结论还成立.证明如下：如图②，过点A 分别作 AG⊥OF 于点G,AH⊥OE 于点H,则∠AHC=∠AHO=∠AGB=∠AGO=90°.因为∠EOF = 120°,∠EOF +∠AGO+∠AHO+∠HAG=360°,所以∠HAG=60°.又∠BAC = 60°, 所以 ∠HAG - ∠BAH =∠BAC-∠BAH,即∠BAG=∠CAH.因为OM 平 分 ∠EOF, 所以 AG = AH. 所以△BAG≌△CAH(ASA).所以AB=AC. (3)①如图③,设F,M 两点分别在 BO,OA 的延长线上. 因为∠AOC =∠BOC =60°,所以 .所以∠FOA=∠AOC,即OM 平分∠COF.由(2),得AC=AB.又∠BAC=60°,所以△ABC 是等边三角形. ② 如图③,在 OC 上截取 ON = OB,连接BN.因为∠BOC=60°,所以△BON 是等边三角形,即 BN=OB,∠OBN=60°.由(3)①,得△ABC 是等边三角形,所以∠ABC=60°,BA=BC. 所 以 ∠OBN - ∠ABN = ∠ABC -∠ABN,即∠ABO=∠CBN.所以△AOB≌△CNB(SAS). 所以 OA = NC.因为 OC =ON+NC,所以OC=OA+OB. 6. D 7. C 8. B 9. 175° 10.(1) 因为 DE⊥AB,所以∠DEA=∠DEB=90°.因为M 为BD 的中点,所以EM=BM= 同理，得 所以CM=EM. (2)100°解析:由(1),得∠DEB=90°,EM=BM,CM = BM, 所以∠BEM = ∠EBM,∠BCM =∠CBM. 又∠DME = ∠BEM +∠EBM, ∠DMC = ∠BCM + ∠CBM,∠CME = ∠DME + ∠DMC, ∠ABC =∠CBM+∠EBM,所以∠CME=2∠ABC.因为∠A = 50°,∠A +∠ABC = 90°, 所以 即∠CME=80°.又∠EMF + ∠CME = 180°. 所以∠EMF =180°-∠CME=100°. (3) 连接AM.由(1),得∠DEA=90°,CM=EM,且△DAE≌△CEM,所以AE=EM=CM=DE=DM=BM,∠DEA =∠CME =90°.所以△ADE 是等腰直角三角形,△DEM是等边三角形. 所以∠DEM = ∠DME =60°.所以. .因为AE=EM,∠FEM=∠EAM+∠EMA,所以∠EAM = ∠EMA = 15°. 所 以 ∠AMC =∠CME-∠EMA =75°. 因为∠CME= 90°,∠DME=60°,所以. 30°. 因 为 CM = DM = BM, ∠DMC =∠MCB+∠MBC,所以∠MCB=∠MBC=15°. 所以∠MDC = ∠MCD = ∠ACB -∠MCB=75°. 所以∠AMC =∠MCD.所以AC=AM.因为 N 为CM 的中点,所以AN⊥CM. 所 以 ∠ANM = 90°, 即 ∠ANM +∠CME=180°.所以AN∥EM . 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $