第01-02讲集合与常用逻辑用语讲义-2026届高三数学一轮复习

第01讲：集合 知识点一：集合的的特性 1．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 知识点二：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点五.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B(或B⊇A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA) 集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B 知识点六：集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 【题型归纳】 1.(多选)下列各组中M，P表示不同集合的是(　　) A.M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)} B.M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)} C.M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R} D.M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R} 答案　ABD 2.已知集合A＝{－1，a2－2a＋1，a－4}，若4∈A，则a的值可能为(　　) A.－1，3 B.－1 C.－1，3，8 D.－1，8 答案　D 3.设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等于(　　) A.{x|x＝3k，k∈Z} B.{x|x＝3k－1，k∈Z} C.{x|x＝3k－2，k∈Z} D.∅ 4．（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合是集合的子集，结合集合中元素的互异性求解即可. 【详解】集合，， 由于，则实数的取值范围是 故选：B． 5．（23-24高一上·河北保定·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过解分式不等式和指数不等式，分别解出两个集合，再由交集和并集的运算，即可解答. 【详解】由题意， 集合， 集合， 所以，. 故选：A. 题型五：根据并集求集合或者参数问题 6．（21-22高一上·贵州毕节·期末）已知集合或，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数轴，根据集合的运算结果即可求解. 【详解】因为集合或，，，所以． 故选：B． 7.(多选)已知集合M＝{－1，1}，N＝{x|mx＝1}，且N⊆M，则实数m的值可以为(　　) A.－2 B.－1 C.0 D.1 答案　BCD 8.(2024·宝鸡模拟)若集合A＝{x∈R|ax2－2x＋1＝0}中只有一个元素，则实数a等于(　　) A.1 B.0 C.2 D.0或1 答案　D 题型六：根据交集求集合或者参数问题 9．（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）设集合，且，若集合只有一个子集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由求出集合，再根据条件得，由交集的运算求出的范围． 【详解】由得，，则， ∵只有一个子集，即， 又，∴． 故选：A． 题型七：根据补集运算求集合或者参数问题 10．（23-24高一下·青海西宁·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的并集运算求解即可． 【详解】解：由题意可得， 则， 所以. 故选：B 11．（22-23高二下·广东茂名·期末）已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求得结合，结合阴影部分表示的集合为，即可求解. 【详解】由集合， 又由阴影部分表示的集合为. 故选：C. 二、多选题 12．（23-24高一上·河南开封·期末）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】解出集合，再根据交并补混合运算一一分析即可. 【详解】，即，解得，则， ， 则，则，，故A正确，B错误， ，则，C正确； ，则，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 13．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】解出即可得出交集. 【详解】解方程组，得，故. 故答案为：. 14．（20-21高三上·河北邯郸·期末）已知全集，则———— A． B． C． D． 【答案】D 【解析】按集合补运算并化简集合后求交. 【详解】， 故选:D. 15．（20-21高一上·江苏盐城·期末）设集合则（    ） A． B．(-1，2] C．(-1，2) D．(-1，+∞) 【答案】B 【解析】由对数型复合函数的定义域、指数的单调性解不等式求集合A、B，应用集合的交补运算求即可. 【详解】由题意知：， ∴， 故， 故选：B 题型八：Venn图与集合的应用 16．（22-23高一上·山东临沂·期末）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可. 【详解】设集合{参加足球队的学生}， 集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 17.(2025·南京模拟)已知非空集合A＝{x|a－1<x<2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}.A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　 解析　因为A为非空集合，则a－1<2a＋3， 解得a>－4，∁RB＝{x|x<－2或x>4}， 若A∩(∁RB)＝A，则A⊆(∁RB)， 则2a＋3≤－2或a－1≥4， 解得a≤－或a≥5，又a>－4， 综上所述，实数a的取值范围为. 18.设集合I＝{1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②card(A)≤min(A)(其中card(A)表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　B 解析　当card(A)＝1，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}； 当card(A)＝2，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3，5}，{3，7}，{5，7}； 当card(A)＝3，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3，5，7}， 综上所述，I的所有“好子集”的个数为8. 题型九：集合的综合问题 19．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）将代入集合，并化简，再根据并集的运算求解即可； （2）根据，列出不等式组，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以． 因为， 所以． （2）因为，所以，或， 解得． 故的取值范围为． 四、解答题 20．（23-24高一上·广西贺州·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式求出集合B，由集合的并集运算可得结果； （2）根据条件对集合A分类讨论，分别求出实数的范围. 【详解】（1）由时，集合， ， 所以， （2）当，即时，集合，符合， 当时，由，有， 解得 ， 综上可知，若，则的范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲：集合 知识点一：集合的的特性 1．集合中元素的特性：、、 知识点二：元素与集合的关系 1．如果a是集合A的元素，就说a集合A，记作. 2．如果a不是集合A中的元素，就说a集合A，记作. 知识点三：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 知识点四：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素，就称集合A是集合B的 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B 空集：不含的集合叫做空集，记为. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 知识点五：集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝ 并集 由所有属于集合A属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝ 补集 由全集U中集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝ 注意： 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个. 2.灵活应用两个常用性质 (1)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB). (2)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 3.牢记两个注意点 (1)A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔ (2)要树立分类讨论的思想，将集合A是空集的情况优先进行讨论. 1. (多选)下列各组中M，P表示不同集合的是(　　) A.M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)} B.M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)} C.M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R} D.M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R} 2. 已知集合A＝{－1，a2－2a＋1，a－4}，若4∈A，则a的值可能为(　　) A.－1，3 B.－1 C.－1，3，8 D.－1，8 3. 设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等于(　　) A.{x|x＝3k，k∈Z} B.{x|x＝3k－1，k∈Z} C .{x|x＝3k－2，k∈Z} D.∅ 4．已知集合，，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合或，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7. (多选)已知集合M＝{－1，1}，N＝{x|mx＝1}，且N⊆M，则实数m的值可以为(　　) A.－2 B.－1 C.0 D.1 8. 若集合A＝{x∈R|ax2－2x＋1＝0}中只有一个元素，则实数a等于(　　) A.1 B.0 C.2 D.0或1 9．设集合，且，若集合只有一个子集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 11．已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 12．（多选）已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 13．已知集合，，则 ． 14．已知全集，则 ． 15．设集合则（    ） A． B．(-1，2] C．(-1，2) D．(-1，+∞) 16．我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 17. 已知非空集合A＝{x|a－1<x<2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}.A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为　　　　.  18. 设集合I＝{1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②card(A)≤min(A)(其中card(A)表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 19．已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 20．已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的范围． 第02讲：常用逻辑用语 知识点01：充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 pq pq 条件关系 p是q的条件 q是p的条件 p不是q的条件 q不是p的条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的条件 性质定理给出了相应数学结论成立的条件 知识点02：充要条件：一般地，如果，且，那么称p是q的充分必要条件，简称条件，记作. 充分不必要条件： 必要不充分条件： 既不充分也不必要条件： 注：集合判定 知识点03：全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 命题 含有全称量词的命题是命题 含有存在量词的命题是命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“” 知识点04：含量词的命题的否定 p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是 存在量词命题∃x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是 1．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. “λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3. 祖暅原理是一个涉及几何求积的著名命题.内容为：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在同一高处的截面积相等.根据祖暅原理可知，p是q的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4. 设x∈R，则“cos x＝1”是“sin x＝0”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5．已知是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 6．是函数在上单调递增的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知命题， 若命题为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 9. 记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 10. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且在[0，＋∞)上单调递减，对于实数a，b，则“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（多选）下列命题是真命题的是（    ） A．命题“”的否定是“” B． C．“”是“在上单调递增”的充要条件 D．若，则 12．（多选）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 13．已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是 . 14. 若“∃x∈(0，π)，sin 2x－ksin x<0”为假命题，则k的取值范围为(　　) A.(－∞，－2] B.(－∞，2] C.(－∞，－2) D.(－∞，2) 15．若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．设命题p：函数定义域为；命题，使得不等式成立． (1)如果p是真命题，求实数a的取值范围； (2)如果p，q中只有一个真命题，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲：常用逻辑用语期末高频考点题型讲与练 知识点01：充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 pq p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 知识点02：充要条件：一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 知识点03：全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 知识点04：含量词的命题的否定 p 非p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，非p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，非p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 1. 若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用对数的性质、必要不充分条件的定义判断可得答案. 【详解】， 当时，，但不成立. 故选：B. 2. （2024·连云港模拟)“λ＝－1”是“直线l1：x＋λy＋9＝0与l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 3.祖暅原理是一个涉及几何求积的著名命题.内容为：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，则体积相等.设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在同一高处的截面积相等.根据祖暅原理可知，p是q的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 4.设x∈R，则“cos x＝1”是“sin x＝0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当cos x＝1时，x＝2kπ(k∈Z)，此时sin x＝0； 当sin x＝0时，x＝kπ(k∈Z)，此时cos x＝1或cos x＝－1， 所以“cos x＝1”是“sin x＝0”的充分不必要条件. 5．（22-23高一下·上海黄浦·期末）已知是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别解得和的解集A，B，再根据“”是“”的充分非必要条件，由真包含于求解. 【详解】由，解得，记， 由，解得，记， ∵“”是“”的充分非必要条件， ∴真包含于，即，解得. 故答案为： 题型四：充要条件问题 6．（23-24高一上·福建宁德·期末）是函数在上单调递增的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由复合函数单调性结合充分必要条件的判断即可得到答案. 【详解】令，该函数在区间上恒大于0且单调递增， 则当时，单调递减，可得函数在上单调递减； 则当时，单调递增，可得函数在上单调递增； 故当是函数在上单调递增的充要条件. 故选：C. 题型七：根据存在量词命题的真假求参数问题 7．（23-24高一上·吉林·期末）已知命题， 若命题为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析得，，分和讨论即可. 【详解】由题意得命题的否定为真命题， 即，， 当时，恒成立， 当时，则有，解得， 综上，的取值范围为. 故选：D. 8．（23-24高一下·云南昆明·期末）若，则是的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据指、对数函数单调性解不等式，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】对于，则，解得； 对于，则，解得； 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 9.(2023·新高考全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案　C 10.(2025·北京房山区模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且在[0，＋∞)上单调递减，对于实数a，b，则“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　由定义在R上的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，得函数f(x)是R上的偶函数，而f(x)在[0，＋∞)上单调递减，因此f(a)>f(b)⇔f(|a|)>f(|b|)⇔|a|<|b|⇔a2<b2，所以“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的充要条件. 11．（多选）（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）下列命题是真命题的是（    ） A．命题“”的否定是“” B． C．“”是“在上单调递增”的充要条件 D．若，则 【答案】BD 【分析】利用全称命题的否定可判断A；全称命题的真假可判断B；结合函数的单调性和充要条件的概念可判断C；利用不等式的性质可判断D. 【详解】对于A：命题“”的否定是“，故A错误； 对于B：因为，所以是真命题，故B正确； 对于C：当时，即在上单调递增，故C错误； 对于D：若，则，即，故D正确. 故选：BD. 12．（多选）（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先将恒成立问题转化为最值问题求出的范围，然后利用充分不必要条件的概念选择答案. 【详解】， 则对都成立， 又，所以， 观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD. 故选：BCD. 13．（23-24高一下·云南玉溪·期末）已知命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过构造函数，利用函数的导数，求出函数的最小值，然后求解实数的取值范围． 【详解】因为命题“，使得”是假命题， 所以命题“，使得”是真命题， 即对，恒成立， 令，则， 所以， 所以. 故答案为：. 14.(2024·南通模拟)若“∃x∈(0，π)，sin 2x－ksin x<0”为假命题，则k的取值范围为(　　) A.(－∞，－2] B.(－∞，2] C.(－∞，－2) D.(－∞，2) 答案　A 解析　依题意知命题“∃x∈(0，π)，sin 2x－ksin x<0”为假命题，则“∀x∈(0，π)，sin 2x－ksin x≥0”为真命题，所以2sin xcos x≥ksin x，则k≤2cos x在x∈(0，π)时恒成立，解得k≤－2，所以k的取值范围为(－∞，－2]. 15．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知“，使得”为真命题，然后参变分离，将问题转化为最值问题，利用基本不等式可解. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即. 因为， 当且仅当时等号成立， 所以，所以实数a的取值范围为. 故选：B 四、解答题 16．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，解集合中的不等式，求集合中函数的定义域，得到这两个集合，再由并集的定义求； （2）由题意，集合是集合的真子集，分类讨论解集合中的不等式，由包含关系求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，， ， 所以． （2）因“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集． 当时，，所以只需，解得； 当时，是集合的真子集，符合题意， 综上所述，实数的取值范围是． 17．（23-24高一上·广东广州·期末）设命题p：函数定义域为；命题，使得不等式成立． (1)如果p是真命题，求实数a的取值范围； (2)如果p，q中只有一个真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到在上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解； （2）由（1）知，再由命题真命题，得到，根据中只有一个真命题，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由命题函数定义域为， 设，则在上恒成立， 当时，，不能恒成立，不符合题意（舍去）； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由（1）知，命题为真命题，则， 又由命题 ，使得不等式成立， 当时，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以， 因为中只有一个真命题， 当为真命题，为假命题时，可得，解得； 当为假命题，为真命题时，可得，此时无解， 综上可得，实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $