专题04 等腰三角形与等边三角形（期中真题汇编，黑龙江专用）八年级数学上学期人教版2024

专题04 等腰三角形与等边三角形 4大高频考点概览 考点01 等腰三角形的性质应用 考点02 等腰三角形的判定 考点03 等边三角形的性质与判定 考点04 含30度角的直角三角形 地 城 考点01 等腰三角形的性质应用 一、单选题 1．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)等腰三角形的顶角是，则它的底角是（   ）． A． B． C．或 D．或 2．(24-25八上·黑龙江省 哈尔滨市虹桥中学·期中)下列命题中，是真命题的是（    ） A．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 B．若三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 C．等腰三角形任意两角都相等 D．等腰三角形一定是锐角三角形 3．(24-25八上·黑龙江绥化·期中)如图，在中，，P为内的一点，且，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市第三十四中学·期中)△ABC中，AB =AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC=75．，则∠A的度数是(    ) A．35 B．40 C．70 D．110 5．(24-25八上·黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学·期中)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则∠AFC的度数（　　）      A． B． C． D． 6．(24-25八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中)如图，在中，，点在上，点在上，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 7．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)如图所示，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于，两弧相交于点M，N，作直线，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期中)如图在中，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期中)如图，在中，于D，点E为上一点，且，连接，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 10．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市第二十八中学·期中)风铃，古称“风铎”，常见于中国传统建筑屋檐下，六角风铎的底部可抽象为正六边形，如图，连接，，则的度数为 ． 11．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学·期中)如图，在中，，，点为的中点，则 ． 12．(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期中)如图，中，于D，E､F为上两点，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 13．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)在中，，，点在边上，连接，若为等腰三角形，则的度数为 ． 14．(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期中)如图，已知，点在边上，，则的度数为 ． 15．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)如图中，，点、是边上一两点，连接、，若，，则的度数为 ． 三、解答题 16．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学·期中)如图，已知在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，E是BC上一点. 求证：∠5=∠6. 17．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市第三十四中学·期中)如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，若，求的度数． 18．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期中)如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O． （1）求证：AB＝DC； （2）试判断△OEF的形状，并说明理由． 19．(24-25八上·黑龙江省克东县第三中学·期中)如图，在等腰中，，，，是的平分线，交于，，点是的中点，连接． (1)求的度数； (2)求三角形的面积． 20．(24-25八上·黑龙江哈尔滨松南学校·期中)如图，在中，，点D、E、F分别在边、、上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学·期中)已知. （1）如图1，用尺规作的平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，已知点是上一点，，，垂足分别为，，与交于点.求证：①；②是的垂直平分线. 地 城 考点02 等腰三角形的判定 一、单选题 1．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学·期中)在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区等5地·期中)在中，分别平分，过点D作直线平行于，分别交于点E、F，若，则线段的长为（　　）    A．4 B．6 C．8 D．10 3．(24-25八上·黑龙江省 哈尔滨市虹桥中学·期中)如图，△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE=7，AD=5，则AB=（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 4．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)如图，中，平分，平分，过点作，，则的周长为（   ）． A．6 B．12 C．18 D．24 二、填空题 5．(24-25八上·黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学·期中)如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为 ． 6．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市阿城区·期中)如图，把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分（阴影部分）是 三角形． 7．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨第六十九中学校·期中)如图，在中，点D是的中点，点E是上一点，交于点F，，，，则 ． 8．(24-25八上·黑龙江省伊春市·期中)如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，若，则的长为 ． 三、解答题 9．(24-25八上·黑龙江省绥化市海伦市第三中学第十中学联考·期中)如图，与相交于点．求证：． 10．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市·期中)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出等腰（点在小正方形的顶点上），使的面积为4； （2）在图2中画出等腰直角（点在小正方形的顶点上），使． 11．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市巴彦县·期中)如图，已知：在中，，是高和的交点， (1)求证：． (2)若，，求：三角形的边的长． 12．(24-25八上·黑龙江省黑河市·期中)如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）求证：△OBC是等腰三角形． 13．(24-25八上·黑龙江省萝北县鹤北中学·期中)如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且． (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 14．(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期中)已知中，，平分交于，平分交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，在不添加字母的条件下，请直接写出图中所有的等腰三角形（除外） 地 城 考点03 等边三角形的性质与判定 一、单选题 1．(24-25八上·黑龙江省大庆市·期中)下列说法不正确的是(   ) A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形 C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形 2．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)下列说法中正确的是（）． A．经过线段中点的直线是该线段的对称轴 B．到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点 C．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形 D．有一个角是的三角形是等边三角形 3．(24-25八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中)如图，是等边三角形，在中，，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市第二十八中学·期中)如图，已知，平分，，若，，则的长是(   ) A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 二、填空题 5．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)如图，直线，的顶点C在直线b上，，是等边三角形，则 °．    6．(24-25八上·黑龙江省萝北县鹤北中学·期中)如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为 ． 7．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市·期中)如图，已知等边三角形的边长为4，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于M，则的长为 ． 8．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第十七中学校·期中)如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC上一点，且AE＝AD，则∠AED的度数为 ． 9．(24-25八上·黑龙江省克东县第三中学·期中)如图，在等边中，，过边上一点作于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，则的长为 ． 10．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)如图，在等边中，点D在的延长线上，点E在线段上，连接，，，，则线段的长度为 ． 11．(24-25八上·黑龙江哈尔滨道外区五校联盟·期中)如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为 ． 12．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)如图，在中，，以为边作等边，过点作于点，若，，则 ． 13．(24-25八上·黑龙江哈尔滨道外区五校联盟·期中)如图，等边，D为边的中点，点E在边上，连接，若，则 度． 14．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市·期中)如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为 ． 15．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)在中，，，以为边作等边，连接，则的度数为 ． 16．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学·期中)如图，以正五边形的一边为边，在正五边形内作等边，连接，则 （1）是否垂直？ ．（填“是”或“否”）； （2）的度数是 ． 三、解答题 17．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期中)如图交于点．求证：是等边三角形 18．(24-25八上·黑龙江绥化海伦第三中学第十中学联考·期中)如图，为等边三角形，，A、相交于点，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学·期中)如图，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点，与交于点，连接、． 求证：①；②；③； 20．(24-25八上·黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学·期中)（1）如图①所示，在中，是边的中线，，求证：． （2）如图②所示，在等边中，D、E分别是上的点，且交于点P，作于Q，若，求的长． 地 城 考点04 含30度角的直角三角形 一、单选题 1．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市富裕县第二中学·期中)在 中，，，，则 的长为 （    ） A． B． C． D． 2．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多所学校·期中)如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　　） A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8 3．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第四十七中学·期中)如图所示，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 4．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨第六十九中学校·期中)如图，在中，，是高，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)如图，在中，，，过点A作的垂线交于D，，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D．3 6．(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期中)如图，中，，，平分，平分，过点作，分别交、于､，设，则周长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．(24-25八上·黑龙江省大庆市肇源县·期中)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，则BC＝ cm． 8．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期中)如图，在中，，，，则 ． 9．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第四十七中学·期中)若等腰三角形的顶角为30°，腰长为6，则此等腰三角形的面积为 . 10．(24-25八上·黑龙江省富锦市·期中)如图，中，，，于H，若，则 ． 11．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市巴彦县·期中)等腰的顶角为30°，腰长为6，则 ． 12．(24-25八上·黑龙江哈尔滨萧红中学校·期中)在中，，，，则 ． 13．(24-25八上·黑龙江哈尔滨松南学校·期中)在中，已知，那么 ． 14．(24-25八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中)已知：如图，在四边形中，，若，则的长为 ． 15．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市巴彦县·期中)如图，中，，，平分，若，则 ． 16．(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期中)如图，在中，，点D为边上一点，于，则的面积为 ． 17．(24-25八上·黑龙江龙东·期中)已知等腰三角形中，于点D，且，则等腰三角形的底角的度数为 ． 18．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市富裕县益海学校·期中)如图，在中，，交于点，，则 ． 19．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)如图，是等边三角形，点是延长线上一点，于点，交于点，若，，则的长为 ． 20．(24-25八上·黑龙江哈尔滨松南学校·期中)如图，在中，，E在上，，D在上，且，若，，则的长为 ． 三、解答题 21．(24-25八上·黑龙江齐齐哈尔第二十八中学·期中)已知：在中，，D是边上的点，，点D在的垂直平分线上，，求的长． 22．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多所学校·期中)如图所示，，是的中点，平分． （1）求证：是的平分线；（2）若，求的长． 23．(24-25八上·黑龙江省佳木斯市·期中)如图，在四边形中，，，交于E，交于F，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形与等边三角形 4大高频考点概览 考点01 等腰三角形的性质应用 考点02 等腰三角形的判定 考点03 等边三角形的性质与判定 考点04 含30度角的直角三角形 地 城 考点01 等腰三角形的性质应用 一、单选题 1．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)等腰三角形的顶角是，则它的底角是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的定义、三角形的内角和定理、一元一次方程的应用等知识点，掌握等腰三角形的定义成为解题的关键． 设这个等腰三角形的底角的度数为x，然后根据三角形内角和定理列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个等腰三角形的底角的度数为x， 则，解得． 故选：A． 2．(24-25八上·黑龙江省 哈尔滨市虹桥中学·期中)下列命题中，是真命题的是（    ） A．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 B．若三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 C．等腰三角形任意两角都相等 D．等腰三角形一定是锐角三角形 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质对每个选项进行判断即可得出答案． 【详解】A、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,故错误； B、若三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等,故正确； C、等腰三角形两个底角相等，故错误； D、等腰三角形不一定是锐角三角形，故错误； 故选：B 【点睛】本题考查了命题与定理、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3．(24-25八上·黑龙江绥化·期中)如图，在中，，P为内的一点，且，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先利用三角形内角和定理求出，从而可求出，进而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市第三十四中学·期中)△ABC中，AB =AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC=75．，则∠A的度数是(    ) A．35 B．40 C．70 D．110 【答案】B 【详解】设∠A的度数是x，则∠C=∠B=， ∵BD平分∠ABC交AC边于点D ∴∠DBC=， ∴++75=180°， ∴x=40°， ∴∠A的度数是40°. 故选：B. 5．(24-25八上·黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学·期中)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则∠AFC的度数（　　）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由等腰三角形的性质求出∠B的度数，再由垂直平分线的性质可得出∠BAF=∠B，由三角形内角与外角的关系即可解答． 【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=（180°-120°）÷2=30°， ∵EF垂直平分AB， ∴BF=AF， ∴∠BAF=∠B=30°， ∴∠AFC=∠BAF+∠B=60°． 故选C． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质. 6．(24-25八上·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学·期中)如图，在中，，点在上，点在上，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，令， ，由，得到，由，得到，则，再根据，即，求解即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：令， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)如图所示，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于，两弧相交于点M，N，作直线，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质得出，进而可得出结论． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴． 故选：D． 8．(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期中)如图在中，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据等腰三角形的性质得出，的度数，再由角平分线的性质得出，的度数，利用全等三角形的判定与性质可得的度数，再利用三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在中，，， ， ， 是的角平分线， ． 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，外角定理，全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 9．(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期中)如图，在中，于D，点E为上一点，且，连接，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先根据垂直定义可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题 10．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市第二十八中学·期中)风铃，古称“风铎”，常见于中国传统建筑屋檐下，六角风铎的底部可抽象为正六边形，如图，连接，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正多边形的性质，内角和的公式，直角三角形的性质，正确掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正六边形的性质求出，，求出，根据对称性求出，即可得到答案． 【详解】解：在正六边形中，，， ， ， 是正六边形的一条对称轴， ， ． 故答案为：． 11．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市香坊区风华中学·期中)如图，在中，，，点为的中点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据等腰三角形的性质得到，，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期中)如图，中，于D，E､F为上两点，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了三线合一定理，全等三角形的性质与判定，由三线合一定理和垂直的定义得到，，据此可证明，进而推出，据此可证明 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5. 13．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)在中，，，点在边上，连接，若为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可以求得和的度数，分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 点在边上，为等腰三角形， 如图，当时， ， ． 如图，当时， ， ． 故答案为：或． 14．(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期中)如图，已知，点在边上，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角，由，得，，再根据等边对等角得，最后由平角定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)如图中，，点、是边上一两点，连接、，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．首先设，根据直角三角形两锐角互余可得，根据等腰三角形的性质可得、，根据三角形内角和定理可得． 【详解】解：设， 中，， ， ， ， 又， ， 在中，， 故答案为：． 三、解答题 16．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学·期中)如图，已知在△ABC和△DBC中，∠1=∠2，∠3=∠4，E是BC上一点. 求证：∠5=∠6. 【答案】见详解 【分析】根据ASA证明△ABC≌△DBC，然后得到AB=DB，然后利用SAS证明△ABE≌△DBE，得到AE=DE，即可得到∠5=∠6. 【详解】∵∠1=∠2，BC=BC，∠3=∠4， ∴△ABC≌△DBC（ASA）， ∴AB=DB， 又∵∠1=∠2，BE=BE， ∴△ABE≌△DBE（SAS）， ∴AE=DE， ∴∠5=∠6. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质，解题的关键是掌握证明三角形全等的方法，灵活运用ASA、SAS证明三角形全等. 17．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市第三十四中学·期中)如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，若，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质的应用．根据线段垂直平分线的判定和性质得出，求得，再利用线段垂直平分线的性质，得出，再结合三角形外角性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴． 18．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期中)如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O． （1）求证：AB＝DC； （2）试判断△OEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）等腰三角形，理由见解析 【详解】证明：（1）∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE．      又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C， ∴△ABF≌△DCE（AAS），      ∴AB＝DC．                     （2）△OEF为等腰三角形           理由如下：∵△ABF≌△DCE， ∴∠AFB=∠DEC． ∴OE=OF． ∴△OEF为等腰三角形． 19．(24-25八上·黑龙江省克东县第三中学·期中)如图，在等腰中，，，，是的平分线，交于，，点是的中点，连接． (1)求的度数； (2)求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等边对等角可得，然后利用三角形的内角和定理即可得出答案； （2）由三线合一可得，点是中点，然后根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，是的平分线， ，点是中点， ， 点是的中点， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，三线合一，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握在等高时三角形的面积之比即为底边之比是解题的关键． 20．(24-25八上·黑龙江哈尔滨松南学校·期中)如图，在中，，点D、E、F分别在边、、上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证明，即可求证； （2）由三角形内角和定理求出，由全等三角形的性质得出，再由三角形的内角和定理和平角定义即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 21．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学·期中)已知. （1）如图1，用尺规作的平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，已知点是上一点，，，垂足分别为，，与交于点.求证：①；②是的垂直平分线. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②详见解析. 【分析】（1）利用角平分线的尺规作图的做法即可完成作图； （2）①利用角平分线的性质可得PC=PD，然后利用等腰三角形的性质即可解答；②证明△POC≌△POD，从而得到OC=OD，再根据等腰三角形三线合一的性质解答即可. 【详解】解：（1）如图1         图1 （2）证明： ①平分，， （角平分线上的点到角的两边的距离相等） （等边对等角） ②在和中 ， . （全等三角形的对应角相等） 又（已证） 垂直平分于点（等腰三角形的三线合一） 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，理解证明角或边的相等常常构造全等三角形来证明是解答本题的关键. 地 城 考点02 等腰三角形的判定 一、单选题 1．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学·期中)在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理． 【详解】解：A. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意；     B. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵， ∴， ∴， ∴，则为等腰三角形，故该选项正确，符合题意； D. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区等5地·期中)在中，分别平分，过点D作直线平行于，分别交于点E、F，若，则线段的长为（　　）    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等边对等角，先由角平分线的定义得，再由，得出进行角的等量代换以及等角对等边，则，，即可作答． 【详解】解：∵分别平分，    ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，， ∴， 故选：D． 3．(24-25八上·黑龙江省 哈尔滨市虹桥中学·期中)如图，△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE=7，AD=5，则AB=（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBE，根据平行线的性质得到∠DEB＝∠CBE，等量代换得到∠ABE＝∠DEB，求得BD＝DE＝7，即可得到结论． 【详解】解：∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠DEB， ∴BD＝DE＝7， ∵AB＝AD＋BD， ∴AB＝5＋7＝12． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 4．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)如图，中，平分，平分，过点作，，则的周长为（   ）． A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得，，由等角对等边可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵中，平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为， 故选：B． 二、填空题 5．(24-25八上·黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学·期中)如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得，由等角对等边得出，再由，即可得解，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，是解此题的关键． 【详解】解：的平分线相交于点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 6．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市阿城区·期中)如图，把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分（阴影部分）是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查等腰三角形的判定和平行线的性质，解题的关键是灵活运用平行的性质、翻折变换的性质来分析、解答．证明；运用平行的性质证明，即可解决问题． 【详解】解：如图， 由题翻折得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即重合部分（阴影部分）是等腰三角形， 故答案为：等腰． 7．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨第六十九中学校·期中)如图，在中，点D是的中点，点E是上一点，交于点F，，，，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，准确证明是解题的关键． 延长到G，使，连结，证明，可得，从而得到，，即可得到结果； 【详解】解：如图，延长到G，使，连结． ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2 8．(24-25八上·黑龙江省伊春市·期中)如图，D为内一点，平分，垂足为D，交于点E，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，熟悉相关性质是解题的关键． 先证明，得到，由等角对等边判定，则易求，即可解答． 【详解】解：如图， ∵平分， ∴， 在和中， ， ， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴， 故答案是：2． 三、解答题 9．(24-25八上·黑龙江省绥化市海伦市第三中学第十中学联考·期中)如图，与相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． 连接，得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据等角对等边得到结论． 【详解】证明：连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 10．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市·期中)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点、在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出等腰（点在小正方形的顶点上），使的面积为4； （2）在图2中画出等腰直角（点在小正方形的顶点上），使． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合三角形的面积求法得出即可； （2）直接利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质得出即可． 【详解】解 ：（1）若使的面积为4；根据三角形面积公式，即可使的BC边上的高为4，底边BC的长为2，如图1所示，△ABC即为所求． （2）由图可知， ， ∵， ， ∴△ABE为等腰直角三角形． 如图2所示，△ABE即为所求． 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确利用等腰三角形的性质得出是解题关键． 11．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市巴彦县·期中)如图，已知：在中，，是高和的交点，    (1)求证：． (2)若，，求：三角形的边的长． 【答案】(1)见解析； (2)8． 【分析】（1）先证明，再证明，从而利用ASA证明可得到结论； （2）结合（），，，可以解决问题． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴（）； （2）解：由（）知：， ∴，， ∴． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到． 12．(24-25八上·黑龙江省黑河市·期中)如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O． （1）求证：△ABC≌△DCB； （2）求证：△OBC是等腰三角形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据已知条件，用公理证：； （2）利用的对应角相等得，从而OB=OC，即得是等腰三角形． 【详解】证明：（1）在与中 （2）， ∴， ∴OB=OC，即是等腰三角形． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定和性质，关键是学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定与性质的理解和掌握． 13．(24-25八上·黑龙江省萝北县鹤北中学·期中)如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．    (1)求证：； (2)直接写出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)图中的等腰三角形有、 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握全等三角形的判定成为解题的关键． （1）根据平行线的性质判定，再由可得，再结合，利用即可证明结论； （2）根据（1）的结论可得，再结合等腰梯形的性质即可确定所有等腰三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵由（1）可得 ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∴图中的等腰三角形有、． 14．(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期中)已知中，，平分交于，平分交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，在不添加字母的条件下，请直接写出图中所有的等腰三角形（除外） 【答案】(1)证明见解析 (2)，，， 【分析】（1）由等边对等角可得，由三角形角平分线的定义可得，，进而可得，利用可证得，于是可得，再结合已知条件即可得出结论； （2）由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由三角形角平分线的定义可得，，进而可得，由等角对等边可得，，则，是等腰三角形；由三角形外角的性质可得，，进而可得，由等角对等边可得，，则，是等腰三角形；综上所述，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：，，，是等腰三角形，理由如下： ，， ， 平分，平分， ， ， ， ，， ，是等腰三角形， ， ， ， ，， ，是等腰三角形， 若，在不添加字母的条件下，图中的等腰三角形（除外）有： ，，，． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等式的性质，三角形的内角和定理，等角对等边，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 地 城 考点03 等边三角形的性质与判定 一、单选题 1．(24-25八上·黑龙江省大庆市·期中)下列说法不正确的是(   ) A．有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B．有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形 C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．底和腰相等的等腰三角形是等边三角形 【答案】A 【分析】利用等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，对各选项逐项分析可得出正确答案． 【详解】解：A、设∠1、∠2为锐角， 因为：∠1+∠2+∠3=180°， 所以：∠3可以为锐角、直角、钝角，所以该三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形， 故A选项不正确，符合题意； B、如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，且BE=CD． ∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠CDB=∠BEC=90°， 在Rt△BCD与Rt△CBE中， ， ∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL）， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．， 故B选项正确，不符合题意； C、根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，， 故C选项正确，不符合题意； D、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形， 故D选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，要求学生在学习过程中掌握三角形的各种性质及推论，不断提升数学学习的能力． 2．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)下列说法中正确的是（）． A．经过线段中点的直线是该线段的对称轴 B．到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点 C．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形 D．有一个角是的三角形是等边三角形 【答案】B 【分析】本题考查了线段的对称轴，三角形三边垂直平分线的性质，全等三角形与轴对称的关系，等边三角形的判定等知识点，解题的关键是准确掌握并运用这些几何概念和性质． 分别对每个选项依据相应的几何定义和性质进行判断． 【详解】解：经过线段中点且垂直于这条线段的直线才是该线段的对称轴，仅经过线段中点的直线不一定是其对称轴，所以A错误，故不符合题意； 根据线段垂直平分线的性质，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，所以到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点，故B正确，符合题意； 两个全等的三角形不一定关于某条直线成轴对称，成轴对称的两个三角形一定全等，但全等的三角形位置关系不一定是轴对称关系，所以C错误，故不符合题意； 有一个角是的等腰三角形才是等边三角形，只说有一个角是的三角形不一定是等边三角形，所以D错误，故不符合题意． 故选：B． 3．(24-25八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中)如图，是等边三角形，在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 4．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市第二十八中学·期中)如图，已知，平分，，若，，则的长是(   ) A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】B 【分析】在的延长线上取点E，使，连接，则可证得为等边三角形，再结合条件可证明，可得，再利用线段的和差可求得，则可求得． 【详解】解：在的延长线上取点E，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，构造等边三角形再证是解题的关键． 二、填空题 5．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)如图，直线，的顶点C在直线b上，，是等边三角形，则 °．    【答案】36 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．等边三角形三个角都是． 先利用平行线的性质得，再根据等边三角形的性质得，然后根据三角形外角性质计算出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：36． 6．(24-25八上·黑龙江省萝北县鹤北中学·期中)如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，判断是的垂直平分线是解答关键． 根据等边三角形的性质求出的长度，再利用三线合一得到是的垂直平分线来求解． 【详解】解：在等边三角形中，， ． ， 是的垂直平分线， ． 故答案为：4． 7．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市·期中)如图，已知等边三角形的边长为4，过边上一点P作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于M，则的长为 ． 【答案】2 【分析】过P作交于F，证明，再证明，得证，根据证明即可． 【详解】解：过P作交于F，如图所示： ∵，是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 8．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第十七中学校·期中)如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC上一点，且AE＝AD，则∠AED的度数为 ． 【答案】75° 【分析】根据等边三角形三线合一和等腰三角形等边对等角的性质求解即可． 【详解】∵△ABC为等边三角形， ∴∠DAC=∠BAC=30°， ∵AE=AD， ∴∠ADE=∠AED==75°． 故答案为75°． 9．(24-25八上·黑龙江省克东县第三中学·期中)如图，在等边中，，过边上一点作于点，点为延长线上一点，且，连接交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 过点作交于点，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：过点作交于点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 10．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)如图，在等边中，点D在的延长线上，点E在线段上，连接，，，，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，连接，过点F作，交于G，连接，利用全等三角形的性质证明，，推出，设设构建方程求解即可． 【详解】解：连接，过点F作，连接， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴可以假设，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．(24-25八上·黑龙江哈尔滨道外区五校联盟·期中)如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键． 连接，由，可知由垂直平分线的性质可知，，，进而可知，可知为等边三角形，可知，再结合可求结果． 【详解】解：连接， ∵在中，， ， ∵是的垂直平分线， ， ∴， 则， 同理， 则， ∴为等边三角形， ， ， ， 故答案是：3． 12．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)如图，在中，，以为边作等边，过点作于点，若，，则 ． 【答案】8.5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，在上截取点，使得，连接，则为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，，，证明可得，，求出，再由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，在上截取点，使得，连接， ， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．(24-25八上·黑龙江哈尔滨道外区五校联盟·期中)如图，等边，D为边的中点，点E在边上，连接，若，则 度． 【答案】15 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形，等边三角形的性质．利用等边三角形的性质求出，再利用等腰三角形的性质求出可得结论． 【详解】解：是等边三角形，是的中点， 故答案为：15． 14．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市·期中)如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为 ． 【答案】4或4或4 【分析】分三种情况讨论：①当M在AB下方且∠AMB=90°时，②当M在AB上方且∠AMB=90°时，③当∠ABM=90°时，分别根据含30°直角三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质或勾股定理，进行计算求解即可． 【详解】如图1，当∠AMB=90°时， ∵O是AB的中点，AB=8， ∴OM=OB=4， 又∵∠AOC=∠BOM=60°， ∴△BOM是等边三角形， ∴BM=BO=4， ∴Rt△ABM中，AM==； 如图2，当∠AMB=90°时， ∵O是AB的中点，AB=8， ∴OM=OA=4， 又∵∠AOC=60°， ∴△AOM是等边三角形， ∴AM=AO=4； 如图3，当∠ABM=90°时， ∵∠BOM=∠AOC=60°， ∴∠BMO=30°， ∴MO=2BO=2×4=8， ∴Rt△BOM中，BM==， ∴Rt△ABM中，AM==． 综上所述，当△ABM为直角三角形时，AM的长为或或4．故答案为或或4． 15．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)在中，，，以为边作等边，连接，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及三角形内角和定理等知识点，解题的关键是分情况讨论点与线段的位置关系。 因为以为边作等边，所以需要分两种情况讨论点的位置，分别计算的度数。 【详解】解：当点与点在同侧时， 在中，， 。 又 是等边三角形， ，。 ； 当点与点在两侧时： 在中，， ． 又 是等边三角形， ， ， ， ， ； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 16．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学·期中)如图，以正五边形的一边为边，在正五边形内作等边，连接，则 （1）是否垂直？ ．（填“是”或“否”）； （2）的度数是 ． 【答案】 是 84度 【分析】（1）先利用等边三角形的性质，证明，再利用三角形全等得到，可知是的垂直平分线，即可知； （2）先求出，再用周角减去，，，除以2即可 【详解】（1）如图，连接， ∵五边形是正五边形 ∴， ∵在和中 ∴ ∴ ∵是等边三角形 ∴ ∴是的垂直平分线 ∴ （2）∵是等边三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查正五边形，正三角形的性质，以及全等三角形，线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键. 三、解答题 17．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期中)如图交于点．求证：是等边三角形 【答案】见详解 【分析】根据平行线的性质和等角对等边，得出，然后根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可说明理由．本题考查等腰三角形的判定，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ； 又∵， ∴是等边三角形． 18．(24-25八上·黑龙江绥化海伦第三中学第十中学联考·期中)如图，为等边三角形，，A、相交于点，于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质、含度角的直角三角形． （1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得；可得，所以由“度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 在与中， ， ； （2）解：由（1）知，，则， ， ； ， ， ， ， 又∵， ， ∵， ∴． 19．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市 富裕县第一中学·期中)如图，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点，与交于点，连接、． 求证：①；②；③； 【答案】①见解析；②见解析；③见解析 【分析】首先根据等边三角形的性质，得到＝，＝，＝＝，然后由判定，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到＝，根据，证得，即可得到②正确，同理证得＝，得到是等边三角形，得，易得③正确． 【详解】证明：①和均是等边三角形， ，，， ，， ∴, ∴， ②   ， ，， ③连接    同理：， ， 是等边三角形， 【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，平行线的判定，邻补角，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 20．(24-25八上·黑龙江省牡丹江市海林市朝鲜族中学·期中)（1）如图①所示，在中，是边的中线，，求证：． （2）如图②所示，在等边中，D、E分别是上的点，且交于点P，作于Q，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）利用直角三角形30度角的性质证明即可； （2）由可得，进而得出，可得即可解决问题． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， 而， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）在等边中， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 在中，∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，应熟练掌握并能进行一些简单的计算问题． 地 城 考点04 含30度角的直角三角形 一、单选题 1．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市富裕县第二中学·期中)在 中，，，，则 的长为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质直接求解即可． 【详解】解：根据含30度角的直角三角形的性质可知：BC＝2AB＝8． 故选：D． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，比较容易解答，要求熟记30°角所对的直角边是斜边的一半． 2．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多所学校·期中)如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（　　　） A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8 【答案】A 【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再根据垂线段最短求出AP的最小值，然后得到AP的取值范围，从而得解． 【详解】解：∵∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°， ∴AC＝AB＝×4＝2， ∵点P是BC边上的动点， ∴2≤AP≤4， ∴AP的值不可能是1.8． 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，垂线段最短，熟记性质并求出AP的取值范围是解题的关键． 3．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第四十七中学·期中)如图所示，已知，点P在边上，，点M，N在边上，，若，则的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】过点P作 于点D，证明，可得，由等腰三角形的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：过点P作 于点D， ∵，，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨第六十九中学校·期中)如图，在中，，是高，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，能熟记直角三角形角所对的直角边为斜边的一半是解此题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余求出，，然后根据含角的直角三角形的性质得出，，再把代入求出即可． 【详解】解： 是高， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 故选：B 5．(24-25八上·黑龙江哈尔滨香坊区风华中学·期中)如图，在中，，，过点A作的垂线交于D，，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含的直角三角形．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含的直角三角形是解题的关键． 由题意可知，，则，，则，计算求解，进而可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴． 故选：B． 6．(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期中)如图，中，，，平分，平分，过点作，分别交、于､，设，则周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质．首先根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可求，再根据角平分线的性质和平行线的性质可证、，根据等角对等边可证、，所以可得的周长为． 【详解】解：中，，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 又平分， ， ， ， ， ， 的周长为． 故选：D ． 二、填空题 7．(24-25八上·黑龙江省大庆市肇源县·期中)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，则BC＝ cm． 【答案】4． 【分析】根据含角的直角三角形的性质直接求解即可． 【详解】解：根据含角的直角三角形的性质可知：BC＝AB＝4cm． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质．解题的关键是根据在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半解答． 8．(24-25八上·黑龙江省绥化市·期中)如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键． 【详解】解：在中，，，， 则， 故答案为：． 9．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市第四十七中学·期中)若等腰三角形的顶角为30°，腰长为6，则此等腰三角形的面积为 . 【答案】9 【分析】过点作于点，根据直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半求得，然后利用三角形面积公式解答即可． 【详解】解：如图所示，过作于， ，， ， ， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 10．(24-25八上·黑龙江省富锦市·期中)如图，中，，，于H，若，则 ． 【答案】6 【分析】根据直角三角形的性质可得和的度数，再根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可得和的长，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 11．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市巴彦县·期中)等腰的顶角为30°，腰长为6，则 ． 【答案】 【分析】作，在中，根据，求出的长，在中，以为底，为高，即可求解，本题考查了含角的直角三角形，解题的关键是：灵活应用求三角形面积的多种方式． 【详解】解：设，，过点，作，垂足为， ，， ， ， 故答案为：． 12．(24-25八上·黑龙江哈尔滨萧红中学校·期中)在中，，，，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质．根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1． 13．(24-25八上·黑龙江哈尔滨松南学校·期中)在中，已知，那么 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；过点C作于点D，由题意易得，进而根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵， ∴， ∴； 故答案为20． 14．(24-25八上·黑龙江哈尔滨第十七中学校·期中)已知：如图，在四边形中，，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；延长交于一点E，过点C作于点F，由题意易得是等边三角形，，则有，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：延长交于一点E，过点C作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， 由可设， ∴， ∵，， ∴，即， 解得：， ∴； 故答案为6． 15．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市巴彦县·期中)如图，中，，，平分，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，含角的直角三角形特征，角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，设，则，利用直角三角形两锐角互余求出x的值，再根据角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，再利用含角的直角三角形特征得到，最后根据，求出结果． 【详解】解：设，则， ， 解得， 即， 平分， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：2． 16．(24-25八上·黑龙江哈尔滨双城区·期中)如图，在中，，点D为边上一点，于，则的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了三角形的面积，含角的直角三角形的性质，能够求出、的长是解题的关键． 过点作于点，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，再根据，，求出、的长，即可得出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， 的面积为， 故答案为：20． 17．(24-25八上·黑龙江龙东·期中)已知等腰三角形中，于点D，且，则等腰三角形的底角的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形的两底角相等的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论求解． 作出图形，分①点是顶点时，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得到，再利用等边对等角的性质可得，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可；②点是底角顶点，在外部时，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可得到底角是，③点是底角顶点，在内部时，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后再根据等腰三角形两底角相等求解即可． 【详解】解：①如图1，点是顶点时．   ∵， ∴， ∵， ∴． ∵在中，， ∴； ②如图2，点是底角顶点，且在外部时．   ∵， ∴， ∴， ∴； ③如图3，点是底角顶点，且在内部时．   ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，底角的度数为或或． 18．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市富裕县益海学校·期中)如图，在中，，交于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的内角和定理，含角的直角三角形的性质，由，根据三角形的内角和定理得，由垂直定义得，则，由角的直角三角形的性质得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 19．(24-25八上·黑龙江哈尔滨顺迈学校·期中)如图，是等边三角形，点是延长线上一点，于点，交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 由是等边三角形得，，根据垂直的定义得，从而求出，根据等角对等边得，根据所对直角边是斜边的一半得，设，则，，然后求出的值即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由，设，则，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 20．(24-25八上·黑龙江哈尔滨松南学校·期中)如图，在中，，E在上，，D在上，且，若，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，含有的直角三角形的性质，熟练掌握含有的直角三角形的性质是解题的关键．在线段上截取，使，先证得，即可得出，进而得到，再根据含有的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：在线段上截取，使， 在和中， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：1． 三、解答题 21．(24-25八上·黑龙江齐齐哈尔第二十八中学·期中)已知：在中，，D是边上的点，，点D在的垂直平分线上，，求的长． 【答案】6 【分析】本题主要考查了垂直平分线性质和等腰三角形性质，含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握等腰三角形等角对等边，含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半． 先求出，由点D在的垂直平分线上，可得，继而得出，，根据含30度角直角三角形的特征得出，即可得出． 【详解】解： ∵，， ∴ ∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 22．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市龙江县多所学校·期中)如图所示，，是的中点，平分． （1）求证：是的平分线；（2）若，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）8cm. 【分析】（1）过点E分别作于F，由角平分线的性质就可以得出EF=EC，根据HL得，即可得出结论； （2）根据角平分线和平行线的性质求出 ，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解. 【详解】 （1）证明：过点E分别作于F， ∴∠DFE=∠AFE=90°． ∵∠B=∠C=90°， ∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°． ∴CB⊥AB，CB⊥CD． ∵DE平分∠ADC． ∴∠EDC=∠EDF，CE=EF． ∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∴BE=EF． 在Rt△AEB和Rt△AEF中， ， ∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL）， ∴∠EAB=∠EAF， ∴AE是∠DAB的平分线； （2）解：∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵∠BAD=60°，平分，AE是∠DAB的平分线， ， ，， ∵∠C=90° ∴  ， ， . 故答案为（1）详见解析；（2）8cm. 【点睛】本题考查角平分线的性质，线段中点的定义，全等三角形的判定与性质的运用，含30°角的直角三角形，证明三角形全等是解（1）题的关键，掌握含30°角的直角三角形的性质是解（2）题的关键． 23．(24-25八上·黑龙江省佳木斯市·期中)如图，在四边形中，，，交于E，交于F，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再根据，则可证明，进而可得出结论； （2）证明可得，在中，根据直角三角形的性质可得的长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $